专题03 等式性质与不等式性质（菁讲）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第12页（共12页）专题专题03等式性质与不等式性质

1．两个实数比较大小的方法作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0⇔a>b，,a－b＝0⇔a＝b，,a－b<0⇔a<b))(a，b∈R)．2．等式的性质性质1对称性：如果a＝b，那么b＝a；性质2传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；性质5可除性：如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).3．不等式的性质性质1对称性：a>b⇔b<a；性质2传递性：a>b，b>c⇒a>c；性质3可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；性质4可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；性质5同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；性质6同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；性质7同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．常用结论不等式的两类常用性质(1)倒数性质①a>b，ab>0⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；②a<b<0⇒eq\f(1,a)>eq\f(1,b)；③a>b>0,0<c<d⇒eq\f(a,c)>eq\f(b,d)；④0<a<x<b或a<x<b<0⇒eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).(2)有关分数的性质若a>b>0，m>0，则①真分数的性质eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)，eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)；②假分数的性质eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)，eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)．►考点01数(式)的大小比较▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．【例1】（2025春•秦淮区校级月考）已知，是非零实数，且，是任意实数，则A． B． C． D．【答案】【分析】应用特殊值法判断、、，作差法判断即可．【解答】解：当时，不等式不成立，错误．当，时，满足，但，错误．因为，而，所以，则，正确．当，，时，满足，但，错误．故选：．【例2】（2025•房山区一模）已知，，且，则A． B． C． D．【答案】【分析】举反例即可说明选项都错误，根据是增函数即可判断的正误．【解答】解：，，满足，不存在，错误；，错误；，错误．，是增函数，．故选：．【例3】（2024秋•西城区期末）已知，，且，下列不等式中一定成立的是A． B． C． D．【答案】【分析】举出反例检验选项，结合不等式性质检验选项．【解答】解：当，时，显然错误；当，时，显然错误；当，时，显然错误；由可得正确．故选：．【例4】（2024秋•固始县期末）已知，，则A． B． C． D．，的大小与有关【答案】【分析】利用作差法比较大小即可．【解答】解：由题意可得，当即或时，，当即时，，当即时，，故、的大小与有关．故选：．【例5】（2024秋•辽宁期末）已知，均为正实数，若，，则A． B． C． D．【答案】【分析】采用作差方法化简变形，利用题中条件比较出差值大小即可．【解答】解：，，由，均为正实数，有，当且仅当时取等号，所以．故选：．►考点02不等式的基本性质▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼判断不等式的常用方法(1)利用不等式的性质逐个验证．(2)利用特殊值法排除错误选项．(3)作差法．(4)构造函数，利用函数的单调性．【例6】（2025春•皇姑区校级期中）已知，，，则下列不等式中一定成立的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则【答案】【分析】利用特殊值法可判断错误，利用作差法计算可得正确，再由不等式性质可得错误．【解答】解：对于，当时，可知不成立，故错误；对于，因为，可得；所以，故正确；对于，由，可得，故错误；对于，，当时，，故错误．故选：．【例7】（2025春•杨浦区校级月考）如果，那么下列不等式中成立的是A． B． C． D．【答案】【分析】根据不等式的性质一一判断即可．【解答】解：对于：因为，所以，，故错误，正确；对于：因为，所以，所以，故错误；对于：因为，所以，故错误．故选：．【例8】（2025春•琼山区校级月考）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式A． B． C． D．【答案】【分析】加糖前糖的浓度，加入克糖之后糖的浓度，糖水变甜，表示糖的浓度变大，即．【解答】解：这一事实表示为一个不等式为．下面证明不等式成立：又，，，即，即．故选：．【例9】（2025•开封二模）设，，则的一个充分不必要条件是A． B． C． D．【答案】【分析】利用充分性和必要性的定义逐项判断即可．【解答】解：对于，当，时，满足，但是不符合，故充分性不成立，故错误；对于，，即，即，所以是的必要不充分条件，故错误；对于，，即，故是的充要条件，故错误；对于，，即，，故是的一个充分不必要条件，故正确．故选：．【例10】（2025•河北模拟）已知，，则的取值范围A．， B． C．， D．【答案】【分析】由不等式的同向可加性得到结果．【解答】解：因为，得，，所以，所以的取值范围为．故选：．►考点03不等式性质的综合应用▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点(1)必须严格运用不等式的性质．(2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．【例11】（2025•临汾二模）若，，则的范围是A．， B．， C．， D．，【答案】【分析】根据不等式的性质即可求解．【解答】解：由题意可知，，，故由不等式可加性可知，．故选：．【例12】（2025•玉溪二模）已知，，，则A． B． C． D．【答案】【分析】易得，再结合已知可得，由，得，即可比较，，利用作差法即可比较，，即可得解．【解答】解：由，得，，当且仅当时取等号，，且，，当时，，此时，与矛盾，，由，得，，当且仅当时取等号，由知，等号取不到，，由，可得，，所以，，，，，，，由，得，则，，，，又，，，，综上所述，．故选：．【例13】（2025•德州模拟）若实数，，满足，且，则的取值范围为A． B． C． D．【答案】【分析】将换成用，表示，从而将平方表示成，由，求出，进而求出范围．【解答】解：因为，，所以且，故且，所以，故，所以，所以．故选：．【例14】（2025•南宁模拟）若，，，则下列说法正确的是A．若，且，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则【答案】【分析】利用不等式的基本性质判断，利用举实例法判断．【解答】解：，当，时，满足，但，错误，，，，，正确，，，，正确，，且，，，，当时，则，错误，故选：．【例15】（2024•岳麓区校级模拟）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一顾客到店购买黄金，售货员先将砝码放在天平左盘中，取出黄金放在右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客