电路基础 课件 第5-8章 线性动态电路的时域分析 -线性动态电路的复频域分析

线性动态电路的时域分析CONTENTS目录动态元件换路定律和初始值的计算RC电路的响应RL电路的响应一阶电路的全响应5.1动态元件所谓动态元件是指电压与电流的约束为微分或积分关系的元件，动态元件又称为储能元件。Part01Part02Part03动态元件5.1动态元件电感元件电感是储存磁场能量的元件。电容元件电容是储存电场能量的元件。电感器常用于供配电系统（如发电机、变压器、电动机）和信号处理系统（如收音机、电视机、雷达）等电路中。Part01Part02Part03应用5.1.1电感元件实物图电感元件在任意时刻磁链Ψ(t)与电流i(t)之间的关系，通常用Ψ-i平面的一条曲线确定。Part01Part02Part03定义1.电感元件定义图形符号单位亨（H）、毫亨（mH）、微亨（μH）选择电感时，不仅要考虑其标称电感量，还要考虑其额定电流值，即电感器允许通过的最大电流。如果电流过大，会使电感器线圈过热，致使电感器烧毁。Part01Part02Part03定义2.电感元件的伏安关系伏安关系电感电流连续性如果只研究某一起始时刻t0以后的电感电流，即初始电流，可得：结论：实际电路中，通过电感的电压u(t)为有限值时，则电感电流i(t)必定是时间的连续函数，即电感电流不能跃变，可表示为Part01Part02Part03电路模型2.电感元件的伏安关系结论：伏安关系具有初始电压i(t0)的线性电感元件，可以等效为一个电流等于初始电流i(t0)的电流源和初始电流为零的同一电感元件相并联的电路模型。Part01Part02Part03瞬时功率3.电感的储能电感元件也不消耗能量，其存放能量的过程是能量可逆转换过程。电感是无源元件。关联参考方向：磁场能如果电感开始充电时的电流为零，可得：已知电感器电感为0.1H，通过电感器的电流为

A，试计算电感器两端的电压u(t)和电感储存的能量W(t)

。Part01Part02Part03例5-13.电感的储能解：电感两端的电压为解：电感储存的能量为把几个电感首尾相接连成一个无分支的电路，称为电感的串联。Part01Part02Part03电感元件的串联4.电感元件的串联与并联解：设各电感元件电压与电流为关联参考方向，根据KVL，可得：可得结论：电感串联，等效电感Leq等于各电感之和。电路如图所示，试求图所示电路的等效电感。Part01Part02Part03例5-2解：等效电感为4.电感元件的串联与并联把几个电感的一端连在一起，另一端也连在一起的连接方式，称为电感的并联。Part01Part02Part03电感元件的并联解：设各电感元件电压与电流为关联参考方向，根据KCL，可得：根据电感电压和电流的关系式，可得即：结论：当电感并联时，等效电感Leq的倒数等于各电感倒数之和。4.电感元件的串联与并联电路如图所示，试求图所示电路的等效电感。Part01Part02Part03例5-3解：等效电感为4.电感元件的串联与并联电容元件常用于收音机、电视机的接收电路、信号发生器的振荡电路、计算系统的动态存储单元电路等。Part01Part02Part03应用5.1.2电容元件实物图电容元件是一种能存储电场能量的理想元件，电容元件在任意时刻极板储存的电荷q(t)与两极板电压u(t)之间的关系，通常用q‒u平面的一条曲线确定。Part01Part02Part03定义1.电容元件定义图形符号单位法拉（F）、微法拉（μF）、皮法拉（pF）选择电感时，不仅要考虑其标称电容量，还要考虑其额定电压值。如果电压过大，电容器的介质会被击穿，使电容器损坏。Part01Part02Part03定义2.电容元件的伏安关系伏安关系电容电压连续性如果只研究某一起始时刻t0以后的电容电压，即初始电压，可得：结论：实际电路中，电容的电流i(t)为有限值时，则电容电压u(t)必定是时间的连续函数，即电容电压不能跃变，可表示为Part01Part02Part03电路模型2.电容元件的伏安关系结论：伏安关系具有初始电压u(t0)的线性电感元件，可以等效为一个电压等于初始电压u(t0)的电压源和初始电压为零的同一电容元件相串联的电路模型。试求出通过200μF电容的电流，电容两端电压如图所示。Part01Part02Part03例5-42.电容元件的伏安关系解：根据图可知电容电压数学表达式为解：由上式可得波形图为Part01Part02Part03瞬时功率3.电容的储能电容元件既不消耗能量也不产生能量，仅储存能量。电容是无源元件。关联参考方向：磁场能如果电容开始充电时的电压为零，可得：已知3pF电容两端电压为20V，求：（1）电容电荷量q；（2）电容储存能量W。Part01Part02Part03例5-53.电容的储能解：（1）电容电荷量解：（2）电容储存能量现有3A的电流源从t=0开始对C=1F的电容充电，设电容初始电压u(0)=0V，求20s后电容所储存的能量是多少？Part01Part02Part03例5-63.电容的储能解：由解：可知当t=20s时，电容电压

所以把几个电容首尾相接连成一个无分支的电路，称为电容的串联。Part01Part02Part03电容元件的串联4.电容的串、并联解：根据KVL设串联总电容（等效电容）为Ceq，则由，可得结论：电容串联的总电容的倒数等于各个电容电容值的倒数之和。电路如图所示，C1=C2=C3=200μF，额定工作电压为50V，总电压U=120V，求串联电容器的等效电容是多大？每个电容器两端的电压是多大？在此电压下工作是否安全？Part01Part02Part03例5-7解：等效电容为每只电容上所带的电荷量为解：每只电容上的电压为电容器上的电压小于它的额定工作电压，因此电容在这种情况下工作是安全的。4.电容的串、并联把几个电容的一端连在一起，另一端也连在一起的连接方式，称为电容的并联。Part01Part02Part03电容元件的并联分析：电容并联时，加在每个电容器上的电压都是U。设每个电容器的电容值分别为C1、C2、C3，电荷量分别为q1、q2、q3，则总电荷量q为可得结论：电容并联的总电容的容值等于各个电容器电容值之和。4.电容的串、并联电容器A的电容为10μF，充电后电压为30V，电容器B的电容为20μF，充电后电压为15V，把它们并联在一起，其电压是多少？Part01Part02Part03例5-8解：电容器A、B连接前的所带电荷量分别为总电荷量解：并联后的总电容为并联后的共同电压为4.电容的串、并联电路如图所示，已知，试求出等效电路等效电容Ceq。Part01Part02Part03例5-9解：根据电路图可知，C4和C5电容串联，故其等效电容Ceq1为Ceq1、C2和C3电容并联，故其等效电容Ceq2为解：Ceq2和C1电容串联，故其等效电容Ceq为

4.电容的串、并联5.2换路定律和初始值的计算在暂态过程中引起电路工作状态变动的因素统称为换路，包括开关接通、断开、电源值突变、元件参数突变等。Part01Part02Part03换路定义5.2.1换路定律换路原因换路只是产生暂态过程的外因，内因是电路中含有储能元件，其实质是由于电路中储能元件储存的能量不能跃变。换路定律电容电压和电感电流在换路后的初始值等于换路前的终了值。换路定则仅适用于换路瞬间，利用它可以由换路前的稳态电路（即t=0‒时等效电路）来确定换路后的uC和iL的初始值，再由这两个初始值根据换路后的暂态电路（即t=0+时等效电路）进一步确定换路后其他电压和电流的初始值。电路的初始条件是指电路的电压变量和电流变量，以及它们1，2，…，（n‒1）阶导数在（换路后的初始时刻）时的值，也称为初始值。Part01Part02Part03定义5.2.2初始值的计算D独立初始值非独立初始值除电容电压uC(0+)和电感电流iL(0+)之外其余变量的初始值都为非独立初始值，如电容电流iC(0+)、电感电压uL(0+)，电阻电压uR(0+)等。独立初始值只包含电容电压uC(0+)和电感电流iL(0+)。Part01Part02Part03定义1.独立初始值的计算步骤步骤由于电容电压uC(t)和电感电流iL(t)不能跃变，由换路定律uC(0+)=uC(0-)和iL(0+)=iL(0-)可知，当电路发生换路时，独立初始值uC(0+)，iL(0+)可以通过计算换路前t=0-时刻的uC(0-)和iL(0-)，然后利用换路定律求得。（1）首先画出t=0-时的等效电路。由于电路在换路前t=0-时已经处于稳定状态，所以电容开路，电感短路；（2）根据t=0-时的等效电路，求出换路前的电容电压uC(0-)和电感电流iL(0-)；（3）根据换路定律，确定独立初始值的电容电压uC(0+)和电感电流iL(0+)。电路如图（a）、（b）所示，已知US=10V，R1=2Ω，R2=3Ω，C=1F，L=1H，当t=0时开关动作，求换路后的初始值i(0+)及uL(0+)。Part01Part02Part03例5-101.独立初始值的计算a）b）电路如图

（a）所示，已知US=10V，R1=2Ω，R2=3Ω，C=1F，L=1H，当t=0时开关动作，求换路后的初始值i(0+)及uL(0+)。Part01Part02Part03例5-101.独立初始值的计算解：（1）根据图（a），换路之前电路已经处于稳定状态，所以电容C所在支路开路，可得解：（1）当t=0+时开关动作，因此电路如图（b）所示，已知US=10V，R1=2Ω，R2=3Ω，C=1F，L=1H，当t=0时开关动作，求换路后的初始值i(0+)及uL(0+)。Part01Part02Part03例5-101.独立初始值的计算解：（2）根据图（b），换路之前电路已经处于稳定状态，所以电感L短路，可得解：（2）当t=0+时开关动作，因此Part01Part02Part03定义2.非独立初始值的计算步骤步骤一般来说，非独立初始值在t=0+时的等效电路中求得。t=0+时的等效电路的画法为：将换路后电路中的电感用电流为iL(0+)的电流源替代（若iL(0+)=0，电感用“开路”替代），电容C用电压为uC(0+)的电压源替代（若uC(0+)=0，电容用“短路"替代），其余元件如独立源、受控源和电阻等保持不变，这样就得到t=0+时刻的等效电路。（1）首先求得独立初始值uC(0+)或iL(0+）。（2）画出电路在t=0+时的等效电路，电感处用一个电流值为iL(0+)的理想电流源代替，电容处用一个电压值为uC(0+)的理想电压源代替。（3）在t=0+时的等效电路中，求解非独立初始值。图所示电路原已稳定，t=0时将开关S断开，求换路后各元件电流、电压的初始值。Part01Part02Part03例5-112.非独立初始值的计算解：（1）先求uC(0+)。解：（1）先求uC(0+)。换路前（开关S断开前）电路为一稳态直流电路，即t=0‒时的等效电路，如右图所示，电容可视为开路。由图可知：电容电压uC(0‒)=4V，由换路定则知：uC(0+)=uC(0‒)=4V。图所示电路原已稳定，t=0时将开关S断开，求换路后各元件电流、电压的初始值。Part01Part02Part03例5-112.非独立初始值的计算解：（2）再求其他值的初始值。求解其他值的初始值，要根据t=0+时等效电路求解，如下图所示。解：（2）再求其他值的初始值。如图所示电路开关闭合前电路已处于稳态，t=0时将开关S闭合，试求图示电流、电压的初始值。Part01Part02Part03例5-122.非独立初始值的计算解：（1）先求iL(0+)。换路前（开关S闭合前）电路为一稳态直流电路，即t=0‒时的等效电路，如下图所示，电感可视为短路。解：（1）由图可知：电感电流iL(0‒)=1A，由换路定则知：

iL(0+)=

iL(0‒)=1A图所示电路开关闭合前电路已处于稳态，t=0时将开关S闭合，试求图示电流、电压的初始值。Part01Part02Part03例5-122.非独立初始值的计算解：（2）再求其他值的初始值。求解其他值的初始值，要根据t=0+时等效电路求解，如下图所示。解：（2）再求其他值的初始值。5.3RC电路的响应用经典法分析电路的暂态过程，就是根据激励（电源电压或电流），通过求解电路的微分方程以得出电路的响应（电压和电流）。由于电路的激励和响应都是时间的函数Part01Part02Part03思路-经典法求解5.3RC

电路的响应DRC电路的零输入响应所谓RC电路的零状态，是指换路前电容元件未储有能量，电容的初始状态为0，即uC(0-)=0。在此条件下，由电源激励所产生的电路的响应，称为零状态响应。所谓RC电路的零输入，是指无电源激励，输入信号为零。在此条件下，由电容元件的初始状态uC(0+)所产生的电路响应，称为零输入响应。DRC电路的零状态响应RC串联电路如图所示，换路前，开关S合在位置a上，电路已达到稳定状态，在t=0时将开关从位置a合到位置b，设U0、R、C均已知，求换路后电路中的uC(t)

和iC(t)。Part01Part02Part03分析5.3.1RC电路的零输入响应解：求解方程式可得解：根据基尔霍夫电压定律，可列出换路后的电压方程可得DRC电路的零输入响应DRC电路的零输入响应（1）电容电压uC(t)和电流iC(t)是按相同的指数规律由初始值开始衰减，衰减的快慢取决于电路参数R和C的乘积。Part01Part02Part03DRC电路的零输入响应特点5.3.1RC电路的零输入响应（3）放电瞬间（即换路瞬间）发生突变，产生初始冲击电流（2）时间常数

τ=RC

称为RC电路的时间常数(TimeConstant)。R的单位为Ω（欧姆），C的单位为F（法拉），则τ的单位为s（秒）。RC愈大，τ愈大，放电愈慢，反之放电愈快。当t=τ=RC时,DRC电路的零输入响应DRC电路的零输入响应

已知电路如图所示，换路前电路已达到稳态，在t=0时将开关闭合，已知IS=10mA，R1=1kΩ，R2=3kΩ，R3=6kΩ，R4=3kΩ，C=2uF，试求换路后的uC

(t)和iC

(t)。Part01Part02Part03例5-135.3.1RC

电路的零输入响应解：（1）求初始值uC

(0+)。解：（2）求时间常数τ

τ=RC=5kΩ×2μF=0.01s（3）求uC

(t)和iC

(t)

RC串联电路如图所示，换路前，电容未储能，电路已达到稳定状态，在t=0时将开关闭合，设US、R、C均已知，求换路后电路中的uC(t)

和iC(t)。Part01Part02Part03分析5.3.2RC

电路的零状态响应解：求解方程式可得解：根据基尔霍夫电压定律，可列出换路后的电压方程可得DRC电路的零状态响应DRC电路的零状态响应（1）直流激励下，一阶RC电路的零状态响应，其物理过程的实质是换路后电路中电容元件的储能从无到有逐渐建立的过程，因此电容电压uC(t)从零开始按指数规律上升至稳态值uC(∞)。Part01Part02Part03DRC电路的零输入响应特点5.3.2RC

电路的零状态响应（3）放电瞬间（即换路瞬间）iC发生突变，产生初始冲击电流（2）时间常数τ=RC的求解方式与RC零输入响应电路的求解方法相同。RC愈大，愈大，充电愈慢，反之充电愈快。

当t=τ=RC时,DRC电路的零输入响应DRC电路的零输入响应

已知电路如图（a）所示，换路前电路已达到稳态，电容未储能，在t=0时将开关闭合，已知US=9V，R1=3kΩ，R2=6kΩ，C=5uF，试求换路后的uC

(t)

。Part01Part02Part03例5-145.3.2RC

电路的零状态响应解：（1）求稳态值uC

(∞)。将换路后的电路用戴维南等效电路替代，如图（b）所示。解：则由电路可知，

已知电路如图（a）所示，换路前电路已达到稳态，电容未储能，在t=0时将开关闭合，已知US=9V，R1=3kΩ，R2=6kΩ，C=5uF，试求换路后的uC

(t)

。Part01Part02Part03例5-145.3.2RC

电路的零状态响应解：（2）求时间常数τ。R=Req=2kΩτ=RC=2kΩ×5μF=0.01s。解：（3）求uC

(t)。

已知电路如图所示，uC

(0-)

=0，在t=0时将开关闭合，已知US=6V，R1=6Ω，R2=3Ω，R3=2Ω，C=2F，试求换路后的u2

(t)。Part01Part02Part03例5-155.3.2RC

电路的零状态响应解：（1）求稳态值uC

(∞)。将换路后的电路用戴维南等效电路替代，如图所示。解：则

已知电路如图所示，uC

(0-)

=0，在t=0时将开关闭合，已知US=6V，R1=6Ω，R2=3Ω，R3=2Ω，C=2F，试求换路后的u2

(t)

。Part01Part02Part03例5-155.3.2RC

电路的零状态响应解：（3）求uC

(t)。（4）求u2

(t)。可得

解：（2）求时间常数τ。5.4RL电路的响应用经典法分析电路的暂态过程，就是根据激励（电源电压或电流），通过求解电路的微分方程以得出电路的响应（电压和电流）。Part01Part02Part03思路-经典法求解5.4RL

电路的响应DRL电路的零输入响应所谓RL电路的零状态，是指换路前电感元件未储有能量，电感的初始状态为0，即iL(0-)=0。在此条件下，由电源激励所产生的电路的响应，称为零状态响应。所谓RL电路的零输入，是指无电源激励，输入信号为零。在此条件下，由电感元件的初始状态iL(0+)所产生的电路响应，称为零输入响应。DRL电路的零状态响应RL串联电路如图所示，换路前，开关S合在位置1上，电路已达到稳定状态，在t=0时将开关从位置1合到位置2，求换路后电路中的iL(t)。Part01Part02Part03分析5.4.1RL

电路的零输入响应解：求解方程式可得解：根据基尔霍夫电压定律，可列出换路后的电压方程可得DRL电路的零输入响应DRL电路的零输入响应（1）电感电压和电感电流是按指数规律由初始值向零衰减的。Part01Part02Part03DRL电路的零输入响应特点5.4.1RL

电路的零输入响应（2）时间常数

τ=L/R

称为RL电路的时间常数(TimeConstant)。τ愈大，放电愈慢，反之放电愈快。DRL电路的零输入响应DRL电路的零输入响应

如图所示电路中，R、L

分别表示一电磁铁线圈的电阻和电感，已知R=4Ω，L=2H，直流电压U=220V。电压表的量程为300V，内阻RV=30kΩ。开关S未断开时电路中电流已恒定不变。在t=0时断开开关S，试求开关刚断开时，电压表处的电压uV。Part01Part02Part03例5-165.4.1RL

电路的零输入响应解：（1）已知开关断开前，电路中电流已恒定不变，电感两端电压为零，可求得开关断开后，根据换路定则可求得解：因此电压表电压为所以，当开关断开时，电压表电压为

电路如图所示，已知U=220V，R=4Ω，L=2H。如若要求图中开关S断开时电磁铁线圈两端的电压不超过正常工作时电压的2.5倍，且整个放电过程要在1s内基本结束，试计算放电电阻Rf的值。Part01Part02Part03例5-175.4.1RL

电路的零输入响应解：（1）已知开关断开前，电路中电流已恒定不变，电感两端电压为零，可求得则因为解：可得根据题目要求整个放电过程要在1s内基本结束，可得则综上可得

图中，K是直流电磁继电器，其电阻为R=250Ω，吸合时电感L=25H，如果继电器的释放电流为4mA（即电流小于此值时，继电器就释放电流），而且已知US=24V，R1=230Ω，试问开关S闭合后经过多长时间继电器才释放电流。Part01Part02Part03例5-185.4.1RL

电路的零输入响应解：（1）S断开时，继电器中的电流为S闭合后，继电器的放电时间常数为解：因此，电流响应为因为电流衰减到释放电流4mA时继电器释放电流，所以可得

RL串联电路如图所示，换路前，电感未储能，电路已达到稳定状态，在t=0时将开关闭合，求换路后电路中的iL(t)

和uL(t)

。Part01Part02Part03分析5.4.2RL

电路的零状态响应解：求解方程式可得解：根据基尔霍夫电压定律，可列出换路后的电压方程可得DRL电路的零状态响应DRL电路的零状态响应已知电路如图所示，在t=0时将开关S闭合，已知US=36V，R1=8Ω，R2=12Ω，L=1H，试求换路后的iL(t)和uL(t)。Part01Part02Part03例5-195.4.2RL

电路的零状态响应解：（1）求电感电流的初始值iL(0+)

。t<0时，等效电路为iL(0+)=

iL(0-)

=0A解：（2）求电感电流iL(∞)。t>0时，等效电路为由电路可知，

已知电路如图所示，在t=0时将开关S闭合，已知US=36V，R1=8Ω，R2=12Ω，L=1H，试求换路后的iL(t)和uL(t)。Part01Part02Part03例5-195.4.2RL

电路的零状态响应解：（3）求时间常数

τ。t>0，除源后电路为可得：解：（4）求电感电流iL(t)。（5）求电感电压uL(t)

。

1）iL按指数规律由零向稳态值增长。Part01Part02Part03电感充电时特点：5.4.2RL

电路的零状态响应2）充电的时间常数，愈小，暂态过程进行得愈快。因为L愈小，则阻碍电流变化的作用也愈小；R愈大，则在同样电压下电流的稳态值或暂态分量的初始值愈小，这促使暂态过程加快。因此改变电路参数R、L的大小，可以影响暂态过程的快慢。

一阶电路的零状态响应是在动态元件的初始储能为零时，由独立源激励产生的响应，响应波形曲线按指数规律变化。Part01Part02Part03结论：5.4.2RL

电路的零状态响应如果用f(t)

表示零状态响应，稳态值用f(∞)，那么一阶电路的零状态响应的一般表达式为

5.5一阶电路的全响应如果一阶动态电路中既有动态元件的初始储能，又有独立电源激励，那么它们共同作用下产生的响应称为全响应。Part01Part02Part03全响应5.5一阶电路的全响应思路-叠加定理全响应=零输入响应+零状态响应思路-三要素法全响应=稳态分量+暂态分量所谓RC电路的全响应，是指电源激励和电容元件的初始状态uC(0+)均不为零时电路的响应，也就是零输入响应与零状态响应两者的叠加。Part01Part02Part03RC电路全响应5.5.1叠加定理求解一阶电路的全响应（1）首先将激励置零，求零输入响应；（2）然后将初始状态置零（即令uC(0+)=0

和iL(0+)=0

），求零状态响应；步骤（3）将零输入响应与零状态响应叠加，得到全响应。步骤电路如图所示，已知换路前，开关S合到a，电容被充电至电压U0；换路后，S合到b，U0=3V，US=5V，R=1kΩ，C=5μF，求电路中的响应uC(t)、

uR(t)

和iC(t)。Part01Part02Part03例5-205.5.1叠加定理求解一阶电路的全响应解：（1）求uC(t)。t<0，可求得①求零输入响应。设US=0，换路后电容电压的零输入响应为解：②求零状态响应。换路后电容电压的零状态响应为：所以，电容电压全响应为

电路如图所示，已知换路前，开关S合到a，电容被充电至电压U0；换路后，S合到b，U0=3V，US=5V，R=1kΩ，C=5μF，求电路中的响应uC(t)、

uR(t)和iC(t)。Part01Part02Part03例5-205.5.1叠加定理求解一阶电路的全响应解：（2）求uR(t)和iC(t)。解：②求零状态响应。换路后电容电压的零状态响应为：所以，电容电压全响应为

全响应=稳态分量+暂态分量Part01Part02Part03全响应5.5.2三要素法求解一阶电路全响应f(t)表示电压或电流，f(∞)表示换路之后稳态分量（即终了值），f(0+)

为t=0时刻换路之后初始值，τ为时间常数。一般表达式三要素f(0+)

f(∞)

τ（1）求解初始值f(0+)①独立变量的初始值uC(0+)和iL(0+)。电路换路前已处于稳态，在t=0-电路中，计算电容电压uC(0-)或电感电流iL(0-)；然后根据换路定律得到独立变量的初始值uC(0+)和iL(0+)。Part01Part02Part03步骤5.5.2三要素法求解一阶电路全响应②非独立变量的初始值。在t=0+时刻等效电路中计算非独立变量的初始值。方法如下：将换路后的电路中的电容用电压值为uC(0+)的电压源替代，电感用电流值为iL(0+)

的电流源替代，其余电路结构不变，得到t=0+等效电路，然后在该等效电路中非独立变量的值，即为非独立变量的初始值。

步骤步骤（2）求解稳态值f(∞)

。电路换路后，当t→∞时电路已进入稳态，在直流激励下，电路中电流、电压不再变化，故此时电容相当于开路，电感相当于短路，画出t→∞时的等效电路，并在此等效电路中求解所有变量的稳态值。（3）求解时间常数τ。将换路后的电路中的独立电源置零，得到无源网络。在无源网络中求得与电容C或电感L连接的等效电阻Req。对于一阶RC电路，时间常数τ=ReqC，对于一阶RL电路，时间常数：τ=L/Req。Part01Part02Part03步骤5.5.2三要素法求解一阶电路全响应（4）求解电路响应f(t)

。将初始值f(0+)

、稳态值

f(∞)

以及时间常数τ代入公式，即可得到电路的全响应。步骤电路如图所示，已知US=6V，R1=10kΩ，R2=20kΩ，C=1nF，uC(0-)=0，求电路中的响应uC(t)和u0(t)。Part01Part02Part03例5-215.5.2三要素法求解一阶电路全响应解：（1）求初始值uC(0+)。换路后，t=0+时的等效电路电阻R1被电容短路，所以，可知：解：（2）求稳态值uC(∞)。换路后电容元件C相当于开路，因此：

电路如图所示，已知US=6V，R1=10kΩ，

R2=20kΩ，C=1nF，uC(0-)=0，求电路中的响应uC(t)和u0(t)

。Part01Part02Part03例5-215.5.2三要素法求解一阶电路全响应解：（3）求解时间常数τ。根据换路后的电路，Req为将电容剔除后的有源二端网络的戴维宁等效电阻，由此可知解：（4）代入三要素公式可得：

例5-21例5-21正弦交流电路CONTENTS目录正弦电压和电流正弦量的相量表示法单一参数交流电路功率因数的提高阻抗和导纳阻抗（导纳）的串并联正弦交流电路的功率6.1正弦电压和电流设有一个正弦电压，其瞬时值（InstantaneousValue）数学表达式为：式中Um、ω

和Ψu称为正弦交流电的三要素。Part01Part02正弦量每交变一次便变化了2π弧度，角频率是指每秒内变化的弧度数，单位是rad/s（弧度/秒），即Part03周期、频率和角频率6.1.1周期、频率和角频率正弦量变化一次所需的时间称为周期（Period），用T来表示，单位为s（秒）。每秒内变化的次数称为频率（Frequency），用f来表示，单位是Hz（赫兹）。周期、频率和角频率周期、频率和角频率正弦量在任一瞬间的值称为瞬时值，用小写的字母表示，如i、u、e分别表示电流、电压、电动势的瞬时值。瞬时值中最大的值称为幅值或最大值（MaximumValue），用带下标m的大写字母表示，如Im、Um、Em分别表示电流、电压及电动势的幅值。Part01Part02利用热效应相等的原则规定一个用来计量交流电大小的量，称为有效值（EffectiveValue）。其定义为：在一个周期内，如果交流电电流i通过一个电阻产生的热能与某直流电流I在相同的时间内通过同一电阻产生的热能相等，则这一直流电流为交流电电流的有效值。可得Part036.1.2瞬时值、幅值和有效值瞬时值、幅值和有效值瞬时值、幅值和有效值瞬时值、幅值和有效值正弦交流电有效值与最大值的关系为解：（1）解：（2）写出下列正弦量的有效值。（1）（2）例6-1Part01Part02Part036.1.2瞬时值、幅值和有效值例如，设两个同频正弦量电压u、电流i分别为Part01Part02若φ>0，则说明电压在相位上超前于电流，即电压比电流先到达最大值；若φ<0，则说明电压在相位上滞后于电流，即电流比电压先到达最大值。Part036.1.3相位、初相位和相位差相位、初相位和相位差相位、初相位和相位差相位、初相位和相位差两个同频正弦量的相位差等于它们相位相减的结果。如设表示电压u和电流i之间的相位差，则有解：由题意可知故可见i1比i2在相位上超前135°。已知两个同频率的正弦电流和，试分析它们的相位关系。例6-2Part01Part02Part036.1.3相位、初相位和相位差6.2正弦量的相量表示法复数有多种表示形式，设复平面内有一个复数A，其模为r，辐角为ψ，这个复数A可以有四种表示方法：Part01Part02（3）指数式（4）极坐标式A=r∠ψ

Part03复数6.2.1复数的基本概念复数的表示方法（1）代数式

A=a+jb

式中，，a、b分别称为复数A的实部和虚部。（2）三角式A=rcosψ+jrsinψ=r(cosψ+jsinψ)A=rejψ复数的表示方法（1）加减运算两个复数进行加减运算等于两个复数的实部和虚部分别进行加减运算。设两个复数分别是A=a+jb和B=c+jd，则

A±B=(a±c)+j(b±d)Part01Part02Part03复数的运算复数的运算（2）乘除运算复数的乘除运算用指数形式和极坐标形式比较方便，即两个复数相乘，其模等于两个复数的模的乘积，其辐角等于两个复数的辐角之和；6.2.2复数的运算复数的运算（2）乘除运算复数的乘除运算用指数形式和极坐标形式比较方便，两个复数相除，其模等于两个复数的模的商，其辐角等于两个复数的辐角之差。解：（1）求复数的代数和可以用代数形式。由已知条件可知则解：（2）求复数的除法可以用指数或者极坐标形式。由已知条件可知则设F1=3-j4，试求（1）

（2）例6-3Part01Part02Part036.2.2复数的运算复数正弦量Part01Part02电流相量图Part036.2.3正弦量与相量正弦量与相量由对比复数和正弦量，引入相量正弦量与相量正弦量与相量最大值相量有效值相量Part01Part02注意：（1）只有正弦周期量才能用相量表示，相量不能表示非正弦周期量。（2）相量只能表征正弦量，而不等价于正弦量。（3）同一频率的相量可以画在同一个相量图上，不同频率的相量不能画在同一个相量图上。Part03正弦量与相量相量图最大值相量和有效值相量正弦量与相量6.2.3正弦量与相量解：（1）解：（2）试写出下列正弦量的有效值相量。（1）（2）例6-4Part01Part02Part036.2.3正弦量与相量解：由KCL可知，i=i1+i2，其相量表达式为：因为则：解：可得电流相量图如图所示。已知电路如图所示，已知和，试求总电流i，并画出电流相量图。例6-5Part01Part02Part036.2.3正弦量与相量6.3单一参数交流电路由线性元件和独立电源组成的电路称为线性电路。只要电路的其他元件是线性的，电路的响应与激励之间就存在线性关系。Part01Part02齐次定理Part03单一电阻元件的交流电路6.3单一参数交流电路单一电感元件的交流电路单一电容元件的交流电路叠加定理电路图Part01Part02Part03电压与电流的关系6.3.1单一电阻元件的交流电路电压和电流相量图电压与电流的关系电路图Part01Part02Part03电压与电流的关系6.3.1单一电阻元件的交流电路

设i=Imsin

ωt

可得u=Ri=ImRsin

ωt=Umsin

ωt电压与电流的关系

结论：（1）电压与电流的频率相同。（2）电压与电流同相位（相位差φ=0）。（3）电压与电流的大小关系为（4）电压与电流的相量关系为电压与电流的关系（1）瞬时功率p瞬时功率（InstantaneousPower）是指瞬时电压与瞬时电流的乘积。Part01Part02Part03功率6.3.1单一电阻元件的交流电路

（2）平均功率P工程上常取瞬时功率在一个周期内的平均值来表示电路所消耗的功率，即平均功率（AveragePower），又称为有功功率（ActivePower）。把一个100Ω的电阻元件接在频率为50Hz、电压为10V的正弦电源上，试问电流是多少？如保持电压值不变，而电源频率改变为1kHz，这时电流为多少？解：因为电阻与频率无关，所以在电源电压有效值保持不变的情况下，其电流的有效值也保持不变，即例6-6功率电路图Part01Part02Part03电压与电流的关系6.3.2单一电感元件的交流电路电压和电流相量图电压与电流的关系电路图Part01Part02Part03电压与电流的关系6.3.2单一电感元件的交流电路

设i=Imsin

ωt

可得电压与电流的关系

结论：（1）电压与电流的频率相同。（2）电压超前电流90°。（3）电压与电流的大小关系为（4）电压与电流的相量关系为电压与电流的关系（1）瞬时功率pPart01Part02Part03功率6.3.2单一电感元件的交流电路

（2）有功功率P功率

（3）无功功率Q由上边对电感元件的瞬时功率分析可知，电感不消耗能量，它只是与电源进行能量的互换，互换功率的规模通常用瞬时功率的最大值来衡量，由于这部分功率没有被消耗掉，故称为无功功率（ReactivePower），用Q表示，单位为乏（var）。功率6.3.2单一电感元件的交流电路解：解：当f=50Hz时，XL=2πfL=2×3.14×50×0.1Ω=31.4Ω，则

解：当f=5kHz时，XL=2πfL=2×3.14×5000×0.1Ω=3140Ω，则由此可知，在电压一定的情况下，频率越高，则通过电感元件的电流越小。把一个0.1H的电感元件接在频率为50Hz电压为10V的正弦电源上，试问电流是多少？如保持电压值不变，而电源频率改变为5kHz的正弦电源上，这时电流为多少？例6-7Part01Part02Part03电路图Part01Part02Part03电压与电流的关系6.3.3单一电容元件的交流电路电压和电流相量图电压与电流的关系电路图Part01Part02Part03电压与电流的关系6.3.3单一电容元件的交流电路

设u=Umsin

ωt

可得电压与电流的关系

结论：（1）电压与电流的频率相同。（2）电流超前电压90°。（3）电压与电流的大小关系为（4）电压与电流的相量关系为电压与电流的关系（1）瞬时功率pPart01Part02Part03功率6.3.3单一电容元件的交流电路

（2）有功功率P功率

（3）无功功率Q由上述对电容元件的瞬时功率分析可知，电容不消耗能量，它只是与电源之间进行能量的互换，根据无功功率的定义，它的无功功率Q表示为功率6.3.3单一电容元件的交流电路解：当f=50Hz时，则

解：当f=5kHz时，则由此可知，在电压一定的情况下，频率越高，则通过电容元件的电流越小。把一个10μF的电容元件接在频率为50Hz、电压为10V的正弦电源上，试问电流是多少？如保持电压值不变，而电源频率改变为5kHz，这时电流为多少？例6-8Part01Part02Part036.4阻抗和导纳Part01Part02Part03电路图6.4.1阻抗根据基尔霍夫电压定律可列出上述各参数用相量表示，可得电压与电流的关系电路相量图如下电压与电流的关系Part01Part02Part03电路图6.4.1阻抗可得电抗阻抗电压与电流的关系四种形式：阻抗的表示形式Part01Part02Part03电路图6.4.1阻抗总阻抗欧姆定律相量形式交流电路欧姆定律阻抗三角形Part01Part02Part03阻抗三角形6.4.1阻抗阻抗电压和电流相量图6.4.1阻抗解：由已知条件，将各参数由时域转化到频域，可得

解：所以电路如图所示，已知R1=3Ω，R2=8Ω，C1=2mF，C2=10mF，L=0.2H，试计算当电路频率ω=50rad/s时，阻抗电路总阻抗Zin。例6-9Part01Part02Part03Part01Part02Part03电路图6.4.2导纳定义端口电流相量与电压相量之比为该电路的导纳，用Y表示，即式中，G为导纳的电导分量；B为导纳的电纳分量；为导纳的模；为导纳角。导纳定义导纳三角形Part01Part02Part03导纳6.4.2导纳导纳模型例6-10电路如图所示，计算其等效导纳Geq。解：Part01Part02Part03互为倒数关系6.4.3阻抗和导纳的变换设则导纳为可得阻抗→导纳等效变换关系式等效变换图Part01Part02Part036.4.3阻抗和导纳的变换设则导纳为可得阻抗→导纳等效变换关系式等效变换图设则阻抗为可得导纳→阻抗等效变换关系式6.4.3阻抗和导纳的变换解：电路阻抗为

解：电路的导纳为电路如图所示，已知R=3Ω，X=4Ω，试求电路的导纳Y。例6-11Part01Part02Part03Part01Part02Part036.4.4基尔霍夫定律的相量形式在正弦交流电路中，沿任意闭合路径，各支路电压降相量之和恒等于零。基尔霍夫电压定律在正弦交流电路中，流入或流出任意一个结点的各支路电流相量之和恒等于零。基尔霍夫电流定律6.4.4基尔霍夫定律的相量形式解：根据已知条件，设则电阻和电容串联，可得电流为

解：电容电压为因此电路如图所示，已知V，R=5Ω，X=0.1Ω，试求uC和i

。例6-12Part01Part02Part036.4.4基尔霍夫定律的相量形式解：方法一：用相量计算。设则

解：所以总电流表读数为10A。所以总电压表的读数为141V。电路如图所示，已知I1=10A，UAB=100V，XL1=10Ω，R=5Ω，XL2=5Ω，试求总电压表和总电流表的读数

。例6-13Part01Part02Part036.4.4基尔霍夫定律的相量形式解：方法二：用相量图分析求解。设则

解：画出其相量图如图所示，由图形中几何关系可得所以总电流表的读数为10A，总电压表的读数为141V。电路如图所示，已知I1=10A，UAB=100V，XL1=10Ω，R=5Ω，XL2=5Ω，试求总电压表和总电流表的读数

。例6-13Part01Part02Part036.5阻抗（导纳）的串并联Part01Part02Part03电路图6.5.1阻抗的串联解：根据KVL得到电压相量方程可得阻抗的串联阻抗的串联解：假设可得也就是说，串联的阻抗Z1和Z2，可以用一个等效的阻抗Z来代替。Part01Part02Part03电路图6.5.1阻抗的串联两个阻抗可知阻抗串联各阻抗分得电压相量与阻抗成正比。阻抗串联分压公式结论如果电路中有n个阻抗串联，则其等效阻抗为：其分压公式为：注意：在计算串联等效阻抗时要注意只能阻抗相加，一般情况下阻抗模不能直接相加。6.5.1阻抗的串联解：根据已知条件：以电流为参考量，则

解：所以|Z|=5Ω，总电压U=10V。电路如图（a）所示，已知R=3Ω，XC1=4Ω，XC2=10Ω，XC3=8Ω，各电压表读数分别为V1=6V，V2=8V，V3=20V，V4=16V，

试分别求|Z|和U的值

。例6-14Part01Part02Part036.5.1阻抗的串联解：根据已知条件：以电流为参考量，则

解：所以|Z|=18Ω，总电压U=36V。电路如图（b）所示，已知R=3Ω，XC1=4Ω，XC2=10Ω，XC3=8Ω，各电压表读数分别为V1=6V，V2=8V，V3=20V，V4=16V，试分别求|Z|和U的值

。例6-14Part01Part02Part03Part01Part02Part03电路图6.5.2阻抗的并联解：根据KCL得到电流相量方程由等效电路可写出阻抗的并联阻抗的并联解：对比上述两式，可得等效阻抗的倒数等于各个并联阻抗的倒数之和。如果用导纳表示，令可得Part01Part02Part03导纳并联6.5.2阻抗的并联如果电路中有n个阻抗并联，则其等效总阻抗倒数等于各阻抗倒数之和，即可知阻抗串联各阻抗分得电压相量与阻抗成正比。结论结论如果是n个导纳并联，总导纳等于各并联导纳之和，即注意：在计算并联等效阻抗时要注意只能阻抗倒数相加，一般情况下阻抗模倒数不能直接相加。两个阻抗并联时的分流关系为可知，阻抗并联支路分得电流相量与支路阻抗成反比，与支路导纳成正比。Part01Part02Part03两个阻抗并联6.5.2阻抗的并联如果为多个阻抗并联，分流公式为分流公式注意在计算并联等效阻抗时注意只能阻抗倒数相加，只有当φ1=φ2的情况下等式成立。其他情况下6.5.2阻抗的并联解：根据已知条件：以电压为参考量，则

解：所以总电流电路如图所示，已知R=4Ω，XL1=4Ω，XL2=4Ω，XL3=4Ω，各电流表读数分别为A1=4A，A2=4A，A3=4A，A4=4A，试分别求|Z|和I的值

。例6-15Part01Part02Part036.5.2阻抗的并联解：根据已知条件：以电压为参考量，则

解：所以总电流电路如图所示，已知R=4Ω，XL1=4Ω，XL2=4Ω，XL3=4Ω，各电流表读数分别为A1=4A，A2=4A，A3=4A，A4=4A，试分别求|Z|和I的值

。例6-15Part01Part02Part036.6正弦交流电路的功率Part01Part02已知一个一端口网络，试求其瞬时功率。解：Part03电路6.6.1瞬时功率分析例6-16设则瞬时功率为正弦稳态电路中的有功功率（RealPower）定义为瞬时功率在一个周期内的平均值，所以有功功率也称为平均功率（AveragePower），用大写字母P表示，即Part01Part02W（瓦特）或kW（千瓦）。Part03定义6.6.2有功功率有功功率D单位式中U、I分别是正弦稳态电路中电压、电流的有效值，φ为电压和电流的相位差，λ又称功率因数角。

称为功率因数，用λ

表示。Part01Part02已知试求其有功功率。解：Part036.6.2有功功率有功功率例6-17（3）电容结论：在正弦稳态电路中，电阻是消耗电能的，因此电阻是耗能元件；电感和电容是不消耗电能的，它们只与外电路进行能量交换，是储能元件。有功功率如果二端网络分别由单个R、L、C元件构成，三种元件的有功功率分别为：（1）电阻（2）电感在正弦稳态电路中，引入无功功率是用于表征负载与电源之间的能量交换情况。无功功率（ReactivePower）用Q表示，其定义式为Part01Part02电阻元件的无功功率恒为零，电感元件的无功功率总是大于零，电容元件的无功功率总是小于零。在电路系统中，电感和电容的无功功率有互补作用，工程上认为电感吸收无功功率，电容发出无功功率，将两者加以区别。因此，无源二端网络的无功功率就是网络中电感元件和电容元件无功功率之和，即Part03定义6.6.3无功功率无功功率结论如果二端网络分别由单个R、L、C元件构成，三种元件的无功功率分别为：（1）电阻（2）电感（3）电容Part01Part02电路如图所示，已知R1=4Ω，R2=3Ω，XC=3Ω，XL=4Ω，试求电路有功功率和无功功率。Part03例6-186.6.3无功功率解：方法一解：方法二视在功率（ApparentPower）来衡量供电设备的最大输出功率，其值等于输出电压与输出电流的有效值乘积，用大写字母S表示，其单位为（V·A）或（kV·A）Part01Part02Part03定义6.6.4视在功率各功率关系功率三角形Part01Part02电路如图所示，把3个负载并联在220V正弦交流电源上。各负载阻抗上的电流和功率分别为阻抗Z1（感性）：P1=4.4kW，I1=44.7A；Z2阻抗（感性）：P2=8.8kW，I2=50A；阻抗Z3（容性）：P3=6.6kW，I3=60A。试求：总有功功率、无功功率、从电源看负载的视在功率、功率因数以及总电流。Part03例6-196.6.4视在功率Part01Part02Part03例6-196.6.4视在功率解：阻抗Z2阻抗Z3解：总无功功率总视在功率解：阻抗Z16.7功率因数的提高在交流电路中，有功功率与视在功率的比值，用字母λ表示。式中，φ是功率因数角。Part01Part02Part03定义6.7功率因数的提高功率因数功率因数是由负载的性质决定的，只有在负载为纯阻性的电路中，功率因数为1，这时电源输出的功率全部转化为有功功率；当负载是感性或容性时，0＜cosφ＜1，电源输出的功率部分转化为有功功率。Part01Part02Part036.7功率因数的提高原因（2）增加线路和发电机绕组的功率损耗和成本。当电源（设为发电机）的电压U和输送的有功功率P一定时，功率因数cosφ越低，则线路电流I越大，线路和发电机绕组上产生的功率损耗就越大，且输送导线成本越高，发电机的容量大，成本也高。因此，提高功率因数具有很大的经济意义。按照供用电规则，高压供电的工业用户的平均功率因数不得低于0.95，其他用户不得低于0.9。J结论原因（1）电源设备的容量不能充分利用。例如，一台发电机的额定容量是75000kV·A，若负载的功率因数cosφ=1，则发电机输送的有功功率就是75000kW；若功率因数cosφ=0.7，则发电机输送的有功功率P=SNcosφ=75000×0.7kW=52500kW，此时电源与负载之间的无功功率。显然，当cosφ＜1时，电源设备的容量不能充分利用。Part01Part02电路如图所示，有一电感性负载，其功率P＝10kW，功率因数cosφ1=0.6。接在电压U＝220V的电源上，电源频率f＝50Hz。Part03例6-206.7功率因数的提高（1）若要将电路的功率因数提高到cosφ=0.95(感性)，求需要并联电容器的电容值。分析并联电容器前后感性负载和电源的电流、功率因数、有功功率及无功功率有何变化。（2）若要将功率因数从0.95再提高到1，求需要增加电容器的电容值，并计算增加电容器后电源的电流。Part01Part02Part03例6-206.7功率因数的提高（1）若要将电路的功率因数提高到cosφ=0.95(感性)，求需要并联电容器的电容值。分析并联电容器前后感性负载和电源的电流、功率因数、有功功率及无功功率有何变化。解：可得相量图由图中可得即（1）解：并联电容之前并联电容之后由图可知方法一：相量图法方法一：相量图法Part01Part02Part03例6-206.7功率因数的提高（1）若要将电路的功率因数提高到cosφ=0.95(感性)，求需要并联电容器的电容值。分析并联电容器前后感性负载和电源的电流、功率因数、有功功率及无功功率有何变化。解：可得（1）解：利用功率三角形推导求电容值的公式由功率三角形并联电容之后方法二：功率三角形方法二：功率三角形Part01Part02Part03例6-206.7功率因数的提高（2）若要将功率因数从0.95再提高到1，求需要增加电容器的电容值，并计算增加电容器后电源的电流。解：可见，在功率因数接近1时再继续提高，则所需的电容值较大，且电流的减小效果也不明显，也会引发电力系统谐振，因此工程上不建议将功率因数提高到1。（2）解：若要将功率因数从0.95再提高到1，则需增加电容值为三相电路CONTENTS目录三相电源对称三相电路的计算不对称三相电路的计算三相电路的功率7.1三相电源三相电路是由三相电源、三相负载和三相输电线路三部分组成的。三相供电系统的三相电源就是三相交流发电机，其原理如图（a）所示。三相发电机由定子和转子两部分组成。Part01Part02定子铁心内侧对称安放三个相同的绕组，其端钮分别为AX、BY、CZ。它们的始端标以A、B、C，末端标以X、Y、Z，如图（b）所示。Part03三相电源7.1.1对称三相电源三相交流发电机三相交流发电机由于三个绕组的结构和匝数完全相同，又以相同的速度切割同一转子磁极的磁力线，且三个绕组在空间位置上依次相隔120°，故会在AX、BY、CZ的三个绕组上产生频率相同、幅值相等，而相位互差120°的电动势e1、e2和e3，如图（c）所示，称为对称三相电动势。产生对称三相电动势的电源称为三相电源（Three-PhaseSource）。Part01Part02Part03三相电源7.1.1对称三相电源一般规定：电动势的正方向由绕组的末端经绕组内部指向始端，如图（c）所示。设e1为参考量，则三个绕组中的电动势可表示为三相电源三相电动势（c）Part01Part02Part037.1.1对称三相电源三相电动势相量图三相电动势相量形式三相电动势波形图对称三相电动势在任意时刻其瞬时值的代数和或相量和均为零。Part01Part02Part03对称三相电源7.1.1对称三相电源对称三相电动势达到同一值（例如正的最大值）的先后次序称为相序（PhaseSequence）。对称三相电源相序对称三相电源相序如果电动势达到最大值的次序依次是A相、B相、C相，其相序是A→B→C→A，称为正序或顺序，即A相超前B相，B相超前C相；如果电动势达到正峰值的顺序为A→C→B→A，称为负序或者逆序。相位差为零的相序称为零序，电力系统一般采用正序。7.1.1对称三相电源解：根据已知条件，三相电压相量表达式分别为已知三相电电压分别试确定三相电相序。例7-1Part01Part02Part03解：由以上表达式可以看出，A相超前C相120°，C相超前B相120°。因此，三相电相序为ACB相序。把三相交流发电机三个定子绕组的末端X、Y、Z连接到公共点N上，就构成了对称Y形联结的三相电源，如图（a）所示。Part01Part02公共点N称为中性点（NeutralPoint），由中性点引出的线NN’称为中性线（NeutralLine），俗称零线。将三相电源的始端A、B、C与输电线相连，传输能量给负载，这三根输电线AA’、BB’、CC’称为相线（PhaseLine），俗称火线。Part037.1.2对称三相电源的连接方式对称三相电源星（Y）形连接零线和火线对称三相电源星（Y）形连接Part01Part02Part037.1.2对称三相电源的连接方式对称三相电源星（Y）形连接对称三相电源星（Y0）形连接对称三相电源星（Y0）形连接具有中性线的三