19.爪型三角形与多三角形求解-2026版高考数学二轮核心常考56个微专题

爪型三角形与多三角形中的计算爪型三角形是解三角形中非常重要的一种构型，人教版教材中也多次出现相关例题，很多此处不再逐一列举，教材必修二53页到54页中这样的例子比比皆是.本节我将给出关于爪型三角形处理的一些重要手段，例如找补角，或者等面积思想，以及利用上述思想结合正余弦定理推出处理爪型三角形的一些重要结论：张角定理，角平分线定理等.一．基本原理1.爪型三角形的几何特征基本几何特征:如图，.例1．（2022全国甲卷）已知中，点在边上，，，．当取得最小值时，．解析：设，，在三角形中，，可得：，在三角形中，，可得：，要使得最小，即最小，，其中，此时，当且仅当时，即时取等号，故答案为：．例2.（2021新高考1卷）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.（1）证明：；（2）若，求解析：（1）由题设，，由正弦定理知：，即，∴，又，∴，得证.（2）由题意知：，∴，同理，∵，∴，整理得，又，∴，整理得，解得或，由余弦定理知：，当时，不合题意；当时，；综上，.2.中线公式与向量方法若已知顶角的大小，且时，可利用向量共线的基本结论求得.例3.在中，内角的对边分别为，.（1）求；（2）若的面积为，求边上的中线的长.解析：（1）因为，所以，所以，即，所以，由余弦定理及得：，又，所以，即，，所以.（2）由，所以，由（1），所以，因为为边上的中线，所以，所以，所以，所以边上的中线的长为：.例4．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求B；（2）设，若点M是边上一点，，且，求的面积．解析：（1）．（2）如图所示：因为，所以，．又，所以．在中，由余弦定理得，即．①又，所以，两边平方得，即，所以．②，②－①得，所以，代入①得，在中，，所以是以为直角的三角形，所以的面积为．3.为角平分线：角平分线定理如图，可设，这样可得.另一方面，设的高为，则，联立上面两式可得：，即角平分线性质定理.例5.（2015全国2卷）中，是上的点，平分，面积是面积的倍．（1）求；（2）若=1，=求和的长.解析：（1），因为，，所以，由正弦定理可得.（2）因为，所以，在和中，由余弦定理知，故，由（1）知，所以.4.张角定理在中，D是BC上的一点，连结AD，那么.证明：因为，由三角形面积公式可得两边同除，得到例6.（2018年江苏卷）在中，角的对边分别为，，的平分线交于点，且，则的最小值为________.解由张角定理有，即，整理得.所以.当且仅当，即时取得最小值.5.等面积思想.设为的平分线，则设，那么有等面积可得：，进一步可得：，于是可以看到，倘若我们知道角与角平分线的长度，则可得到的转化关系，配合均值不等式就可得到一些范围问题.例7.在中，已知角，角A的平分线AD与边BC相交于点D，AD=2.则AB+2AC的最小值为___________.解析：，依题意是角的角平分线，由三角形的面积公式得，化简得，，.当且仅当，时等号成立.故答案为：例8.在中，的对边分别为.（1）若，求的值；（2）若的平分线交于点，求长度的取值范围.解析：（1）已知，由正弦定理可得，，，，，即，.（2）由（1）知，由，则.设，，，，.6.多三角形计算前面的几种爪型三角形本质都是多三角形问题，即一个三角形中引出一些线段后将其分为两个或者多个小三角形，前面的中线，角平分线，高线均是如此.当然，还有一些多三角形并没有像前面这些三角形有固定的解题背景或者结论，它们需要的是结合正余弦定理和三角形内角和，把握住整体和局部的联系，抓住公共边，公共角等等一些特征，最多通过多次解三角形实现目标.例9．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

（1）求B；（2）已知D为边AB上的一点，且.（ⅰ）若，，求AC的长；（ⅱ）求的取值范围.解析：（1）由题意知，又由正弦定理得，所以.又，所以，所以，所以，因为，所以，所以，

又因为，所以.（2）（ⅰ）因为，根据余弦定理得，所以，因为，所以，在中，由正弦定理知，，即，所以，进而,所以故，（ⅱ）因为，所以，在中，由正弦定理得，所以；又在中，；所以，因为，所以，所以，所以的取值范围是.例10．在中，，.

（1）求的值；（2）若，求的面积;（3）设为内一点，，，求的值.解析：（1）在中由正弦定理，又，所以，又，所以，所以，即，即，所以；（2）因为，在中由余弦定理，即，解得（负值已舍去），则，所以；（3）在中，设，令，

则，，在中，可得，，由正弦定理，得，所以，可得，即．三．习题演练1．已知在中，，为的中点，且，则边上高的最大值为（

）A． B． C．2 D．解析：由题意为的中点，设，则，则在中，,则的面积，当时取等号，所以的面积最大值为，的面积最大值为，上高的最大值为．故选：D．2．在中，边上的高等于，则（

）A． B． C． D．解析：如图，边上的高为，，且，所以，则，则，，所以，则.故选：B3．在锐角中，角，，的对边分别为，，.若，，则边上中线的取值范围为（

）A． B．C． D．解析：因为是边上的中线，所以，则，由正弦定理得，可得，，所以，而，，所以，因为为锐角三角形，，则，即，所以，所以，所以当时，取得最大值，的最小值大于，所以的最大值为，最小值大于，即的取值范围为．故选：B．4．在中，，为内一点，，，则（

）A． B． C． D．解析：在中，设，令，

则，，在中，可得，，由正弦定理，得，所以，可得，即．故选：B．5．如图，D为的边AC上一点，，，，则的最小值为_________解析：设，则，在中，，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以，当时，有最小值，此时取最小值，所以.故答案为：.6．在锐角中，内角所对的边分别为，若，则的最小值为_________解析：由余弦定理得，又，所以，即，所以，由正弦定理得，即，因为，所以，所以或（舍去），所以，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故答案为：.7．已知是内一点，，则______解析：在中，，设，由余弦定理可得，可得，在中，，所以，由正弦定理得，即，可得，在中，由余弦定理得，可得，所以，可得，因此．故答案为：

8．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为，且，若D是的角平分线与BC的交点，则的取值范围是_________解析：在中，由得，由余弦定理得，且，所以.又因为AD是的平分线，则，在中，由正弦定理得，可得，且是锐角三角形，所以，解得，则，可得，所以，故的取值范围是.故答案为：.9．在中，角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若，且，求.解析：（1）.由正弦定理，可得又,.（2），设，则，在中，.在与中，..10.记的内角的对边分别为的面积为.已知.（1）求；（2）若点在边上，且，求的周长.解析：（1）.（2），，，而，的周长为.11．在中，D为BC的中点，且.（1）求；（2）若，求.解析：（1）由，可得，如图所示：

在中，由正弦定理得，所以在中，由正弦定理得，所以故因为为的中点，所以，即，（2）由（1）不妨设，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得.所以.解得.故12．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求A；（2）若点D在边BC上，，，，求的面积.解析：（1）由正弦定理边化角可得，，整理可得，.因为，，所以有，所以.因为，所以.（2）设，则，在中，有.在中，有.又，所以，所以有.又，