华东师大版八年级数学下册《16．1变量与函数》同步练习题（带答案）

第页华东师大版八年级数学下册《16．1变量与函数》同步练习题（带答案）1．在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做，取值始终保持不变的量叫做.2．一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有与之对应，我们就说x是，y是，此时也称y是x的．3．对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值．4．函数的表示方法有、、．5．根据函数关系式的形式可以确定函数自变量的，在实际问题中，自变量的取值还会受到实际意义的限制．考点1常量与变量【典例1】甲以每小时20km的速度行驶时，他所走的路程s(km)与时间t(h)之间可用公式s＝20t来表示，则下列说法正确的是(C)A.数20和s，t都是变量B．s是常量，数20和t是变量C．数20是常量，s和t是变量D．t是常量，数20和s是变量此题主要考查了常量与变量，掌握常量和变量的定义是解决此类问题的关键．【变式训练】1．如图是某加油站加油机上的数据显示牌，在此次加油过程中的变量是()A．金额B．油量C．单价D．金额和油量考点2函数的概念及关系式【典例2】汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，这段距离叫做刹车距离．根据有关资料显示，在湿滑路面行驶时，某车的刹车距离s(m)与车速v(km/h)之间的关系为s＝eq\f(1,4)v.(1)写出上述关系中的自变量和因变量；(2)当v＝30km/h时，求相应的刹车距离s的值；(3)若该车在限速40km/h的公路上行驶时，当刹车距离为12m时，通过计算说明该车是否超速．判断某个问题中的两个变量是否为函数关系，必须具备两个基本条件：一、能用学过的数学知识来描述两个变量之间的关系；二、深刻理解函数的定义的三个要素：1.有两个变量；2.一个变量的数值随着另一个变量的数值变化而变化；3.自变量每确定一个值，函数都有唯一的值和它对应．【变式训练】2．为了解某种车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成如下表格：汽车行驶时间t(小时)0123…油箱剩余油量Q(升)100948882…(1)如表反映的两个变量中，自变量是，因变量是；(2)根据表格可知，汽车行驶3小时后，该车油箱的剩余油量为升，汽车每小时耗油升；(3)请直接写出两个变量之间的关系式(用t来表示Q).考点3自变量的取值范围【典例3】求下列函数自变量的取值范围：(1)y＝2025x－1；(2)y＝eq\f(2,3x－1)；(3)y＝eq\r(1－3x)；(4)eq\f(\r(x－3),x－4).函数自变量取值从表达式看有四种形式：①整式；②分式；③算术平方根；④分式与算术平方根的综合．其中①自变量取值为一切实数；②满足分母不等于0；③满足被开方数大于等于0；④既满足被开方数为非负数，又满足分母不为0.另外还要考虑与实际问题相符．【变式训练】3．求下列函数中自变量的取值范围．(1)y＝2x－1；(2)y＝eq\r(x－3)＋eq\r(5－x)；(3)y＝eq\f(1,\r(4－2x)).考点4函数值【典例4】已知函数y＝2x－3.求当x＝－eq\f(1,2)，x＝4时函数y的值．本题考查了求函数值．注意：(1)当已知函数关系式时，求函数值就是求代数式的值；(2)一个自变量的值对应唯一的一个函数值；而一个函数值，可以对应多个自变量的值．【变式训练】4．根据如图所示的程序计算函数y的值，当输入的x的值为4时，输出的y的值为5.当输入x的值为3时，输出的y的值为()A．－6B．6C．－3D．3知识点1常量与变量1．水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C＝2πr.下列判断正确的是()A.2是变量B．π是变量C．r是变量D．C是常量2．购买单价为3元的笔记本，总金额y(元)与笔记本数x(本)的关系为y＝3x，其中是常量，是变量．3．分析并指出下列关系中的变量与常量：(1)球的表面积S(cm2)与球的半径R(cm)的关系式是S＝4πR2；(2)以固定的速度v0(米/秒)向上抛一个小球，小球的高度h(米)与小球运动的时间t(秒)之间的关系式是h＝v0t－4.9t2；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h(m)与它下落的时间t(s)的关系式是h＝eq\f(1,2)gt2(其中g取9.8m/s2)；(4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w(千克)与所付款x(元)之间的关系式是x＝1.8w.知识点2函数的概念4．下列关于y与x的关系式中，y是x的函数的是()A．y＝x2B．y＝±xC．|y|＝x＋1D．y2＝x知识点3函数关系式5．2025年4月23日为第30个世界读书日，各地纷纷开展了内容丰富、形式多样、主题鲜明的读书活动．某书店积极响应号召，为鼓励大家租借图书，增加阅读量，将收费标准下调为：每本书在租赁后的前三天按每天0.6元收费，三天后按每天0.8元收费(不足一天按一天计算)，则租金y(元)和租赁天数x(x≥3)之间的关系式为()A．y＝0.6xB．y＝0.8xC．y＝0.8x－0.6D．y＝0.8x－46．长方形的周长为60cm，其中一条边为xcm(其中x＞0)，面积为ycm2，则在这个长方形中，y与x的关系可以写为()A．y＝60x－2x2B．y＝30x－x2C．y＝0.5x2－60D．y＝0.5x2－307．使函数y＝eq\f(x,x－1)有意义的自变量x的取值范围是()A．x≠1且x≠0B．x≠1C．x＞1D．x＜18．中国古代有很多极为精巧的发明，榫卯结构就是其一，它是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图，已知一个木构件的长度为6，其凸出部分的长度为1，若x个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度为y，则y关于x的关系式可以表示为．易错易混点抽象模型不熟练导致错误9．如图，用一根长8cm的铁丝围成一个长方形，小北发现矩形的邻边a，b及面积S是三个变量，下面有三个说法：①b是a的函数；②S是a的函数；③a是S的函数．其中所有正确的结论的序号是()A．①②B．①③C．②③D．①②③10．购某种三年期国债x元，到期后可得本息和y元，已知y＝kx，则这种国债的年利率为()A．kB．eq\f(k,3)C．k－1D．eq\f(k－1,3)11．元旦联欢会前某班布置教室，同学们利用彩纸条粘成一环套一环的彩纸链，小颖测量了部分彩纸链的长度，她得到的数据如下表：纸环数x(个)1234…彩纸链长度y(cm)19365370…(1)猜想x、y之间的函数关系，并求出函数关系式；(2)教室天花板对角线长10m，现需沿天花板对角线各拉一根彩纸链，则至少需要用多少个纸环？【母题P35T1】写出下列各问题中的函数关系式，并指出自变量的取值范围：(1)三角形的一边长为5cm，它的面积S(cm2)是这边上的高h(cm)的函数；(2)设直角三角形中一个锐角的度数为α，另一个锐角的度数β是α的函数；(3)某种报纸的单价为1.50元，购买这种报纸x份的总价y(元)是x的函数．【变式】分别写出下列函数的关系式，并确定其中自变量的取值范围．(1)在时速为60km的匀速运动中，运动路程s(km)是时间t(h)的函数；(2)某校要在校园中辟出一块面积为64m2的长方形土地做花圃，这个花圃的长y(m)是宽x(m)的函数．(模型观念)如图，已知线段AB的长为4cm，点C是线段AB上一动点(点C不与A、B重合)，分别以AC、BC为边，在AB同侧作正方形．设线段AC的长为变量x(cm)，两正方形的面积和为变量S(cm2)，其中0＜x＜4.(1)两正方形的面积和S与线段AC的长x之间的关系式为；(2)根据(1)中的关系式完成下表，并分析S随x变化的规律(写出一个结论即可).变化规律为：．AC的长x(cm)…0.511.522.533.5…两正方形面积和S(cm2)…12.51088.512.5…参考答案1．在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，取值始终保持不变的量叫做常量.2．一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数．3．对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值．4．函数的表示方法有图象法、列表法、解析法．5．根据函数关系式的形式可以确定函数自变量的取值范围，在实际问题中，自变量的取值还会受到实际意义的限制．考点1常量与变量【典例1】甲以每小时20km的速度行驶时，他所走的路程s(km)与时间t(h)之间可用公式s＝20t来表示，则下列说法正确的是(C)A.数20和s，t都是变量B．s是常量，数20和t是变量C．数20是常量，s和t是变量D．t是常量，数20和s是变量解析：在s＝20t中，数20是常量，s和t是变量．此题主要考查了常量与变量，掌握常量和变量的定义是解决此类问题的关键．【变式训练】1．如图是某加油站加油机上的数据显示牌，在此次加油过程中的变量是(D)A．金额B．油量C．单价D．金额和油量考点2函数的概念及关系式【典例2】汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，这段距离叫做刹车距离．根据有关资料显示，在湿滑路面行驶时，某车的刹车距离s(m)与车速v(km/h)之间的关系为s＝eq\f(1,4)v.(1)写出上述关系中的自变量和因变量；(2)当v＝30km/h时，求相应的刹车距离s的值；(3)若该车在限速40km/h的公路上行驶时，当刹车距离为12m时，通过计算说明该车是否超速．解：(1)v是自变量，s是因变量．(2)当v＝30km/h时，s＝eq\f(1,4)×30＝7.5m.(3)由题意，知当s＝12m时，12＝eq\f(1,4)v，解得v＝48km/h.∵48＞40，∴该车超速了．判断某个问题中的两个变量是否为函数关系，必须具备两个基本条件：一、能用学过的数学知识来描述两个变量之间的关系；二、深刻理解函数的定义的三个要素：1.有两个变量；2.一个变量的数值随着另一个变量的数值变化而变化；3.自变量每确定一个值，函数都有唯一的值和它对应．【变式训练】2．为了解某种车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成如下表格：汽车行驶时间t(小时)0123…油箱剩余油量Q(升)100948882…(1)如表反映的两个变量中，自变量是汽车行驶时间t，因变量是汽车油箱的剩余油量Q；(2)根据表格可知，汽车行驶3小时后，该车油箱的剩余油量为82升，汽车每小时耗油6升；(3)请直接写出两个变量之间的关系式(用t来表示Q).(1)汽车行驶时间t汽车油箱的剩余油量Q(2)826(3)由表格，可知汽车一开始的油量为100升，每小时汽车耗油6升，则汽车油箱剩余油量和汽车行驶时间的关系为Q＝100－6t.考点3自变量的取值范围【典例3】求下列函数自变量的取值范围：(1)y＝2025x－1；(2)y＝eq\f(2,3x－1)；(3)y＝eq\r(1－3x)；(4)eq\f(\r(x－3),x－4).解：(1)x为一切实数；(2)由分式有意义的条件，得3x－1≠0，得x≠eq\f(1,3)；(3)由二次根式有意义的条件，得1－3x≥0，∴分式和二次根式有意义的条件，得x≤eq\f(1,3)；(4)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3≥0，,x－4≠0，))得x≥3且x≠4.函数自变量取值从表达式看有四种形式：①整式；②分式；③算术平方根；④分式与算术平方根的综合．其中①自变量取值为一切实数；②满足分母不等于0；③满足被开方数大于等于0；④既满足被开方数为非负数，又满足分母不为0.另外还要考虑与实际问题相符．【变式训练】3．求下列函数中自变量的取值范围．(1)y＝2x－1；(2)y＝eq\r(x－3)＋eq\r(5－x)；(3)y＝eq\f(1,\r(4－2x)).(1)y＝2x－1中，自变量的取值范围是全体实数；(2)由题意，得x－3≥0，5－x≥0，解得3≤x≤5；(3)由题意，得4－2x＞0，解得x＜2.考点4函数值【典例4】已知函数y＝2x－3.求当x＝－eq\f(1,2)，x＝4时函数y的值．解：当x＝－eq\f(1,2)时，y＝2×(－eq\f(1,2))－3＝－4.当x＝4时，y＝2×4－3＝5.本题考查了求函数值．注意：(1)当已知函数关系式时，求函数值就是求代数式的值；(2)一个自变量的值对应唯一的一个函数值；而一个函数值，可以对应多个自变量的值．【变式训练】4．根据如图所示的程序计算函数y的值，当输入的x的值为4时，输出的y的值为5.当输入x的值为3时，输出的y的值为(A)A．－6B．6C．－3D．3知识点1常量与变量1．水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C＝2πr.下列判断正确的是(C)A.2是变量B．π是变量C．r是变量D．C是常量2．购买单价为3元的笔记本，总金额y(元)与笔记本数x(本)的关系为y＝3x，其中3是常量，x，y是变量．3．分析并指出下列关系中的变量与常量：(1)球的表面积S(cm2)与球的半径R(cm)的关系式是S＝4πR2；(2)以固定的速度v0(米/秒)向上抛一个小球，小球的高度h(米)与小球运动的时间t(秒)之间的关系式是h＝v0t－4.9t2；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h(m)与它下落的时间t(s)的关系式是h＝eq\f(1,2)gt2(其中g取9.8m/s2)；(4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w(千克)与所付款x(元)之间的关系式是x＝1.8w.(1)常量是4π，变量是S，R；(2)常量是v0，4.9，变量是h，t；(3)常量是eq\f(1,2)，g，变量是h，t；(4)常量是1.8，变量是x，w.知识点2函数的概念4．下列关于y与x的关系式中，y是x的函数的是(A)A．y＝x2B．y＝±xC．|y|＝x＋1D．y2＝x知识点3函数关系式5．2025年4月23日为第30个世界读书日，各地纷纷开展了内容丰富、形式多样、主题鲜明的读书活动．某书店积极响应号召，为鼓励大家租借图书，增加阅读量，将收费标准下调为：每本书在租赁后的前三天按每天0.6元收费，三天后按每天0.8元收费(不足一天按一天计算)，则租金y(元)和租赁天数x(x≥3)之间的关系式为(C)A．y＝0.6xB．y＝0.8xC．y＝0.8x－0.6D．y＝0.8x－46．长方形的周长为60cm，其中一条边为xcm(其中x＞0)，面积为ycm2，则在这个长方形中，y与x的关系可以写为(B)A．y＝60x－2x2B．y＝30x－x2C．y＝0.5x2－60D．y＝0.5x2－307．使函数y＝eq\f(x,x－1)有意义的自变量x的取值范围是(B)A．x≠1且x≠0B．x≠1C．x＞1D．x＜18．中国古代有很多极为精巧的发明，榫卯结构就是其一，它是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图，已知一个木构件的长度为6，其凸出部分的长度为1，若x个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度为y，则y关于x的关系式可以表示为y＝5x＋1．易错易混点抽象模型不熟练导致错误9．如图，用一根长8cm的铁丝围成一个长方形，小北发现矩形的邻边a，b及面积S是三个变量，下面有三个说法：①b是a的函数；②S是a的函数；③a是S的函数．其中所有正确的结论的序号是(A)A．①②B．①③C．②③D．①②③由题意，得2(a＋b)＝8，∴b＋a＝4，∴b＝4－a，∴b是a的函数，故①正确；∵S＝ab，∴S＝a(8－a)＝－a2＋8a，∴S是a的函数，故②正确；∵－a2＋8a＝S，∴a2－8a＝－S，∴a2－8a＋16＝16－S，∴(a－4)2＝16－S，∴a－4＝±eq\r(16－S)，∴a＝4±eq\r(16－S)，∴a不是S的函数，故③不正确；所以，所有正确的结论的序号是①②.10．购某种三年期国债x元，到期后可得本息和y元，已知y＝kx，则这种国债的年利率为(D)A．kB．eq\f(k,3)C．k－1D．eq\f(k－1,3)11．元旦联欢会前某班布置教室，同学们利用彩纸条粘成一环套一环的彩纸链，小颖测量了部分彩纸链的长度，她得到的数据如下表：纸环数x(个)1234…彩纸链长度y(cm)19365370…(1)猜想x、y之间的函数关系，并求出函数关系式；(2)教室天花板对角线长10m，现需沿天花板对角线各拉一根彩纸链，则至少需要用多少个纸环？(1)彩纸链的长度y(cm)与纸环数x(个)满足的函数关系式为y＝17x＋2.(2)10m＝1000cm，根据题意，得17x＋2≥1000.解得x≥58eq\f(12,17)，59×2＝118(个).答：至少需要用118个纸环．【母题P35T1】写出下列各问题中的函数关系式，并指出自变量的取值范围：(1)三角形的一边长为5cm，它的面积S(cm2)是这边上的高h(cm)的函数；(2)设直角三角形中一个锐角的度数为α，另一个锐角的度数β是α的函数；(3)某种