教学材料《静力学》-第3章

3.1力向一点平移在工程实际中经常遇到平面一般力系的问题，即作用在物体上的力的作用线都分布在同一平面内，或可以简化到同一平面内，但它们的作用线任意分布，称为平面一般力系。例如图3-1所示的曲柄连杆机构，受力P、力偶m以及支座反力FA,Fy和N的作用。又例如，图3-2所示的梁，受载荷P、重力Q以及支座反力FAx,FAy和FBy的作用。这两个力系都是平面一般力系。当物体所受的力对称于某一平面时，也可以简化为平面力系的问题来研究。例如，飞机在一般的飞行情况下，受到分布于机翼和尾舵上的升力、发动机的牵引力、空气阻力和重力等的作用，这些力都对称于通过重心的纵向铅直平面，因此可以将原来力系简化到该平面内，作为平面一般力系来处理。下一页返回3.1力向一点平移所谓“力向一点平移”就是把作用在刚体上的一力矢，从其原位置平行移到该刚体上另一位置。由力的可传性得知，力沿其作用线移动时，对刚体的作用效果是不改变的。如图3-3(a)所示，设在刚体上作用一力F，由经验可知，当力F通过刚体重心C时，刚体只发生移动。如果将力F平行移到刚体上任意点D，则刚体既发生移动，又发生转动。怎样才能使力平移后的作用效果不变呢?应加一力偶即可，如图3-3(b)所示。下面将研究力线平移后的结果。下一页返回上一页3.1力向一点平移如图3-4(a)所示，设有一力F作用于刚体的A点，为将该力平移到任一点召，在召点加一对平衡力F1和F’1，作用线与F平行，且使列-F1=F，在F,F’州三力中F和F’1两力组成一个力偶，其力偶臂为d，其力偶矩恰好等于原力对点召的矩，如图3-4(b)所示，即M(F,F’1)=MB(F)=Fd由此可得力线平移定理:作用在刚体上的力，可以平行移至刚体内任一指定点，若不改变该力对于刚体的作用则必须附加一力偶，其力偶矩等于原力对新作用点的矩。下一页返回上一页3.1力向一点平移力线平移定理是力系向一点简化的理沦依据，也是分析和解决工程实际中力学问题的重要方法。例如图3-5(a)所示，钳工攻丝时，要求在丝锥手柄的两端均匀用力，即形成一力偶使手柄产生转动进行攻丝，如图3-5(b)所示，若在手柄的单边加力，那丝锥极度易折断，这是了原因呢?可由力的平移定理分析，如图3-5(c)所示，根据力的平移定理，作用在A点的力F可用作用于O点的力F‘和一附加力偶m来代替。返回上一页3.2平面一般力系的简化设刚体受一个平面一般力系作用，利用力线平移定理，可将平面一般力系向一点简化为一个平面汇交力系和一个平面力偶系。然后通过汇交力系和力偶系的合成和平衡方法来解决平面一般力系的问题。为了具体说明力系向一点简化的方法，设想有三个力F1,F2,F3作用在刚体上，如图3-6

(a)所示。在平面内任取一点O，称为简化中心;应用力线平移定理，把各力都平移到这一点。下一页返回3.2平面一般力系的简化这样，得到作用于点(:)的力F’1,F’2,F’3，以及相应的附加力偶，其矩分别为m1,m2,m3如图3-6(b)所示。这些力偶作用在同一平面内，它们的矩分别等于力F1,F2,F3对点O的矩，即m1=mo(F1)m2=mo(F2)m3=mo(F3)下一页返回上一页3.2平面一般力系的简化平面汇交力系F1,F2,F3可按力多边形法则合成一个力R’，也作用于点O，并等于F’1,F’2,F’3的矢量和，如图3-6(c)所示。因为，F’1,F’2,F’3各力分别与F1,F2,F3各力大小相等、方向相同，所以R’=F1+F2+F3根据3.1节所述，力偶矩为m1,m2和m3的平面力偶系合成后，仍为一力偶，这力偶的矩Mo,等于各力偶矩的代数和。注意，附加力偶矩等于力对简化中心的矩，故Mo=m1+m2+m3=mo(F1)+mo(F2)+mo(F3)下一页返回上一页3.2平面一般力系的简化现利用力系向一点简化的方法，分析固定端支座，如图3-7(a)和图3-7(b)所示，车刀和工件分别夹持在刀架和卜盘上，是固定不动的，这种约束称为固定端约束，其简图如图3-7(c)所示。固定端约束对物体的作用，是在接触面上作用了一群约束力。在平面问题中，这些力为平面一般力系，如图3-8(a)所示。将这群力向作用平面内点A简化得到一个力和一个力偶，如图3-8(b)所示。一般情况下这个力的大小和方向均为未知量。可用两个未知分力来代替。下一页返回上一页3.2平面一般力系的简化因此，在平面力系情况下，固定端A处的约束力可简化为两个约束力Fax,Fay和一个约束力偶MA，如图3-8(c)所示。比较固定端约束和固定铰链约束的性质，可以看出固定端约束除了限制物体移动外，还能限制物体在平面内转动。因此，除了约束反力外，还有约束力偶。而固定铰链约束没有约束力偶，它不能限制物体在平面内转动。在工程实际中，固定端约束是经常见到的，除前面讲到的刀架、卜盘外，还有插人地基中的电线杆以及悬臂梁等。返回上一页3.3合力矩定理平面一般力系向作用面内一点简化的结果，通常为一个力和一个力偶，但可能有四种情况。

(1)若R’=0,Mo≠O，则原力系简化为一个力偶，其矩等于原力系对简化中心的主矩。在这种情况下，简化结果与简化中心的选择无关。

(2)若R’≠0,Mo=0，则原力系简化为一个力。在这种情况下，附加力偶系平衡，主矢R’即为原力系的合力R，作用于简化中心。下一页返回3.3合力矩定理(3)若R’≠0,Mo=O，则原力系简化为一个力和一个力偶。在这种情况下，根据力线平移定理，这个力和力偶还可以继续合成为一个合力R

如图3-9(a)所示，力系向点O简化的结果是主矢和主矩都不等于零，现将主矩Mo，用两个力R和R’’表示，并令R’=R=-R’’，如图3-9(b)所示。由于R与R’’是一对平衡力，于是可将作用于点O的力R‘和力偶(R,R’’)合成为一个作用在点以的力R，如图3-9(c)所示。下一页返回上一页3.3合力矩定理由于简化中心口是任意选取的，故上式有普遍意义，可叙述为:平面一般力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。这就是合力矩定理。(4)若R’=0,Mo=0，则原力系是平衡力系。这种情况将在3.4节详细讨沦。应用合力矩定理，有时可以使力对点的矩的计算更为简便。例如，为求图3-10中作用在支架上C,点的力F对A点的矩，可以将力F沿水平和垂直分解为两分力Fx和Fy，然后由合力矩定理，得到MA(F)=MA(Fx)+MA(Fy)=-(Fcosa)b+(Fsina)a返回上一页3.4平面一般力系的平衡方程及应用由平面一般力系的简化可知，主矢R‘和主矩Mo,都不等于零，或其中任何一个不等于零时，力系是不平衡的。因此，要使力系平衡，必须R’=O,Mo,=0.所以，平面一般力系平衡的充分和必要条件是:力系的主矢与主矩同时等于零。即下一页返回3.4平面一般力系的平衡方程及应用式(3-7)称为平面一般力系的平衡方程。它是平衡方程的基本形式。力系中各力在任何方向的坐标轴上投影的代数和等于零，说明力系对物体无任何方向的平动，称为投影方程;各力对平面内任意点的矩的代数和等于零，说明力系对物体无转动作用，称为力矩方程。应该指出，在应用平衡方程解题时，为使计算简化，通常将矩心选在众多未知力的交点上;坐标轴应尽可能选取与该力系中多数未知力的作用线平行或垂直，尽可能避免解联立方程。下一页返回上一页3.4平面一般力系的平衡方程及应用例3-1悬臂吊车如图3-11所示。横梁AB长l=2.5m，重力W=1.2kN。拉杆C'D延长线与AB相交于Y点，其倾角a=30，重力不计。电葫芦连同重物重力G=7.5kV。试求当电葫芦在x=2m的位置时，拉杆的拉力F和铰链A的约束力。解:(1)选横梁AB为研究对象。

(2)画受力图。作用于横梁上的力有重力W，电葫芦及重物的重力G，拉杆的拉力F和铰链A处的约束力FAX,FAY因拉杆CD是二力杆，故拉力F沿CD连线。显然各力作用线在同一平面内且任意分布，属平面一般力系。下一页返回上一页3.4平面一般力系的平衡方程及应用(3)选图示坐标，列平衡方程求解。解得下一页返回上一页3.4平面一般力系的平衡方程及应用(4)讨沦。考虑到悬臂梁吊在工作时电葫芦是可移动的。如要校核拉杆的强度，应考虑二为何值时，拉力F值最大。现从力矩方程可以看出，当x=l时，拉力F值最大。下一页返回上一页3.4平面一般力系的平衡方程及应用

(5)校核计算结果。另取一个非独立的投影方程或力矩方程，对某一个未知量进行运算，所得结果与前面计算结果相同时，表明原计算正确。例如，再取C点为简化中心，列力矩方程下一页返回上一页3.4平面一般力系的平衡方程及应用本例的解题过程如下:(1)考虑整体平衡求约束反力根据图3-16(a)所示的受力图，列平衡方程(2)应用截面法求指定杆的受力对于本例中的问题，因为要求部分杆的受力，所以采用截面法更好些。先用，m截面从1,2,3杆处将梅架截开，假设各杆均受拉力。于是，以左部分梅架为研究对象的分离体受力图如图3-16(b)所示。取未知力交点为矩心，列二力矩式平衡方程返回上一页3.5物体系统的平衡在研究物系的平衡时，不仅要研究外界物体对这个系统的作用，同时还要分析系统内部各物体之间相互的作用。外界物体作用于系统的力，称为外力;系统内部各物体之间相互作用的力，称为内力。内力与外力的概念是相对的。在研究整个系统平衡时，由于内力总是成对出现，这些内力是不必考虑的;当研究系统中某一物体或部分物体的平衡时，系统中其他物体对它们的作用力就成为外力，必须予以考虑。所谓外力与内力，应视物体系统所取的边界而定。下一页返回3.5物体系统的平衡例如图3-17(a)所示，一辆货车拖一个拖车，若将货车与拖车视为一整体的，则二物体连接处的作用力为内力(即货车拉拖车的力与拖车拉货车的力，可不考虑。若如图3-17(b)所示，将货车视为一单独物体时，拖车对货车的拉力S’则为外力;同样，单独以拖车为对象，则货车对拖车的拉力S成为外力。下一页返回上一页3.5物体系统的平衡当整个系统平衡时，组成该系统的每个物体也平衡。因此在求解物体系统的平衡问题时，既可选整个系统为研究对象，也可选单个物体或部分物体为研究对象。对每一个研究对象，在一般情况下(平面一般力系)，可列出三个独立的平衡方程，对于由二个物体组成的物体系统，就可以列出3n个独立平衡方程，因而可以求解3n个未知量。如果系统中的物体受平面汇交力系或平面力偶系的作用时，整个系统的平衡方程数目相应地减少。下面举例说明物体系统平衡问题的求解方法。下一页返回上一页3.5物体系统的平衡例3-6图3-18(a)为一个三铰拱的示意图。所谓三铰拱，就是由AC,BC两部分用铰链C,连接，并用铰链A与召固定于支座上。今设拱本身的重力不计，拱上作用有力P及Q。求A,B支座处的约束反力以及C,处两部分相互作用的力。解:如果拱的两部分不用铰链连接，而为一整体，那么，仅根据拱的平衡方程，不能决定A,召两点约束反力的大小及方向，也就是说这是静不定问题。现在，在加上一个铰链C之后，可以分别考虑两部分而列出六个平衡方程，正好可以决定A,B,C三点作用力的大小和方向，但需要解联立方程。下一页返回上一页3.5物体系统的平衡先取整个系统为研究对象从而解得下一页返回上一页3.5物体系统的平衡得到再取左半拱AC为研究对象下一页返回上一页3.5物体系统的平衡得到将FAx的表达式代入式(3)，就得到下一页返回上一页3.5物体系统的平衡这样，就很顺利地解出了A,B两支座处的约束反力。左半拱的其余两个方程可以用来决定FCx与FCy。上述结果也可以用整个系统以及右半拱的六个方程来求解。下一页返回上一页3.5物体系统的平衡通过此例讨沦如下两个问题:(1)选择“最佳解题方案”问题。求解物体系统的平衡问题，往往要选择两个以上的研究对象，分别画出其受力图，列出必要的平衡方程，然后求解。因此在解题前必须考虑解题方案问题。例如，本例根据题意要求绳子的张力和铰A的反力，必然要将系统拆开来分析，即分别选取AB,AC为研究对象，分别画出它们的受力图，列相应的平衡方程求解，这是第一种解题方案;选取梯子整体和AC'杆为研究对象(正如本例解法)，这是第二种解题方案;选取梯子整体和A杆为研究对象，这是第三种解题方案。下一页返回上一页3.5物体系统的平衡(2)选择平衡方程形式。为了减少平衡方程中包含的未知量数目，在力臂易求时，尽量采用力矩方程，以避免解联立方程;求力臂较繁时，采用投影方程。如本例中选AC‘为研究对象，采用平衡方程的基本形式求解较为方便，若用二力矩式反而麻烦。下一页返回上一页3.5物体系统的平衡例3-9图3-21(a)所示为曲轴冲床简图，由轮1、连杆AP和冲头P组成。A,P两处为铰链连接。OA=R,AB=l。如忽略摩擦和物体的自重，当OA在水平位置、冲压力为P时，求:C1作用在轮1上的力偶矩M的大小;C2轴承O处的约束反力;(3)连杆AP受的力;(4)冲头给导轨的侧压力。下一页返回上一页3.5物体系统的平衡解:(1)首先以冲头为研究对象。冲头受冲压阻力P、导轨反力N以及连杆(二力杆)的作用力SB作用，方向如图3-21(b)所示，为一平面汇交力系。设连杆与铅垂线间的夹角为a，按图示坐标轴列平衡方程，得由式(2)得下一页返回上一页3.5物体系统的平衡SB为正值，说明假设的SB的方向与实际方向相同，即连杆受压力，如图3-21(c)所示。代入式(1)得冲头对导轨的侧压力的大小等于N，方向与导轨反力方向相反。

(2)再以轮1为研究对象。轮1受平面一般力系作用，包括矩为M的力偶，连杆作用力SA以及轴承的反力FOx,FOy，如图3-21(d)所示。按图示坐标轴列平衡方程，得下一页返回上一页3.5物体系统的平衡由式(3)得M=PR下一页返回上一页3.5物体系统的平衡由式(4)得由式(5)得负号说明力FOx,FOy的方向与图示假设的方向相反。下一页返回上一页3.5物体系统的平衡现将解平面力系平衡问题的方法和步骤归纳如下。(1)首先弄清题意，明确要求，正确选择研究对象。对于单个物体，只要指明某物体为研究对象即可。对于物体系统，往往要选两个以上研究对象。如果选择了合适的研究对象，再选择适当形式的平衡方程，则可使解题过程大为简化。显然，选择研究对象存在多种可能性。例如，可选物体系统和系统内某个构件为研究对象;也可选物体系统和系统内由若干物体组成的局部为研究对象;还可考虑把物体系统全部拆开来逐个分析的方法，其平衡问题总是可以解决的。因此。在分析时，应排好研究对象的先后次序，整理出解题思路，确定最佳的解题方案。下一页返回上一页3.5物体系统的平衡(2)分析研究对象的受力情况，并画出受力图。在受力图上要画出作用在研究对象上所受的全部主动力和约束反力。特别是约束反力，必须根据约束特点去分析，不能主观地随意设想。对于工程上常见的几种约束类型要正确理解，熟练掌握。对于物体系统，每确定一个研究对象，必须单独画出它的受力图，不能把几个研究对象的受力图都画在一起，以免混淆。还应特别注意各受力图之间的统一和协调，比如，受力图之间各作用力的名称和方向要一致;注意作用力和反作用力所用名称要有区别，方向应该相反;注意区分外力和内力，在受力图上不画内力。下一页返回上一页3.5物体系统的平衡

(3)选取坐标轴，列平衡方程。列平衡方程要根据物体所受的力系类型列出。比如，平面一般力系只能列出三个独立的平衡方程、平面汇交力系或平面平行力系只能列两个、平面力偶系只能列一个;对于物体系统，可列出3n个。列平衡方程时，应选取适当的坐标轴和矩心。坐标轴应尽可能选与力系中较多未知力的作用线平行或垂直，以利于列投影方程，矩心则尽可能选在力系中较多未知力的交点上，以减少力矩的计算。总之，选择的原则是应使每个平衡方程中未知量越少越好，最好每个方程中只含有一个未知量，以避免解联立方程。下一页返回上一页3.5物体系统的平衡

(4)解方程，求未知量。解题时最好用文字符号进行运算，得到结果时再代入已知数据。这样可以避免由于数据运算引起的运算错误，对简化计算、减少误差都有好处。还