安徽省2026届年高三数学下学期5月学情自测试题含解析

考生注意：

1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．

2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．

3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上

对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题

区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．

4．本卷命题范围：高考范围．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．

1.已知集合，，则（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【详解】由，得或，解得或，所以，

所以，A错；，B错；，C错；，D对.

2.已知复数z满足，则（）

A.B.C.D.5

【答案】B

【解析】

【详解】，.

3.已知等差数列与正项等比数列满足，，，则

（）

A.B.C.D.1

【答案】C

【解析】

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【分析】由等差、等比数列的性质求解

【详解】由等差、等比数列的性质可知：，，所以

.

4.已知向量，，且，则的值为（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【详解】，，且，

，即，得，，.

.

5.某新能源汽车企业为优化电池续航算法，抽取了10000辆同型号车辆在标准工况下的单次充电实际行驶

里程（单位：公里）．统计数据经整理得到频率分布直方图（图中部分数据缺失）．已知行驶里程在

的频率为0.34，在的频率为0.34，且该数据近似服从正态分布．该企业计

划对续航表现优异的车辆颁发“超长续航认证”，要求行驶里程不低于m公里，且认证比例控制在2.28%左

右．根据正态分布模型（参考数据：，

），则m的估计值最接近（）

A.450B.475C.500D.525

【答案】C

【解析】

【分析】先解出的估计值，再求解即可

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【详解】行驶里程在的频率为0.34，在的频率为0.34，说明数据在这两个区间的分布

对称，得.

区间的频率为，而，故近似有

，解得.

认证比例，所以，因此最接近的选

项是C.

6.已知，，，则x，y，z的大小关系为（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】构造函数，求导判断单调性可比较，利用中间值可判断最小.

【详解】构造函数，由换底公式，，

所以，

再令，，

当时，，单调递增，

所以当时，，即在有，

所以在上单调递减，

又，，

由对数函数的单调性得，，

所以，所以.

7.已知二项式的展开式中，各项系数的最大值为80，且最大值在第与项取

得，则n的值为（）

A.4B.5C.6D.7

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【答案】B

【解析】

【分析】利用与两项系数相等求出的关系，再对进行讨论即可.

【详解】由题可知第项与项的系数相等且最大，即，化简得，

即，化简得，

取，得，各项系数为，不满足条件，舍去；

取，得，不是整数，舍去；

取，得，各项系数为，符合条件，

当时，，例如当时，展开式系数的最大值为，不符合题意，当更大时，

最大系数值也更大.

所以.

8.已知，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于A，B两点，

且，若，椭圆C的离心率为，则（）

A.B.C.2D.3

【答案】A

【解析】

【分析】由椭圆定义结合勾股定理求解.

【详解】由，可知，即，

，，

因为，所以，，

设，则，由椭圆定义可得，，

在中，，所以，

即，化简得，即，

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所以，，

在中，，可得，

即，解得.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.已知函数，则下列结论正确的是（）

A.函数的最小正周期为

B.函数在区间上单调递增

C.函数的图象关于直线对称

D.函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到

【答案】AC

【解析】

【分析】先化简.对于A，由周期公式计算即可；对于B，由复合

函数的单调性求解；对于C，由整体法求解即可；对于D，图像平移遵循“左加右减”的基本原则，但D中

平移前后两个函数的振幅不同，所以D错误.

【详解】由题意得

，

对于A，，A正确；

对于B，当时，，

此时正弦函数在上单调递增，

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在上单调递减，因此在上不单调，B错误；

对于C，对称轴满足，

令，解得是图像的对称轴，C正确；

对于D，将的图象向左平移个单位长度得到，

且平移后的函数与的振幅不同，并非同一函数，D错误.

10.如图，在长方体中，P为线段上一动点（含端点），则下列说法正确的是（）

A.若长方体的长宽高确定，则四面体的体积为定值

B.存在点P，使得

C.若底面为正方形，则过点P有且只有一条直线与，所成的角均为

D.若，，则平面截长方体的外接球所得截面的面积是

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A，由三棱锥体积公式求解即可；对于B，先设，再用表

示，再对比系数求解即可；对于C，过点P可以作两条直线与，所成的角均为；对于D，先

求外接球半径，再求截面（截面为圆）的半径，进而求其面积.

【详解】对于A，在长方体中，因为，平面，平面

，

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所以平面，即点到平面的距离是定值，故四面体的体积为定值，A正确；

对于B，设，由向量运算

，如果，对比系数得：，

所以存在点P，使得，B正确；

对于C，如图，连接交于点，因为底面是正方形，所以，过点可以作两条直线与

，所成的角均为，

可将这两条平行线平移到经过P点，所以过点P有两条直线与，所成的角均为，C错误；

对于D，设长方体的外接球球心为，半径为，与交于点，

则

所以，设到平面的距离为，

利用等体积法，先以为底面计算三棱锥的体积：，

，

再以为底面计算三棱锥的体积：

由题可知四边形是正方形，所以，

又，所以平面，所以，所以是三棱锥的高，

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，，

，

等体积法得：，所以，解得，

则平面截长方体的外接球所得截面圆的半径，

其面积为，D正确.

11.已知三点，，，圆，则下列说法正确的是（）

A.若点P在圆O上运动，则的最小值为21

B.圆O与圆的公共弦长为

C.若点Q在直线上，过Q作圆O的切线，，切点分别为M，N，则的最大值为

D.若点Q在直线上，过Q作圆O的切线，，切点分别为M，N，则点C到直线的距离

的最大值为

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A，由两点间距离公式求解即可；

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对于B，先求公共弦方程，再勾股定理求弦长；对于C，先求直线的方程，再求最大值，

再结合二倍角公式求解；对于D，先求以为直径的圆的方程，再求直线的方程，进而表示点到

直线的距离，再求最大值.

【详解】对于A，设，则，

，A正确；

对于B，将圆O与圆的方程相减可得两圆的公共弦方程为，

点O到公共弦直线的距离为，所以公共弦长为，B错误；

对于C，直线的方程为，连接，则，，

在中，，

当时，，从而取最大值，

因为是锐角，所以最大时最大，又最大时，，

所以，

此时最大，最大值为

，C正确；

对于D，设则，因为，所以线段为两圆的公共弦，

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而为直径的圆的圆心为，半径为，

所以其方程为，即，

与圆O相减得直线的方程为，

将代入得，即，

令，解得，所以直线恒过定点，

则当且仅当时，点到直线的距离取得最大值，为，D正

确.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12.已知M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，若，则直线的倾斜角为

______________．

【答案】或.

【解析】

【分析】由抛物线的几何性质求的纵坐标，再求的斜率，进而得到倾斜角.

【详解】

抛物线的准线为，设直线的倾斜角为，

过M向抛物线的准线作垂线交准线于，由抛物线的几何性质得，所以的纵坐标为，

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又因为M是抛物线上的一点，所以，所以，

所以，或.

13.若直线是曲线在处的切线，则______________．

【答案】

【解析】

【分析】利用切线斜率、切点在曲线上及切点在切线上列方程求解.

【详解】曲线，导数为，切线斜率，在处有

切点纵坐标为，切线方程为，切点在该直线上，，故

，.

14.某太空项目采用星链卫星组网，第1颗卫星入轨后，后续卫星按如下规则入轨：设第n颗卫星与基准轨

道的偏差值为，满足递推关系：，，已知初始偏差．若要求前m颗入轨卫

星的总偏差不超过1200，则正整数m的最大值为______________．

【答案】69

【解析】

【分析】先归纳得数列的通项，再求出当为偶数时数列的前项，结合题设条件可求的最大值.

【详解】由题意得，，，，

，，，，．

可以归纳出，当时，若，则；

若，则．

令，．

当为偶数，设，

则

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．

由得，即．

因为，，所以的最大值为34．

此时，．

．

．

当时，，不符合要求，所以的最大值为69．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.2026年是中国航天深空探测的关键一年，某航天勘测团队在月球背面某区域进行地形勘测，测得该区域

三个勘测点A，B，C构成三角形，其中A，B两点相距千米，勘测仪器测得，

．

（1）求边的长度；

（2）为进一步精准勘测，团队计划在边的延长线上取一点D，使得，求的长度．

【答案】（1）千米

（2）千米

【解析】

【分析】（1）先利用三角形内角和求出，再用正弦定理求解即可；

（2）由正弦定理求，结合为等腰直角三角形、余弦定理求解即可.

【小问1详解】

已知，，则，

，已知，

，

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千米

【小问2详解】

，即，

已知在的延长线上，故，

在中，，故为等腰直角三角形，

由余弦定理：，

代入得，

化简得千米.

16.某智能温室大棚采用自动控制系统调节遮阳帘．每天系统会根据前一天的日照强度选择“高透光模式”

（记为状态A）或“低透光模式”（记为状态B）．统计表明：若某天为高透光模式，则次日仍保持高透光模

式的概率为0.2；若某天为低透光模式，则次日转为高透光模式的概率为0.8．假设第1天系统处于高透光

模式．设第n天系统处于高透光模式的概率为．

（1）求和的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）为防止作物光照不足，技术人员设置了自动补光机制：若连续两天出现低透光模式，则立即强制启动

补光灯．记X为前3天内强制启动补光灯的次数（即连续两天为低透光模式的事件发生次数，若第1、2天

为低透光模式，第2、3天也为低透光模式，则计为2次），求X的分布列和数学期望．

【答案】（1）

（2）

（3）

01

期望：0.16

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【解析】

【分析】（1）分第二天为和进行讨论即可；

（2）由全概率求解即可；

（3）第一天固定为，枚举所有可能情况即可得分布列，再求期望即可.

【小问1详解】

，，，，

第2天为高透光模式的概率：，

第3天为高透光模式有两种情况：

①第2天为且第3天为：

①第2天为且第3天为：，

所以.

【小问2详解】

由全概率公式：

构造等比数列：设，展开得，

对比系数：，所以，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，

所以，

【小问3详解】

X为“连续两天为低透光模式（）”的事件发生次数，

第天固定为，枚举所有可能：

，

01

.

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17.已知双曲线的离心率为2，且经过点．

（1）求双曲线的标准方程；

（2）设双曲线的左、右顶点分别为，，过点作斜率为的直线交双曲线于另一点（不

与重合），线段的中垂线交x轴于点．若，求k的值；

（3）过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于，

两点．试问：是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．

【答案】（1）；

（2）；

（3）

【解析】

【分析】（1）利用双曲线的基本性质求解；

（2）设直线方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理求出点坐标，从而得到线段的中垂线方程.令

，得到点坐标，再根据列方程求解；

（3）假设直线方程，分别与双曲线方程、渐近线方程联立，再结合两点间的距离公式化简求解.

【小问1详解】

由题意可得，解得

所以双曲线的标准方程：

【小问2详解】

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设直线方程

与双曲线方程联立可得

，，则，

则中点，直线，

所以直线的中垂线斜率为，中垂线方程为：

令，得

又有，则，解得

所以的值为.

【小问3详解】

由（1）知右焦点，渐近线方程：

设直线:

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联立可得：

联立得；联立得

所以

所以为定值.

18.如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段

的中点，F为线段上的动点．

（1）证明：平面平面；

（2）设点G是线段上的一点，且满足．在线段上是否存在点F，使得A，E，G，F四

点共面？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由；

（3）求平面与平面夹角的余弦值的最大值．

【答案】（1）证明见解析

（2）存在唯一的点F，使得A，E，G，F四点共面，此时，(F点在线段上靠近点的三

等分点处).

（3）

【解析】

【分析】（1）由线面垂直的性质定理证明即可；

（2）建立空间直角坐标系后，将用两种不同的方式表示，列方程组求解；

（3）先求平面的一个法向量，再表示平面的一个法向量，接着表示出夹角的余弦值，从而求出

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最大值.

【小问1详解】

因为底面为正方形，所以，

又底面，底面，所以，

因为，平面，所以平面，

又平面，所以，

在中，，为的中点，所以，

平面，所以平面，

又平面，所以平面平面.

【小问2详解】

以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，，

因为，则，则得，

则，，，，

设，

若A，E，G，F四点共面，则存在实数使得

即，得方程组：

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，解得

即存在唯一的点F，使得A，E，G，F四点共面，此时，(F点在线段上靠近点的三等分

点处).

【小问3详解】

由（2）可知

设平面的一个法向量为，

则，故可取，

设平面的一个法向量为，

则