42.数列与解析几何综合问题的五种应用-2026版高考数学二轮核心常考56个微专题

42.数列与解析几何综合问题五种应用1.数列与直线综合2.数列与圆综合3.数列与函数图像（抛物线）综合4.数列与椭圆综合5.数列与双曲线综合★1.数列与直线综合例1．如图，直线与相交于点P．直线与x轴交于点，过点作x轴的垂线交直线于点，过点作y轴的垂线交直线于点，过点作x轴的垂线交直线于点，…，这样一直作下去，可得到一系列点．点的横坐标构成数列．（1）证明：；（2）求数列的通项公式；（3）比较与的大小．解析：（1）由题意，可知与的横坐标相同，与的纵坐标相同，则点的横坐标为，将代入，解得，则与的纵坐标为，将其代入，可得，，，故.（2）由（1）中，则数列是以为公比的等比数列，对于直线，令，可得，解得，则点的横坐标，故数列的通项公式为，，故.（3）由（2）可得，联立可得，解得，则，即，；，令，易知函数为偶函数且在单调递增，令，可得，则，，解得，则当时，，当时，，即当时，，当时，，由（2）中得到的，令，解得，则当时，，则，令，当时，易知函数在是单调递增的，则，，，即；当时，易知函数在是单调递减的，则，，即；综上，当时，；当时，.★2.数列与圆综合例2．设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数n，圆都与圆相互外切，以表示圆的半径，已知为递增数列，若，则数列的前n项和为___________．解析：的倾斜角，设圆、与直线的切点分别为，连接，过作，垂足为，则∵，整理得，数列是以首项，公比的等比数列，即，∴，设数列的前n项和为，则有：，，两式相减得：，即故答案为：．★3.数列与函数图像（抛物线）综合例3．如图，已知抛物线的焦点为，斜率为的直线经过且交于两点（在第一象限）.（1）求的坐标与的长；（2）设，如下构造：直线分别与交于，证明：（ⅰ）的纵坐标是等差数列；（ⅱ）.解析：（1），即：且，故，，.（2）（ⅰ）设，其中：，，，，联立可得，，化简得：，于是：，故，，所以①，②，①+②得：，要证：的纵坐标是等差数列，即证：，即证：，即证：，即证：，①当时：成立；②假设时，成立；③则当时：成立，故：为等差数列.（ⅱ）设：，，，，于是：，，同理可证的纵坐标满足：，，，下面证明：，即证：，这显然成立，故★4.数列与椭圆综合例4．已知一列椭圆．若椭圆上有一点，使到右准线的距离是与的等差中项，其中分别是的左、右焦点．（1）试证：．（2）取，并用表示的面积，试证：且．解析：（1）由题意，

，准线的方程为，根据椭圆的定义，有，，设点，则有，椭圆左顶点的坐标为，右顶点的坐标为，在上，，即，解得；（2）由题意，，，，

，，，，考察，构造函数，则有，当时，，所以

；当时，

，所以在时单调递减，即.★5.数列与双曲线综合例5．（2024年新高考2卷）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点，过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.（1）若，求；（2）证明：数列是公比为的等比数列；（3）设为的面积，证明：对任意的正整数，.解析：（1）由已知有，故的方程为.当时，过且斜率为的直线为，与联立得到.解得或，所以该直线与的不同于的交点为，该点显然在的左支上.故，从而，.（2）由于过且斜率为的直线为，与联立，得到方程.展开即得，由于已经是直线和的公共点，故方程必有一根.从而根据韦达定理，另一根，相应的.所以该直线与的不同于的交点为，而注意到的横坐标亦可通过韦达定理表示为，故一定在的左支上.所以.这就得到，.所以.再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列.（3）由于上一小问已经得到，，故.再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列.所以对任意的正整数，都有.这就得到，以及.两式相减，即得.移项得到.故.而，.所以和平行，这就得到，即.例6.（江苏省南通市2026届高三上期第二次质量检测）已知双曲线分别为左、右右点，点在双曲线上．（1）求双曲线的方程；（2）如图，在双曲线的右支上任取一点，以为切点作双曲线右支的切线，交两渐近线于两点，过两点分别作两渐近线的平行线交于点，过作直线的平行线分别交两渐近线于两点，再过两点分别作两渐近线的平行线交于点，一直反复操作，可得．①证明：点在同一条直线上，并求该直线方程；②记的面积为，记，证明：．解析：（1）双