全品高考备战2027年数学一轮学生用书02第32讲平面向量基本定理及坐标表示【正文】听课手册

第32讲平面向量基本定理及坐标表示【课标要求】1.掌握平面向量基本定理.

2.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示.

3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.

4.能用坐标表示平面向量共线.1.平面向量基本定理(1)平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的向量a,实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.

(2)基底若e1,e2,我们把{e1,e2}叫作表示这一平面内向量的一个基底.

2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个的向量,叫作把向量作正交分解.

3.平面向量的坐标运算(1)平面向量的坐标运算已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=,a-b=,λa=.

(2)向量的坐标求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=,|AB|=.

4.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b⇔a=λb(λ∈R)⇔.

常用结论1.爪子定理形式1:如图①,在△ABC中,D是边BC上的点,若BD=m,DC=n,则AD=mm+nAC+nm+nAB,其中AD,AB,AC可知二求一.特别地,若D为边BC的中点,则AD形式2:如图②,在△ABC中,D是边BC上的点,且BD=λBC,则AD=λAC+(1-λ)AB,其中AD,AB,AC可知二求一.特别地,若D为边BC的中点,则AD=12(AC+AB) ① ②2.三角形的重心坐标公式:已知△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则线段AB的中点坐标为x1+x22,题组一常识题1.[教材改编]已知向量AB=(2,3),点A的坐标为(3,2),则点B的坐标为.

2.[教材改编]设平面向量a=(-1,0),b=(0,2),则2a-3b=.

3.[教材改编]在△ABC中,点D为边BC上一点,且BD∶DC=1∶2,设AB=a,AC=b,则AD=.(用a,b表示)

题组二常错题◆索引:忽视构成基底的两个向量不能共线致误;两个向量共线的坐标表示公式掌握不牢致误;忽视共线包括两种情况致误.4.给出下列四组向量:①e1=(0,0),e2=(1,-2);②e1=(-1,2),e2=(5,7);③e1=(3,5),e2=(6,10);④e1=(2,-3),e2=12,-34.5.已知向量a=(1,3λ),b=(2+λ,-3),若a∥b,则λ=.

6.已知A(-3,4),B(-1,2),点P在直线AB上,|AP|=2|PB|,则点P的坐标为.

平面向量基本定理例1(1)如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC边上,且BD=DA,AE=3EC,点F为DE的中点,则BF= ()A.-18BA+B.34BAC.38BA+D.38BA(2)[2025·北京朝阳区二模]在矩形ABCD中,AB⊥AD,AD=2,AB=2,点E为线段AD的中点,BE与AC交于点F.设AF=k1e1+k2e2(k1,k2∈R),其中e1,e2分别是与AB,AD方向相同的单位向量,则 ()A.k1=23,k2=2B.k1=23,k2=C.k1=13,k2=2D.k1=13,k2=总结反思(1)应用平面向量基本定理表示向量,实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一个基底,并用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决问题.变式题(1)[2025·湖南长沙雅礼中学一模]在△ABC中,AB=2,AC=3,BD=DC,AE=2EB.若AD+CE=λAB+μAC,则λ+μ的值为 ()A.32 B.45 C.23 (2)[2025·天津卷节选]在△ABC中,D为AB边的中点,CE=13CD,AB=a,AC=b,则(用a,b表示).

平面向量的坐标运算例2(1)在平面直角坐标系内,△ABC的三个顶点分别为A(-1,1),B(2,3),C(-6,5),则12AB+12AC=A.(-3,2) B.(-1,3)C.(-3,5) D.(-2,4)(2)已知向量a,b,c在正方形网格(规定小方格的边长为1)中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则λμ的值为总结反思(1)利用向量的坐标运算解题时,首先利用加、减、数乘运算法则进行运算,然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则,转化为方程(组)进行求解.(2)向量的坐标表示把点与数联系起来,引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化,成为数与形结合的载体,使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.变式题(1)已知a=(2,1),b=(-3,4),若表示向量3a+4b,-3b,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c的坐标为 ()A.(-15,31) B.(15,-31)C.(3,7) D.(-3,-7)(2)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若CA=λCE+μDB(λ,μ∈R),则λ+μ的值为.

平面向量共线的坐标表示例3(1)[2025·南通押题卷]已知两个不相等的向量a=(2,m+1),b=(2-4m,1),若a∥(2a-b),则m= ()A.12 B.C.-12 D.-(2)已知平面四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且BC=2AD,则顶点D的坐标为 ()A.2,72 C.(3,2) D.(1,3)总结反思1.两平面向量共线的充要条件有两种形式:①若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0;②若a∥b(b≠0),则a=λb.2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时,也可以利用坐标对应成比例来求解.