7.函数的极值与最值-2026版高考数学二轮核心常考56个微专题

极值与最值的应用一．前言极值与最值是函数与导数应用中最重要的考点之一，就全国卷而言，极值部分的难点在于理解极值的定义，所以常有两类考题：已知极值的存在性求参数与已知极值点的存在性求参数，操作上两种问题的方法类似但是后者的要求要比前者多，这是我们需要注意的，一会在例题，习题中会有所体现.至于最值，只要解决好极值问题，最值的难度不大.二．典例分析1.已知函数有极值点，求参数的值或范围,一般有两种情况：（1）由可以解出参数的值，这类题较为简单，只需由求出参数的值，再代回去研究的单调性，确认在处取得极值即可.（2）由不能解出参数的值，这类题一般需要对参数进行分类讨论，研究函数的单调性，当的表达式较为复杂时，可能需要用到二阶导数，甚至三阶导数.当我们知道函数的具体极值点是极大值还是极小值求参数时，也可以利用下面高观点方法，当然，这个方法仅供有兴趣的同学了解，并非通法，它在解决一些问题时要方便一些.2.极值第二充分条件：若，且，则若，则在处取得极大值；若，则在处取得极小值.证明：将函数在处二阶泰勒展开可得：由于在存在极值，故且对求导数可得由代入上式可知：显然，若，则时，时，故为的极大值点，证毕.注：此证明方法仅供需要弄清结论原理的读者使用，若不需，则可直接记住结论内容就行.例1.（2021年乙卷第10题）设，若为函数的极大值点，则（）A． B． C． D．分析1：分类讨论若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.依题意，为函数的极大值点，当时，由，，画出的图象如下图所示：由图可知，，故.当时，由时，，画出的图象如下图所示：由图可知，，故.综上所述，成立.故选：D点评：按照传统的解法，此题应该先求一阶导数，再分析在处何时出现左负右正，引入分类讨论，而对于多数中等水平学生而言，分类讨论是他们痛处，所以我们有必要思考如何避免上述做法.分析2：第二充分条件依题，再次求导由于为极大值点，故，代入上式可得：，故选D.点评：二阶导方法显然更加具有实用性，不用分类讨论，步骤也很明确，考试必备的好帮手.小结：已知为函数的极大值或极小值，求参数问题.第一步：求二阶导数；第二步：若，则在处取得极大值；若，则在处取得极小值.例2.（2025年教育部八省联考）已知函数．（1）设，求曲线的斜率为2的切线方程；（2）若是的极小值点，求b的取值范围．解析：（1），故切点为，切线方程为．（2）（方法1.标准答案）为的极小值点，∴，当时，，令，此时当时，单调递增；当时，单调递减，在取得极大值，舍去．当时，在上单调递减，不存在极值，舍去（当时，当时，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递减此时，在取得极大值，舍去．当时，当时，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递减此时在取得极小值，符合综上：的取值范围为．（方法2.极值第二充分条件）由于，故，那么由于是的极小值点，故需满足，故的取值范围为．例3.（2023年新高考2卷）（1）证明:当时,（2）已知函数,若为的极大值点,求的取值范围.解析：（2）由于，可得：另一方面，由于，可得：，于是由于为的极大值点，在附件应该先赠后减，于是，即可得到：的取值范围为.好了，这样我通过三道高考真题展示了为何可以用泰勒展开，以及如何用泰勒展开分析其命题原理，这样深度的说明了上述高考真题的命制背景，为我们认识相关问题提供了更多思路.（方法2）（1）构建，则对恒成立，则在上单调递增，可得，所以；构建，则，构建，则对恒成立，则在上单调递增，可得，即对恒成立，则在上单调递增，可得，所以；综上所述：.（2）令，解得，即函数的定义域为，若，则，因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点，不合题意，所以.当时，令因为，且，所以函数在定义域内为偶函数，由题意可得：，（i）当时，取，，则，由（1）可得，且，所以，即当时，，则在上单调递增，结合偶函数的对称性可知：在上单调递减，所以是的极小值点，不合题意；（ⅱ）当时，取，则，由（1）可得，构建，则，且，则对恒成立，可知在上单调递增，且，所以在内存在唯一的零点，当时，则，且，则，即当时，，则在上单调递减，结合偶函数的对称性可知：在上单调递增，所以是的极大值点，符合题意；综上所述：，即，解得或，故a的取值范围为.注：泰勒公式时的麦克劳林公式：例4．（2022年全国乙卷）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是______________．解析：因为，所以方程的两个根为，即方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，因为分别是函数的极小值点和极大值点，所以函数在和上递减，在上递增，所以当时，，即图象在上方当时，，即图象在下方，图象显然不符合题意，所以．令，则，设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，则切线的斜率为，故切线方程为，则有，解得，则切线的斜率为，因为函数与函数的图象有两个不同的交点，所以，解得，又，所以，综上所述，的取值范围为．（方法2）=0的两个根为，因为分别是函数的极小值点和极大值点，所以函数在和上递减，在上递增，设函数，则，若，则在上单调递增，此时若，则在上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，则，不符合题意；若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以.例5.（2022年全国甲卷）当时，函数取得最大值，则（

）A． B． C． D．1解析：因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．故选：B.例6.（2021年新高考1卷）函数的最小值为___________.解析：由题设知：定义域为，∴当时，，此时单调递减；当时，，有，此时单调递减；当时，，有，此时单调递增；又在各分段的界点处连续，∴综上：时，单调递减，时，单调递增；∴，故答案为：1.三．习题演练1．（2023·全国·高考真题新高考2卷）若函数既有极大值也有极小值，则（

）．A． B． C． D．2．（2025年新高考2卷）若是函数的极值点，则_________.3．已知函数在其定义域内既有极大值也有极小值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4．已知函数有两个极值点，且，则实数的取值范围为___________.5.已知函数，其中.（1）若，求在处的切线方程；（2）若是的极大值，求a的取值范围.6.已知函数（，且），函数的图象与的图象关于直线对称.（1）求；（2）若的最小值是2，求.5.参考答案1.解析：函数的定义域为，求导得，因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，因此方程有两个不等的正根，于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确.故选：BCD2.解析：由题意有，所以，因为是函数极值点，所以，得，当时，，当单调递增，当单调递减，当单调递增，所以是函数的极小值点，符合题意；所以.故答案为：.3.解析：因为，所以.因为函数在其定义域内既有极大值也有极小值，所以只需方程在有两个不相等实根.即，令，则.在递增，在递减.∴，故选D.4.解析：原题等价于是导函数的两个零点，，即是方程的两个不相等的实数根，显然不符合方程0，所以和是方程的两个根，即函数的图像与直线有两个不同的交点，由于，所以当或时，；当时，，故的减区间为和，增区间为，当趋于时，趋于0，且，当且x趋于0时，趋于，当时，x趋于0时，趋于，在处，取得极小值；当时，x趋于时，趋于，作出的大致图像如下图所示，由图可知，，且，因为，取，并令，则，单调递增，，解得，此时，即，故答案为：.5.解析：（1）若，则，所以，故，又，所以在处的切线方程.（2）解法1：由题意，，，，所以，若，则，，所以不是的极值，不合题意；若，则，，所以是的极大值，满足题意；若，则，，所以是的极小值，不合题意；综上所述，a的取值范围是.解法2：由题意，，①当时，，所以在上单调递增，又，所以，，从而在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值，不合题意；②当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，且，若，则，可知当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，