14.双变量（双参数）恒成立能成立问题的原理与应用-2026版高考数学二轮核心常考56个微专题

14.双变量（双参数）恒成立，能成立问题的原理与应用一．基本原理双变量（双参数）恒成立，能成立求参数范围问题一般地，已知函数，①若，，总有成立，故；②若，，有成立，故；③若，，有成立，故；④若，，有，则的值域是值域的子集．⑤若，，有，则的值域与值域的交集非空．⑥若，对，都有.⑦若，对，都有.⑧若，对，都有.⑨若，对，都有.二．典例分析例1.（浙江省Z20名校联盟2026届高三开学考试）已知函数．（1）若，求在处的切线的方程；（2）判断是否是函数的极值点，并说明理由；（3）若不等式对任意的恒成立，求正整数的最大值．（参考数据：）．解析：（1）时，，所以，由于，所以在处的切线的方程为，化简得：．（2），若是函数的极值点，则有，代入得：，即．当时，不是函数的极值点；当时，，令，则，则在上单调递减，在上单调递增，则，即在上单调递增，不合题意．综上：不是函数的极值点．（3）由题意：，上式对任意恒成立，以为主元，令，则只需，因为，所以在上单调递增，则，故，即对任意恒成立．由题意得：，设，令，故在上单调递增，由于，故，所以，使得在上单调递减，在上单调递增，且满足，故，而，因此自然数最大可取到4．例2.（2025年新高考1卷T19）（1），（2）略；（3）若存在使得对任意，恒成立，求的最小值.解析：（3）当，可得，令则有，故.另一方面，不妨设，取，则，，所以，所以．例3．（2021年天津卷）已知，函数．（1）求曲线在点处的切线方程：（2）证明存在唯一的极值点（3）若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围．解析：（1），则，又，则切线方程为；（2）令，则，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，当时，，，当时，，画出大致图像如下：所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，当时，，则，单调递增，当时，，则，单调递减，为的极大值点，故存在唯一的极值点；（3）由（2）知，此时，所以，令，若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即，，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，故，所以实数b的取值范围.三．习题演练1.已知函数.（1）若，求曲线在处切线方程；（2）讨论的单调性；（3）时，设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.2．已知曲线与轴交于点，曲线在点处的切线方程为，且.（1）求的解析式；（2）求函数的极值；（3）设，若存在实数，，，，使得成立，求实数的取值范围．3．设函数．（1）讨论函数的单调性；（2）设，当时，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．4.已知函数．（1）当时，若函数恰有一个零点，求实数a的取值范围；（2）当，时，对任意，有成立，求实数的取值范围．5.已知函数，其中.（1）讨论的单调性.（2）是否存在，对任意，总存在，使得成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.6．已知，函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程：（2）证明存在唯一的极值点（3）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．7.已知函数（其中e为自然对数的底数）．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在上的最值；（3）设函数，若对，不等式恒成立，求a的取值范围．参考答案1.解析：（2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（3）由已知，转化为在的值域和在的值域满足：，易求.又且，在上单调递增，故值域.所以，解得，即.2.解析：（1）．（2）是函数的极大值点，．（3）设，，，则，，．，．若存在实数，，，，使成立，等价于：成立，，．即，，．令，，，则，．，，，，（1）．，的取值范围是，，．3.解析：（1）令，所以，当时，，此时在上单调递减，在上单调递增；当时，，此时在上单调递增，在上单调递减；（2）当时，，在上单调递减，在单调递增.所以对任意，有，又已知存在，使，所以即存在，使，即，又因为当，，所以，，即实数的取值范围.4.解析：（1）综上，实数的取值范围是或.（2）因为对任意，有成立，且，所以.因为，所以，所以，当时，，当时，；所以函数在上单调递减，在上单调递增，因为与，所以令则当时，，所以在上单调递增，故，所以，从而所以，即.令，则.当时，，所以在上单调递增.又，所以，即，解得，所以b的取值范围是.5.解析：（1）当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）存在满足条件的实数，且实数的值为，理由如下：①当，且时，由（1）知，在上单调递减，则时，，则，所以此时不满足题意；②当时，由（1）知，在上，单调递增，在上，单调递减，则当时，，当时，对任意，，所以此时不满足题意；③当时，令（），由（1）知在上单调递增，进而知在上单调递减，所以，，若对任意的，总存在，使得，则，，即，所以，解得，综上，存在满足题意的实数，且实数的值为.6.【详解】（1）当时,可得，即，所以切线斜率为，又，所以切线方程为，即；（2）易知，令可得，令，则在上恒成立，即可得在单调递增，当趋近于0时，趋近于，当趋近于时，趋近于；其图象如下图所示：所以当时，与的图像仅有一个交点，令，则当时，，即，在单调递减，当时，，即，在单调递增，所以可知为的极小值点，即存在唯一的极值点；（3）由（2）可知，此时，所以的最小值为，令，则，当时，，即在上单调递增，时，，即在上单调递减；所以在处取得极大值，也是最大值，若存在a，使得对任意成立，即存在a使得在成立，即，所以实数b的取值