全品高考备战2027年数学一轮学生用书02第32讲平面向量基本定理及坐标表示【答案】作业手册

第32讲平面向量基本定理及坐标表示1.D[解析]因为A(0,1),B(2,3),所以AB=(2,2),所以AC=AB+BC=(2,2)+(-3,1)=(-1,3),故选D.2.B[解析]由{e1,e2}是平面α内的一个基底,可知e1,e2非零不共线.对于A,e1-e2=-(e2-e1),故e1-e2,e2-e1共线,A不满足题意;对于B,e1+e2,e1-e2不共线,B满足题意;对于C,2e2-3e1=12(-6e1+4e2),故2e2-3e1,-6e1+4e2共线,C不满足题意;对于D,2e1+e2=2e1+12e2,故2e1+e2,e1+3.C[解析]因为AP=43AB,所以OP=OA+AP=OA+43AB=OA+43(OB-OA)=-14.D[解析]因为A(0,0),B(λ2,1),C(λ,-2),D(2,-1),所以AB=(λ2,1),DC=(λ-2,-1),又AB与DC共线,所以-λ2=λ-2,解得λ=-2或λ=1.故选D.5.C[解析]因为AD=23AC,所以AC=32AD,则AE=xBA+13BC=x(-AB)+13(AC-AB)=13AC-x+13AB=13×32AD-x+13AB=6.ABD[解析]由题意知AB=OB-OA=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),AC=OC-OA=(m+1,m-2)-(1,-3)=(m,m+1).假设A,B,C三点共线,则1×(m+1)-2m=0,解得m=1,所以只要m≠1,A,B,C三点就能构成三角形.故选ABD.7.-2[解析]∵a-xb=(3x,1-x),(a-xb)∥b,b=(-2,1),∴3x+2(1-x)=0,解得x=-2.8.25a+15b[解析]由题意得B,E,N三点共线,所以存在λ∈R,使得AE=λAB+(1-λ)AN=λAB+1-λ3AC.又C,E,M三点共线,所以存在μ∈R,使得AE=μAC+(1-μ)AM=μAC+所以AE=25AB+15AC=259.解:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)方法一:∵a=(5,-5),mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),a=mb+nc,∴-6m方法二:∵a+b+c=0,∴a=-b-c,又a=mb+nc,∴m=-1,n=-1.(3)∵CM=3c=(3,24),CN=-2b=(12,6),∴MN=CN-CM=(12,6)-(3,24)=(9,-18).∵MN∥d,∴9k+18=0,解得k=-2.10.D[解析]设P(x,y),则OP=(x,y),OA=(-1,4),OB=(2,1),由题意可知,(x,y)=λ(-1,4)+μ(2,1)=λ(-1,4)+(2-λ)(2,1)=(-λ,4λ)+(4-2λ,2-λ)=(4-3λ,2+3λ),所以x=4-3λ,y=2+3λ,消去λ,得点11.C[解析]方法一:设BD=tBC(0≤t≤1),∵AD=3AP,∴BD-BA=3BP-3BA,∴BP=23BA+13BD=-23AB+13tBC=-23-13tAB+13tAC,∴m方法二(等和线定理):BP=AP-AB=mAB+nAC,则AP=(m+1)AB+nAC,由等和线定理得m+1+n=APAD=13,则m+n=13-1=-212.AC[解析]由题知,AB=(1,2),BC=(1,-1),AC=(2,1),所以OP=mAB+nAC=(m+2n,2m+n).对于A,若OP∥BC,则2m+n+m+2n=0,即m+n=0,故A正确;对于B,BP=OP-OB=(m+2n-2,2m+n-3),若点P在直线BC上,则BP∥BC,所以2m+n-3+m+2n-2=0,即m+n=53,故B错误;对于C,PA=(1-m-2n,1-2m-n),PB=(2-m-2n,3-2m-n),PC=(3-m-2n,2-2m-n),若PA+PB+PC=0,则(6-3m-6n,6-6m-3n)=(0,0),即解得m=23,n=23,所以m-n=0,故C正确;对于D,AP=(m+2n-1,2m+n-1),若AP与BC共线,则(m+2n-1)×(-1)-(2m+13.311a+211b[解析]∵M,E,C三点共线,∴设AE=xAM+(1-x)AC=x3AB+(1-x)AC(0≤x≤1).∵B,E,N三点共线,∴设AE=yAB+(1-y)AN=yAB+14(1-y)AC(0≤y≤1)∴AE=311AB+211AC=31114.2[解析]如图,以A为坐标原点,AB,AC所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(0,3),设∠PAB=θ,则θ∈0,π2,过点P作x轴的垂线,垂足为Q,则AQ=cosθ,PQ=sinθ,所以P(cosθ,sinθ),所以AP=(cosθ,sinθ),AB=(2,0),AC=(0,3).因为AP=λAB+μAC,所以(cosθ,sinθ)=(2λ,3μ),所以2λ=cosθ,3μ=sinθ,则2λ+3μ=sinθ+cosθ=2sinθ+π4,又θ∈0,π2,所以θ+π4∈π4,3π4,所以当θ+15.解:(1)由点E,F,O三点共线,可设EO=xEF,即AO-AE=x(AF-AE),即AO=(1-x)AE+xAF,∵λ=13,μ=12,∴AO=13(1-x)AB+1∵P为线段BC上靠近点B的三等分点,∴AP=23AB+由点A,P,O三点共线可设AO=yAP,即13-x3AB+x2AC=2故13-x3=23y,x2故AOOP=38-(2)由(1)可知AO=(1-x)AE+xAF,0<x<1,又AE=λAB,AF=μAC,∴AO=(1-x)λAB+xμAC,又O为线段AP的中点,AP=23AB+∴AO=12AP=13故(1-∴λ+μ=13(1-x)+16x=1322162+24x2-2x·2-故λ+μ的最小值为3+2216.ABD[解析]对于A,当x+y=1时,OC=xOA+yOB=xOA+(1-x)OB,可得A,B,C三点共线,故A正确.对于B,当x=23,y=13时,由OC=23OA+13OB,可得OC-OA=13(OB-OA),即AC=13AB,故A,B,C三点共线,且AC=12CB.过点C作CD∥OA,交OB于点D,因为|OA|=1,|OB|=2,所以ACCB=ODDB=12,CDDB=OAOB=12,故CD=OD,则∠DOC=∠DCO,由CD∥OA可得∠AOC=∠DCO,则∠AOC=∠DOC,故OC平分∠AOB,故B正确.对于C,如图,以O为坐标原点,OA所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,则A(1,0),B2cos2π3,2sin2π3,即B(-1,3),因为|OC|=1,所以不妨设C(cosθ,sinθ),θ∈R,由OC=xOA+yOB可得(cosθ,sinθ)=(x,0)+(-y,3y),故x-y=cosθ,3y=sinθ,解得x=33sinθ+cosθ,y=33sinθ,故x+y=233sinθ+cosθ=213sin(θ+φ),其中tanφ=3217.1,233[解析]以O为坐标原点,OB所在直线为x轴,过点O作OB的垂线,以该直线为y轴建立平面直角坐标系,如图.设扇形AOB的半径为1,则A12,32,B(1,0),设C(