2025-2026学年下学期江苏省南师附中高二数学5月期中试卷(含答案)

南京师大附中2025—2026学年度第2学期高二年级期中考试数学试卷一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.下列图中,相关系数最大的是()A.B.C.D.2.若向量a=0,3,0是直线l的方向向量,向量n=2,2,1是平面A.223B.53C.3.已知随机变量X∼Nμ,σ2,Y∼A.13B.23C.14.x2+1x2+2A.1B.6C.15D.205.某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对通义千问、DeepSeek、豆包这3种人工智能模型展开学习调研,要求:每种模型至少有1人负责,每人必须且只能选择1种模型.若小李和小赵不能调研同一种模型,则不同的安排方案总数为()A.144B.114C.94D.786.如图,在三棱柱ABC−A1B1C1中,∠A1AB=∠A1AC=60∘,∠BAC=90∘,AB=AC=2A1A=2,点DA.12B.1C.27.生活中常常会因为谐音闹误会，数学课上，某同学会把“复数”和“负数”听混淆.已知老师说“复数”时,学生理解为“负数”的概率为110;老师说“负数”时,学生理解为“复数”的概率为120.假设在评讲试卷时，老师说“复数”和“负数”是等可能的，已知学生理解的是“负数”，则此时老师说的是A.1921B.12C.18.若向量n=A,B,C是平面α的一个法向量,且平面α经过点P0x0,y0,z0,则平面α的方程为Ax−x0A.24πB.21πC.16πD.12π二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对得6分,部分选对得部分分,不选或有选错的得0分.9.市物价部门对五家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查,5家商场的售价x(元)和销售量y(件)之间的数据如表所示:x99.51010.511y120100706050用最小二乘法求得经验回归方程为y=bx+440A.bB.变量x,yC.相对于点9.5,100D.当x=8时,y10.已知100只灯泡中存在n2≤n≤92只不合格品,从中一次任取10只,记取出的灯泡中不合格品的个数为X,恰含有2只不合格品的概率为A.XB.fC.若EX=3D.当n=20时,f11.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中,点E为棱ABλ,μ∈A.若λ=0,μ=1，则平面D1FCB.若λ=2μ，则平面A1BFC.若λ+μ=1，则点F到直线DD.存在唯一有序实数对λ,μ,使得三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知空间向量a=3,−1,2，b=−6,2,x，若b13.圆台轴截面ABEF是等腰梯形，若∠FAB=60∘，AB=2FE，点D在AB上，∠DAB=30∘14.五声音阶是中国传统音乐的基础音阶结构，按音高从低到高的顺序分别是宫、商、角、徵、羽.甲、乙两位同学进行“辨音”练习,甲随机弹奏五声音阶中的3个不同音符,乙按顺序说出是哪三个音符.由于乙是初学者,不能正确分辨绝对音高及相差音程(指音高间的差距),只能正确分辨所听音符的相对音高.已知甲依次弹奏了徵、角、羽三个音，乙根据听到的相对音高关系，按顺序猜测这三个音.用X表示乙的猜测结果与甲弹奏的音在相同位置一致的个数，则EX四、解答题:本题共5小题,共77分.解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)某中国服装品牌为了解国内、外客户对该品牌服饰的态度,在国内和国外分别选择100人开展抽样调查,绘制了如图所示的等高条形图.等高条形图是一种用于展示两个分类变量之间关系的统计图表,其核心特点是所有条形的高度相同,通过颜色或图案区分不同类别,从而直观反映各组内百分比的差异.(1)填写下面的2×2乐观不乐观合计国内代表国外代表合计(2)判断是否有99.5%的把握认为对该品牌服饰的态度与国内外差异有关.附:χ2P0.0500.0100.005k3.8416.6357.87916.(本小题满分15分)已知在x3−2xn的展开式中,第(1)求n的值；(2)若展开式的第k项是有理项，求k的取值集合；(3)记展开式中所有奇数项的系数之和为a，偶数项的系数之和为b，求a217.(本小题满分15分)甲、乙两人进行“跳跳棋”游戏，游戏规则如下:每人制作一个质地均匀的正四面体骰子，每面上自己写一个非负整数，每个数字代表棋子前进的步数.游戏开始后，每人掷骰子，根据底面的点数移动棋子，直至棋子到达或超过终点格后结束游戏，以最终掷骰子次数少的获胜.已知甲的骰子上写着“1、1、2、2”,乙的骰子上写着“0、1、2、3”,游戏开始时,棋子的起点均在第0格,终点均设在第4格.(1)记X表示甲在游戏结束时的抛掷次数，求X的概率分布列及数学期望；(2)求在甲掷3次骰子结束游戏的条件下，乙获胜的概率.18.(本小题满分17分)如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，四边形BCFE是矩形，平面(1)证明:BE⊥平面ABC(2)已知二面角A−BE−C是90∘,AC=AD=BE=2①求BC；②在棱AD上是否存在一点M，使得二面角B−ME−C的余弦值为45？若存在，求出19.(本小题满分17分)已知n个盒子排成一排,每个盒子中均装有除颜色以外完全相同的1个黑球和1个白球,备用盒子中装有除颜色以外完全相同的M个黑球和N个白球.试验规则如下:先从备用盒子中,随机摸出一球,放入第1个盒子,再从第1个盒子中随机摸出一球放入第2个盒子,接着从第2个盒子中随机摸出一球放入第3个盒子,...,以此类推,直至从第n个盒子中随机摸出一球,第一轮试验结束.(每月金)(第1个盒子)(第2个盒子)(第n个盒子)(1)若n=2,M=1,N=0，记第一轮试验结束时装有1个黑球和(2)若M=2N，记从第k个盒子中摸出黑球的概率为Pk，其中①求Pk②当第一轮试验结束后，将含有同色球的盒子取走，剩下的盒子按原来的顺序重新排成一排，若盒子全部取走,则试验结束,否则将备用盒的黑、白球数量复原,重复第一轮操作,以此类推,求第三轮试验结束且只剩一个盒子的概率.南京师大附中2025—2026学年度第2学期高二年级期中考试数学试卷一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.【答案】A2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】C5.【答案】B6.【答案】B7.【答案】D8.【答案】C二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对得6分,部分选对得部分分,不选或有选错的得0分.9.【答案】ABD10.【答案】BCD11.【答案】BC三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.【答案】-413.【答案】24 14.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)(1)乐观不乐观合计国内代表6040100国外代表4060100合计100100200(2)H0则χ2答:有99.5%的把握认为对该品牌服饰的态度与国内外差异有关.16.(本小题满分15分)(1)展开式的第r+1项为Cnr−2r⋅x(2)由(1)得展开式的第r+1项为C8r−2r⋅x24−所以k的取值集合为{1(3)由(1)得x3−所以有a=Cb设x−28=i所以x=1时有1=a+b,x=−17.(本小题满分15分)(1)X的可能取值为2,3,4,则PX=2=122=14,PXX234P1581因此X的分布列为,X的期望EX(2)要满足题意则乙必须两步完成游戏，且其中一步必抛到3，另一步抛到1或2或3均可，设此事件为A，则PA18.(本小题满分17分)(1)在面ABC内,过点B作AC的垂线,设垂足为H，即有BH⊥AC，因为BH⊥AC，因为BH⊥AC，BH⊂面ABC，面ACFD∩面ABC=AC,面ACFD⊥面ABC,所以BH⊥面ACFD,又因为CF⊂面ACFD,所以BH⊥CF,因为四边形BCFE是矩形,所以BE//CF,BE⊥BC,因为BE//CF,BH⊥CF,所以BH⊥BE，因为BE⊥BC，(2)因为BE⊥面ABC，AB⊂面ABC，所以BE⊥AB，又因为BE⊥BC，所以∠ABC是二面角A−BE−C的平面角，即AB⊥BC，所以可以以B为原点，BE所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BA所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,由已知得B0,0,①设面ACE的法向量为t=a,b即有nb令b=m,则c=−n,a=mn2,所以t=mn2,m,−n即mn=2,又因为m2+n2=4②设AMAD=s∈0,1，则M2s,0,2，即有EM=2s−2,0,2令a′=1,则b′=2,c′=21−s,即v=1,19.(本小题满分17分)(1)设Xii=1,2是第i个盒子中有一黑一白的情况的事件，则第1个盒子:放入黑球后共3个球(2黑1白)求出1个球后剩余2个球;若摸出黑球(概率23),剩余1黑