初一数学线性方程组导学案及习题训练

初一数学线性方程组导学案及习题训练就是一个二元一次方程组。*二元一次方程组的解：使二元一次方程组中两个方程的左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。*例如，对于上面的方程组，当x=10，y=20时，代入第一个方程：10+20=30，成立；代入第二个方程：20×10+15×20=200+300=500，也成立。所以，x=10，y=20是这个方程组的解。（三）新知探究：二元一次方程组的解法解二元一次方程组的基本思想是“消元”，即通过一定的方法，把二元一次方程组转化为我们已经熟悉的一元一次方程来求解。常用的消元方法有两种：代入消元法和加减消元法。1.代入消元法核心思路：将方程组中的一个方程变形，用含有一个未知数的式子表示另一个未知数，然后代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。步骤演示：我们以方程组`{x+y=30①{20x+15y=500②`为例。*第一步：变形（选一个系数较简单的方程变形）选择方程①，将其变形为用含x的式子表示y（或用含y的式子表示x）。由①得：y=30-x③*第二步：代入（将变形后的方程代入另一个未变形的方程）将③代入②，消去y，得到一个关于x的一元一次方程。20x+15(30-x)=500*第三步：求解（解这个一元一次方程，求出一个未知数的值）解这个方程：20x+450-15x=5005x+450=5005x=50x=10*第四步：回代（将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值）将x=10代入③，得：y=30-10=20*第五步：写解（写出方程组的解）所以，原方程组的解是`{x=10{y=20`方法归纳：一选、二变、三代、四解、五回代、六写解。2.加减消元法核心思路：当方程组中两个方程的同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加减消元法，简称加减法。步骤演示：我们来看一个新的方程组`{2x+3y=11①{5x-3y=10②`*第一步：观察（观察同一未知数的系数是否有相等或互为相反数的关系）观察y的系数，方程①中y的系数是3，方程②中y的系数是-3，它们互为相反数。*第二步：加减（将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数）将①和②相加，消去y：(2x+3y)+(5x-3y)=11+102x+5x+3y-3y=217x=21*第三步：求解（解这个一元一次方程，求出一个未知数的值）x=3*第四步：回代（将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值）将x=3代入①，得：2×3+3y=116+3y=113y=5y=5/3*第五步：写解（写出方程组的解）所以，原方程组的解是`{x=3{y=5/3`另一种情况：当同一个未知数的系数既不相等也不互为相反数时，我们可以通过将方程两边都乘以同一个适当的数，使其中一个未知数的系数相等或互为相反数，然后再用加减法消元。例如方程组`{3x+2y=7①{2x-y=1②`这里y的系数分别是2和-1，我们可以将方程②两边都乘以2，使y的系数变为-2，与方程①中y的系数2互为相反数。*第一步：变形（将方程两边同乘一个数，使同一未知数系数相等或相反）将②×2得：4x-2y=2③*第二步：加减（将①和③相加，消去y）①+③得：(3x+2y)+(4x-2y)=7+27x=9*第三步：求解x=9/7*第四步：回代（将x=9/7代入②）2*(9/7)-y=118/7-y=7/7-y=7/7-18/7-y=-11/7y=11/7*第五步：写解所以，原方程组的解是`{x=9/7{y=11/7`方法归纳：一观、二变（若需要）、三加减、四解、五回代、六写解。（四）方法归纳与总结1.代入法适用情况：*方程组中某个方程的未知数系数为1或-1时，用代入法比较简便。*方程组中有一个方程的某个未知数很容易用含另一个未知数的式子表示出来时。2.加减法适用情况：*方程组中同一个未知数的系数相等或互为相反数时，直接使用加减法。*方程组中同一个未知数的系数成倍数关系，或通过简单变形可以使其系数相等或互为相反数时。在解题时，要根据方程组的具体特点，灵活选择合适的消元方法。有时，两种方法可以结合使用。（五）典型例题解析例1：用代入法解方程组`{3x-y=7①{x+2y=4②`分析：方程①中y的系数是-1，容易用含x的式子表示y。解：由①得：y=3x-7③将③代入②得：x+2(3x-7)=4x+6x-14=47x=18x=18/7将x=18/7代入③得：y=3*(18/7)-7=54/7-49/7=5/7所以，原方程组的解是`{x=18/7{y=5/7`例2：用加减法解方程组`{4x+3y=5①{2x-5y=-17②`分析：x的系数分别是4和2，若将方程②两边乘以2，则x的系数变为4，与方程①中x的系数相等，再相减即可消去x。解：②×2得：4x-10y=-34③①-③得：(4x+3y)-(4x-10y)=5-(-34)4x+3y-4x+10y=3913y=39y=3将y=3代入①得：4x+3*3=54x+9=54x=-4x=-1所以，原方程组的解是`{x=-1{y=3`二、习题训练（一）基础巩固A组：解下列方程组（可自选方法）1.`{x+y=5{x-y=1`2.`{2x+y=3{x=2y`3.`{3x+2y=8{x-y=1`4.`{4x-3y=5{2x+5y=12`5.`{3x-2y=7{2x+3y=17`（二）能力提升B组：解下列方程组1.`{(x/2)+(y/3)=2{2x+3y=28`(提示：先去分母化简)2.`{3(x-1)=y+5{5(y-1)=3(x+5)`(提示：先去括号，再整理成标准形式)C组：列方程组解决实际问题1.某校组织学生参加社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；如果改租同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车刚好坐满。原计划租用45座客车多少辆？参加社会实践活动的学生共有多少人？2.某商店准备购进A、B两种商品。已知购进A商品3件和B商品2件，共需120元；购进A商品5件和B商品4件，共需220元。求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？三、参考答案与提示（一）基础巩固（A组）1.`{x=3{y=2`(提示：直接用加减法，x+y+x-y=5+1→2x=6→x=3，再代入求y)2.`{x=2{y=1`(提示：代入法，将x=2y代入2x+y=3)3.`{x=2{y=1`(提示：代入法，由x-y=1得x=y+1，代入3x+2y=8)4.`{x=2{y=1`(提示：加减法，②×2-①消去x)5.`{x=5{y=4`(提示：①×3+②×2消去y)（二）能力提升B组1.`{x=-4{y=12`(提示：第一个方程两边同乘6得3x+2y=24，记为③；原第二个方程为2x+3y=28记为④。可采用③×2-④×3消去x)2.`{x=5{y=7`(提示：先整理为`{3x-y=8①{3x-5y=-20②`，再用①-②消去x)C组1.解：设原计划租用45座客车x辆，参加社会实践活动的学生共有y人。根据题意，得`{45x+15=y{60(x-1)=y`解得`{x=5{y=240`答：原计划租用45座客车5辆，参加社会实践活动的学生共有240人。2.解：设A商品每件进价x元，B商品每件进价y元。根据题意，