44.排列组合及其应用-2026版高考数学二轮核心常考56个微专题

44.排列组合及其应用本节主要介绍排列组合与二项式定理中的基本问题，新高考目前在该板块主要考察一道小题，同时排列组合问题会和古典概型结合深度考察，但难度整体不大，属于基础题，读者只需掌握常见的排列组合模型与二项式定理的基本性质便可轻松应考.一．基本原理考点1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理1.分类计数原理定义：做一件事，完成它有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法在第类办法中有种不同的方法.那么完成这件事共有方法数：2.分步计数原理定义：做一件事，完成它需要分成个步骤，做第一个步骤有种不同的方法，做第二个步骤有种不同的方法……做第个步骤有种不同的方法，那么完成这件事共有方法数：考点2.排列1.排列的定义一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取个元素的一个排列．2.排列数（1）排列数定义从个不同元素中取个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示．注意问题：排列与排列数是两个不同的概念，一个排列是指从个不同元素中任取个元素，按照一定的顺序排成一列，它不是一个数，而是具体的一件事．而排列数是指从个不同的元素中取出，个元素的所有排列的个数，它是一个数．（2）排列数公式（1）全排列个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，这时公式中，即有．（2）阶乘正整数1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示．全排列数公式，规定0!=1．考点3.组合1.组合的定义一般地，从个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出个元素的一个组合，也就是说，组合是从个不同的元素中取出个元素，不分次序构成一组.2.组合数从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示.组合数与组合是两个不同的概念，组合是从个不同的元素中任取个元素并成一组，它是一件事，而组合数是一个数.②从集合的角度来看，从个不同的元素中任取个元素并成一组的组合的全体构成一个集合，组合数就是这个集合中元素的个数.3.组合数公式，，规定：.4.组合数的性质（1）性质1：这个性质反映了组合数的对称性，其实际意义：从个不同的元素中取出个元素后，就剩下个元素，因而从个不同元素中取个元素与从个不同元素中取个元素是一一对应的，因此是一样多的.利用这个性质，当时，我们可以不直接计算，而是改为计算，这样可以简化运算.（2）性质2:这个性质可以理解为分类加法计数原理的应用，在确定从个不同元素中取出个元素时，对于某一个特定元素，只存在取与不取两种情况，如果取这个元素，则只需从剩下的个元素中再取个元素，有种取法；如果不取这个元素，则需从剩下的个元素中取出个元素，有种取法.由分类加法计数原理可得：.考点4.常见的一些排列问题及其解决方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化的方法4.分组分配问题4.1（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：将个不同元素分成组，且每组的元素个数分别为，记.（1）非均匀不编号分组：个不同元素分成组，每组元素数目均不相等，且不考虑各组间的顺序，其分法种数为.（2）均匀不编号分组：将个不同元素分成不编号（即无序）的组，每组元素数目相等，其分法种数为.（3）部分均匀不编号分组：将个不同元素分成不编号的组，其中有组元素个数相等，其分法种数为，如果再有组均匀分组，应再除以.4.2分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．二．典例分析1.特殊优先例1．“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”､“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有（

）A．100个 B．125个 C．225个 D．250个解析：依题意，五位正整数中的“回文数”具有：万位与个位数字相同，且不能为0；千位与十位数字相同，求有且仅有两位数字是奇数的“回文数”的个数有两类办法：最多1个0，取奇数字有种，取能重复的偶数字有种，它们排入数位有种，取偶数字占百位有种，不同“回文数”的个数是个，最少2个0，取奇数字有种，占万位和个位，两个0占位有1种，取偶数字占百位有种，不同“回文数”的个数是个，由分类加法计算原理知，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有个.故选：C例2．如图，在两行三列的网格中放入标有数字的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同的排法有（

）A．96种 B．64种 C．32种 D．16种解析：根据题意，分3步进行，第一步，要求“只有中间一列两个数字之和为5”，则中间的数字只能为两组数1，4或2，3中的一组，共有种排法；第二步，排第一步中剩余的一组数，共有种排法；第三步，排数字5和6，共有种排法；由分步计数原理知，共有不同的排法种数为.故选：B.从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的四位数．(用数字作答)解析：解法1：分类讨论四位数中有数字0的有种，无数字0的有种，则共可以组成个没有重复数字的四位数．解法2：正难则反，无限制四位数有种，其中数字0在首位的有种，则共可以组成个没有重复数字的四位数．例4.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种．(用数字填写答案)解析：方法一：直接法，1女2男，有，2女1男，有，根据分类计数原理可得，共有12+4=16种.方法二，间接法：种．例5.从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．解析：从正方体的个顶点中任取个，有个结果，这个点在同一个平面的有个，故所求概率．故答案为：．2.相邻问题例6.有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有多少种A．种 B．种 C．种 D．种解析：先利用捆绑法排乙丙丁戊四人，再用插空法选甲的位置，则有种．选B.3.不相邻问题例7．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为 ()A． B． C． D．解析：将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，所以2个0不相邻的概率为．故选：C．4.定序问题例8.将,六个字母排成一排,且均在的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答).解析：先不考虑的顺序限制,任意排列这6个字母,共有个不同排列.其中,当的位置固定时,任意交换这3个字母的位置,共有种不同的排列,而符合均在的同侧这一条件的排列有个.在所有的种排列方法中,符合顺序要求的排法所占比例为.所以,不同的排法共种.5.分组分配问题例9．安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（

）A． B． C． D．解析：5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人；当分为3,1,1人时，有种实习方案，当分为2,2,1人时，有种实习方案，即共有种实习方案，其中甲、乙到同一家企业实习的情况有种，故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为，故选：D.例10.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.60种 B.120种 C.240种 D.480种解析：根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，故选：C.6.正难则反例11.甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在小区的概率为（）A. B. C. D.解析：首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有种情况，再计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，5人被分为或当5人被分为时，情况数为;当5人被分为时，情况数为；所以共有.由于所求甲不去，情况数较多，反向思考，求甲去的情况数，最后用总数减即可，当5人被分为时，且甲去，甲若为1，则，甲若为3，则，共计种，当5人被分为时，且甲去，甲若为1，则，甲若为2，则，共计种，所以甲不在小区的概率为，故选：B.三．习题演练1．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同安排方法共有()A．120种 B．90种C．60种 D．30种要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有()A．2种 B．3种 C．6种 D．8种3．世界大学生运动会（简称大运会）由国际大学生体育联合会主办，每两年举办一届，是规模仅次于奥运会的世界综合性运动会，第31届大运会将于2023年7月28日至8月8日在成都召开．为办好本届大运会，组委会精心招募了一批志愿者，现准备将甲、乙等6名志愿者安排进“东安湖体育公园”，“凤凰山体育公园”，“四川省体育馆”工作，每个地方安排两人且每人只能在一个场馆工作．若每位志愿者被分到各个场馆的可能性相同，则甲，乙两人被安排在同一个场馆的概率为（

）A． B． C． D．4．现有6个同学站成一排照相，如果甲､乙两人必须相邻，而丙､丁两人不能相邻，那么不同的站法共有（

）种.A．144 B．72 C．36 D．245.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．6.已知有一个四棱雉,使用4种不同的颜色在四棱雉的每个面上上色,要求相邻的区域颜色不同,一共有多少种涂法?7．近年来，随着我国城镇居民收入的不断增加和人民群众消费观念的改变，假期出游成为时尚.某校高三年级7名同学计划高考后前往黄山､九华山､庐山三个景点旅游.已知7名同学中有4名男生，3名女生.其中2名女生关系要好，必须去同一景点，每个景点至少有两名同学前往，每位同学仅选一处景点游玩，则7名同学游玩行程安排的方法数为__________.8．2022年8月31日至9月5日在国家会议中心和首钢园区举办了中国国际服务贸易交易会.今年服贸会的主题为“服务合作促发展，绿色创新迎未来”，国际化和专业化水平进一步提升.某高校甲、乙、丙、丁、戊、己六位大学生通过筛选加入志愿者.通过培训，拟安排这六位大学生到四个场馆进行志愿服务，每名同学只能去一个场馆，每个场馆至少安排一名志愿者，且甲、乙不能去同一个场馆，丙、丁不能去同一个场馆，则不同的安排方法有________种.（用数字作答）9．某市为早日实现脱贫致富的目标，现将甲､乙､丙､丁4名干部派遣到三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲､乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为___________.10．为弘扬学生志愿服务精神，某学校开展了形式多样的志愿者活动．现需安排名学生，分别到个地点（敬老院、幼儿园和交警大队）进行服务，要求每个地点至少安排名学生，则有_______________________种不同的安排方案（用数字作答）．1.1参考答案1.解析：首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；最后剩下的名同学去丙场馆．故不同的安排方法共有种．故选：C2.解析：第一步，将3名学生分成两个组，有种分法，第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法，所以，不同的安排方法共有种，故选：C3.解析：将6个志愿者分成三组，每组两个人，然后安排到三个地方工作，共有，甲，乙两人被安排在同一个场馆工作，其它随机安排，共有，则甲，乙两人被安排在同一个场馆的概率为，故选：C.4.解析：由题意可将甲､乙两人看作一个整体，和除甲乙丙丁外的其余两人全排列，有种排法，再从这3人（甲乙看作一个人）排好后形成的4个空中选2个排丙､丁，故共有种站法，故选：A5.解析：4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学先取2名同学看作一组，选法有：,现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：,根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种,故答案为：．6.解析：此题可将立体图形转化成平面图形,在平面区域中