专题01 集合（优练）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第1页（共18页）专题专题01集合一．选择题（共10小题）1．（2025•海淀区模拟）已知集合，，则A． B． C．或 D．2．（2025•成都模拟）设集合，，若，则的取值范围是A． B． C． D．3．（2025•松原模拟）已知集合，2，3，4，，，则A．，2，3， B．，2， C．， D．4．（2025•历下区模拟）已知集合，，那么集合A． B． C． D．5．（2025•泰安三模）已知集合，则A． B．， C．， D．，2，6．（2025•南充模拟）若集合，，则A． B．， C．， D．，7．（2025•茂名模拟）已知集合，，，则A． B． C． D．8．（2025•浙江模拟）已知集合，，，0，1，，则A．， B．，1， C．， D．，0，9．（2025•全国模拟）已知集合，，，则A．， B．， C． D．，10．（2025•天津模拟）已知全集，，，，2，，则A． B． C． D．，二．多选题（共4小题）（多选）11．（2025•慈溪市模拟）已知集合，，则A． B． C． D．（多选）12．（2024•青原区模拟）下列选项中的两个集合相等的有A．，，， B．，，， C．，， D．，（多选）13．（2024•宜春模拟）已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有A．， B．， C． D．（多选）14．（2025•望城区模拟）若平面点集，满足：任意点，存在正实数，都有，则称该点集为“阶集”，则下列说法正确的是A．若是“阶集”，则 B．若是“阶集”，则为任意正实数 C．若是“阶集”，则 D．若是“阶集”，则三．填空题（共4小题）15．（2025•闵行区模拟）设集合，，则．16．（2025•濮阳二模）已知集合，非空集合，若，则的取值范围是．17．（2024•南京二模）已知集合，2，，，，，则集合的元素个数为．18．（2025•江西模拟）已知集合，3，4，，，2，3，，，集合的子集，，，，，若对于任意的，，，都有，则符合条件的集合的个数为．四．解答题（共6小题）19．（2024秋•资中县期末）设集合，．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．20．（2024秋•榆阳区期末）已知集合，．（1）分别求，．（2）已知，且，求实数的取值范围．21．（2024秋•叶县期末）已知集合，．（1）当时，求①；②；（2）若集合为非空集合且，求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围．22．（2025春•个旧市月考）设全集，集合．（1）求；（2）设为实数，集合．若“”是“”的充分条件，求的取值范围．23．（2024•辽宁模拟）给定正整数，设集合，，，，，，，2，，．对于集合中的任意元素，，，和，，，，记．设，且集合，，，，，2，，，对于中任意元素，，若则称具有性质．（1）若集合具有性质，试写出的表达式；（2）判断集合，1，，，0，，，1，是否具有性质？若具有，求的值；若不具有，请说明理由；（3）是否存在具有性质的集合？若存在，请找出来；若不存在，请说明理由．24．（2025•赣州模拟）对于一个四元整数集，，，，如果它能划分成两个不相交的二元子集，和，，满足，则称这个四元整数集为“有趣的”．（1）写出集合，2，3，4，5，6，7，的一个“有趣的”四元子集：（2）证明：集合，2，3，4，5，6，7，不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集：（3）证明：对任意正整数，集合，2，3，，不能划分成个两两不相交的“有趣的”四元子集．

一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DABADACBAB二．多选题（共4小题）题号11121314答案ACDACACABC一．选择题（共10小题）1．【答案】【分析】进行并集的运算即可．【解答】解：，，．故选：．2．【答案】【分析】由集合，，，能出的取值范围．【解答】解：集合，，，．的取值范围是．故选：．3．【答案】【分析】根据给定条件，求出集合，再利用交集的定义求解．【解答】解：集合，2，3，4，，所以，0，1，2，，根据集合交集运算可得，，2，．故选：．4．【答案】【分析】分别求出集合，，利用交集的定义求解即可．【解答】解：因为，，，所以．故选：．5．【答案】【分析】结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合，则，2，．故选：．6．【答案】【分析】先求出集合，，再结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合，，故．故选：．7．【答案】【分析】先化简集合，再求补集，交集．【解答】解，又，，．故选：．8．【答案】【分析】解一元二次不等式化简，根据交集的概念可求出结果．【解答】解：由，得，则，所以，1，．故选：．9．【答案】【分析】解不等式确定集合，然后由交集定义计算．【解答】解：由可得，则，，，，所以，．故选：．10．【答案】【分析】根据集合的交集以及补集的定义即可求解．【解答】解：由题意，，1，2，3，，又，2，，故，，．故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】【分析】由题意得，根据相等集合和子集的定义即可判断．【解答】解：由题意得方程无解，所以集合，，则且，可得，，正确，错误．故选：．12．【答案】【分析】利用集合相等的定义和集合中的元素的性质，对各个选项逐个判断即可．【解答】解：选项：因为集合，表示的都是所有偶数组成的集合，所以；选项：集合中的元素是由1，3，5，，所有正奇数组成的集合，集合是由3，5，，所有大于1的正奇数组成的集合，即，所以；选项：集合，，集合中：当为奇数时，，当为偶数时，，所以，，则；选项：集合表示的是数集，集合表示的是点集，所以；综上，选项表示的集合相等，故选：．13．【答案】【分析】由开点的定义和元素和集合的关系可求得结果．【解答】解：对于，对任意的，存在，使得，故正确；对于，假设集合，以0为“开点“，则对任意的，存在，，使得，当时，该式不成立，故错误；对于，假设集合以0为“开点“，则对任意的，存在，使得，故正确；对于，集合，，，当时，，时，使得不成立，故错误．故选：．14．【答案】【分析】根据“阶集”的定义，逐项进行判定即可．【解答】解：对于，若是“阶集”，则，所以，因为，所以，故正确；对于，若是“阶集”，则，则为任意正实数，故正确；对于，若是“阶集”，则，由得出，当时，，所以，当时，取，，满足，但是，所以为使成立时，，正实数的取值范围是，故是正确；对于，若是“阶集”，则，当，，时，，故不成立，故错误．故选：．三．填空题（共4小题）15．【答案】，．【分析】解一元二次不等式和绝对值不等式可求得集合，，由交集定义可得结果．【解答】解：由得：，则，由得：，解得，则，，，．故答案为：，．16．【答案】，．【分析】利用交集运算得，根据集合非空和子集关系列不等式组求解即可．【解答】解：因为，所以，又，非空集合，所以，解得，即的取值范围是．故答案为：，17．【答案】2．【分析】利用列举法表示集合，能求出结果．【解答】解：集合，2，，，，，，则集合的元素个数为2．故答案为：2．18．【答案】30．【分析】根据题意，设，即可得到中元素由和有序数组，，，决定，然后分类讨论即可得到，，，中有2个2，分别计算其对应的情况数，然后相加，即可得到结果．【解答】解：不妨设，再设，，2，3，4，则中元素由和有序数组，，，决定．，，3，4，，且，，，中任意相邻几个之和也不属于，3，4，，否则会出现，若，，，中没有2或只有1个2，则一定有，不符合题意．若，，，中有3个2或4个2，不满足，，，中任意相邻几个之和也不属于，3，4，，所以，，，中有2个2．考虑，，，的排列情况和的取值情况：若，，，由2，2，6，6组成，则的个数为；若，，，由2，2，6，7组成，则的个数为；若，，，由2，2，6，8组成，则的个数为；若，，，由2，2，7，7组成，则的个数为．故符合条件的集合的个数为．四．解答题（共6小题）19．【答案】（1）；（2），，．【分析】（1）将代入，求出集合，解不等式化简集合，再根据补集和交集的定义即可求出；（2）根据，可得，对集合是否为空集分类讨论，得到关于的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）或，则；当时，，由得或，所以；（2）由得，①若，则，解得，②若，则或，解得或，综上，实数的取值范围是，，．20．【答案】（1），；（2）．【分析】（1）解出集合后，结合集合的运算性质运算即可得；（2）利用子集概念即可求解．【解答】解：（1）由，解得，所以，又因为，所以，；（2）因为，显然，若，则，解得，所以实数的取值范围为．21．【答案】（1）①，②；（2），．（3），，．【分析】（1）①把代入求出集合，然后结合集合的并集可求；②结合集合的交集及补集运算可求；（2）根据已知条件，推出，即可列出不等式组，即可求解．（3），分是否为空集讨论，并取并集，即可求解．【解答】解：（1）当时，，，①，②因为或，所以；（2）因为集合为非空集合且，所以，又，，所以，解得，故实数的取值范围是，．（3），若时，则，解得，符合题意，若时，则，解得，综上所述，实数的取值范围是，，．22．【答案】（1），；（2），．【分析】（1）解指数不等式和一元二次不等式分别求出集合，，再根据集合的运算求解；（2）根据充分条件确定即可求解．【解答】解：（1）由，可得，所以，由解得或，所以或，，所以，．（2）因为“”是“”的充分条件，所以，由（2）知或，所以．所以的取值范围是，．23．【答案】（1），．（2）具有，9．（3）不存在，理由见解析．【分析】（1）根据定义可确定具有性质的集合中的元素个数和具体的元素；（2）对给定的集合，逐一验证，可检验集合是否具有性质，并求所要求的和；（3）对进行分类讨论，逐个验证是否符合该性质．【解答】解：（1）由题意可知表示集合有2个元素，且，所以，．（2）对于，1，，，0，，，1，，则，1，，1，，同理，0，，0，，1，，1，，而，1，，0，，同理，1，，1，，0，，1，，所以具有性质．且．（3）假设存在集合具有性质，易知集合中有4个元素且，1，2，3，．①若，则，0，0，，不符合4个元素，舍去；②若，则，0，0，，，1，0，，，0，1，，，0，0，，又，0，0，，1，0，，所以不满足，舍去；③若，则，1，0，，，0，1，，，0，0，，，1，1，，，1，0，，，0，1，，又，1，0，，0，1，，0，1，，1，0，，0，0，，1，1，，所以这3组每组至多只能有一个包含于，所以至多只有3个元素，矛盾，舍去；④若，则，1，1，，，1，0，，，0，1，，，1，1，，又，1，1，，1，0，，所以不满足，舍去；⑤若，则，1，1，，只有一个元素，舍去．综上，不存在具有性质的集合．24．【答案】（1），2，3，（符合要求即可）；（2）证明见解析．（3）证明见解析．【分析】（1）根据四元整数集定义写出即可；（2）假设可以划分成两个不相交的“有趣的”四元子集，再根据每个子集中均有两个偶数证明不成立即可；（3）假设，2，，可以划分为个两两不相交的“有趣的”四元子集，，，，再根据每个子集中均有两个偶数证明不成立即可．【解答】解：（1），2，3，（符合要求即可）；（2）证明：假设可以划分，，和一定是一个奇数一个偶数，，，，中至多两个偶数．则对于，2，3，4，5，6，7，的一种符合要求的划分，，，和，，，，每个四元子集中均有两个偶数．若两个集合分别为，4，，和，8，，，则或49，不存在，使得，8，，符合要求；若两个集合分别为，6，，和，8，，，则