40.解析几何中的四点共圆-2026版高考数学二轮核心常考56个微专题

40.二次曲线上的四点共圆一．基本原理1.方法一：斜率方法若两条直线与二次曲线有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是.结论1抛物线的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.结论2圆锥曲线的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.方法2：曲线系方法定理2若两条直线与二次曲线有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是.证明：由组成的曲线即所以经过它与的四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式不同时为0)：①必要性.若四个交点共圆，则存在使方程①表示圆，所以式①左边的展开式中含项的系数.而(否则③表示曲线，不表示圆)，所以.充分性.当时，式①左边的展开式中不含的项，选时，再令式①左边的展开式中含项的系数相等，即，得.此时曲线①即②的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线②上，所以曲线②表示圆.这就证得了四个交点共圆.方法3.相交弦定理（2）相交弦定理：二．典例分析例1．（2024年新高考2卷）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点，过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.（1）若，求；（2）证明：数列是公比为的等比数列；（3）设为的面积，证明：对任意的正整数，.解析：（3）（以下解法转自公众号：金磊讲数学构型）依题意如图1,记直线的交点为,那么根据引理可得:可得四点共圆,如图,过作轴垂线,结合外角定理可得直线和直线的倾斜角互补,即:.而,故，而根据双曲线上任意三点不共线的性质,可得:故即为常数列.例2.（2014年全国大纲卷）已知抛物线的焦点为F，直线与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且．（1）求抛物线C的方程；（2）过F的直线1与C相交于两点，若AB的垂直平分线与C相交于两点，且四点在同一个圆上，求直线1的方程．解析：（1）设，代入，得．由题设得，解得（舍去）或，∴C的方程为；（2）由题设知与坐标轴不垂直，故可设的方程为，代入得．设则．故的中点为．又的斜率为的方程为．将上式代入，并整理得．设则．故的中点为．由于垂直平分线，故四点在同一圆上等价于，从而即，化简得，解得或．所求直线的方程为或．例3.（2021新高考1卷）在平面直角坐标系中，已知点，且动点满足：，点的轨迹为.（1）求的方程；（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于两点和两点，且满足，求直线与直线的斜率之和.解析：（1）因为，所以，轨迹是以点，为左右焦点的双曲线的右支，设轨迹的方程为，则，可得，，所以，轨迹的方程为.（2）方法1.相交弦定理直接翻译设，设直线的方程为．联立，化简得，则．故．则．设的方程为，同理．因为，所以，化简得，所以，即．因为，所以．方法2.（参数方程法）设．设直线的倾斜角为，则其参数方程为，联立直线方程与曲线C的方程，可得，整理得．设，由根与系数的关系得．设直线的倾斜角为，，同理可得，由，得．因为，所以．由题意分析知．所以，故直线的斜率与直线的斜率之和为0．（方法3：曲线系）（2）设，直线的方程为，直线的方程为，则过四点的二次曲线为：，代入双曲线方程可得：，整理可得：其中．由于四点共圆，则项的系数为，即.例4.（福建省漳州市2026届高三九月联考）若函数的图象上存在四点共圆，则满足条件的可以是（）A.B.C.D.解析：对于A，函数的图象为抛物线，关于y轴对称，不妨取A−1,1,B1,1则四点共圆，A符合题意；对于B，，定义域为，在上单调递增，该函数图象上升比较平缓，图象上没有剧烈变化的分界点，故不可能存在某个圆与图象有4个交点，即的图象上不可能存在四点共圆，B不符合题意；对于C，作出的图象，必存在圆与的图象有4个交点的情况，C符合题意；对于D，作出的图象，可知当时，图象比较平缓地上升，当且x逐渐变大时，函数图象上升，且变得越来越陡峭，故只要某圆的半径足够大，必存在圆与的图象有4个交点，D符合题意.故选：ACD三．习题演练1.已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，设抛物线在点处的切线分别为和，已知与轴交于点与轴交于点，设与的交点为.（1）证明：点在定直线上；（2）若面积为，求点的坐标；（3）若四点共圆，求点的坐标.2.在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，实轴长为4.（1）求C的方程；（2）如图，点为双曲线的下顶点，直线过点且垂直于轴（位于原点与上顶点之间），过的直线交C于两点，直线分别与交于两点，若，，，四点共圆，求点的坐标.参考答案1.解析：（1）由，得，设.所以方程为：，整理得：.同理可得，方程为：.联立方程，解得.因为点在抛物线内部，可知直线的斜率存在，且与抛物线必相交，设直线的方程为，与抛物线方程联立得：，故，所以，可知.所以点在定直线上..（2）在的方程中，令，得，所以面积.故，代入可得：.整理得，解得：或.所以点的坐标为或.（3）若，则重合，与题设矛盾.抛物线焦点，由得直线斜率，可知，同理，所以是外接圆的直径.若点也在该圆上，则.由，得直线的方程为：.又点在定直线上，联立两直线方程，解得，所以点的坐标为.2.解析：（1）因为实轴长为4，即，，又，所以，，故C的方程为.（2）由，，，四点共圆可知，，又，即，故，即，