专题05 一元二次方程、不等式（优练）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题05一元二次方程、不等式

一．选择题（共10小题）1．（2025春•临泉县月考）不等式的解集为A．或 B．或 C． D．2．（2024秋•鹤山市期末）一元二次不等式的解集为A． B．C． D．3．（2024秋•吕梁期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值为A． B． C． D．4．（2024秋•金山区期末）当时，关于的不等式的解集为A． B． C． D．5．（2024秋•大兴区期末）关于的不等式的解集不可能是A． B．， C． D．，6．（2024秋•佛山期末）若关于的方程有两相异实根，，且，则实数的取值范围是A．，， B． C． D．7．（2024秋•固镇县期末）关于的不等式的解集中恰有1个整数，则实数的取值范围是A．，， B．，， C．，2， D．，，48．（2024秋•屯溪区期末）若关于的不等式在，上有解，则实数的最小值为A．9 B．5 C．6 D．9．（2024秋•宿迁期末）设，，为实数，不等式的解集是或，则的最大值为A． B． C． D．10．（2024秋•济南期末）若，，则实数的取值范围为A． B． C．，， D．，，二．多选题（共4小题）（多选）11．（2025•余姚市模拟）关于的一元二次不等式的解集为，则下列成立的是A． B． C． D．（多选）12．（2024秋•西峰区期末）关于的不等式的解集为的充分不必要条件有A． B． C． D．（多选）13．（2024秋•南昌县期末）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为（多选）14．（2024秋•日照期末）已知关于的不等式的解集为，则A． B． C．不等式的解集为 D．的最小值为6三．填空题（共4小题）15．（2025春•宝山区月考）已知不等式的解集为，则实数．16．（2025•南通模拟）已知二次不等式的解集为，，，则的取值范围是．17．（2024秋•许昌期末）若不等式对任意，都成立，则实数的取值范围为．18．（2024秋•广东期末）当关于的不等式对一切实数都成立时，的取值范围是．四．解答题（共6小题）19．（2024秋•朝阳期末）已知函数．（1）若关于的不等式的解集为，求，的值；（2）当时，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围．20．（2024秋•普宁市期末）已知不等式的解集为．（1）求实数，的值；（2）解关于的不等式：为常数，且21．（2024秋•西宁期末）已知关于的不等式．（1）若不等式的解集为，求的值；（2）若不等式的解集为，求的取值范围．22．（2024秋•渭滨区期末）已知二次函数．（1）当取何值时，不等式对一切实数都成立？（2）若在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围．23．（2025春•辽宁月考）已知函数．（1）求关于的一元二次不等式的解集；（2）若，，使得成立，求实数的取值范围．24．（2025•开福区开学）已知函数．（1）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围；（2）解关于的不等式．

一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BABCDCCBCD二．多选题（共4小题）题号11121314答案ABDACABACD一．选择题（共10小题）1．【答案】【分析】把不等式化为，求出解集即可．【解答】解：不等式可化为，即，解得或，所以不等式的解集为或．故选：．2．【答案】【分析】利用一元二次不等式的解法求解．【解答】解：一元二次不等式可化为：，即，解得，即不等式的解集为．故选：．3．【答案】【分析】利用一元二次不等式与一元二次方程的关系，借助韦达定理计算即可得．【解答】解：因为的解集为，所以关于的一元二次方程的两个根分别为，2，由根与系数的关系可得，，解得，，所以．故选：．4．【答案】【分析】确定二次项的系数符号和两根的大小关系，直接写出解集即可．【解答】解：时，，不等式可化为，因为，所以，解原不等式，得，所以原不等式的解集为．故选：．5．【答案】【分析】根据一元二次不等式的解集情况，判断即可．【解答】解：当，△时，则不等式的解集为，当，△时，则不等式的解集为，，，当，△时，则不等式的解集为，当，△时，则不等式的解集为，当，△时，则不等式的解集为，，综上所述，关于的不等式的解集不可能是，．故选：．6．【答案】【分析】根据两相异实根，，满足得到关于的不等式组，再解不等式组可得答案．【解答】解：根据题意，方程有两相异实根，，且，则，得，则的取值范围为．故选：．7．【答案】【分析】利用一元二次不等式的解法，解不等式，根据不等式的解集中恰有1个整数解，确定解集的取值范围，即可求解【解答】解：由，得，若，则不等式无解．若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为，则．若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为，则．综上，满足条件的的取值范围是，，．故选：．8．【答案】【分析】由已知先分离参数，结合存在性问题与最值关系的转化即可求解．【解答】解：由题意得有解，即有解，即，因为时，，当且仅当时取等号，故．故选：．9．【答案】【分析】结合二次不等式与二次方程的转化关系及方程的根与系数关系可得，，的关系，代入到所求式子，结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为不等式的解集是或，所以的根为1，3且，则，，即，，，则，当且仅当，即时取等号．故选：．10．【答案】【分析】分，和三种情况分类讨论，其中当时，利用判别式列不等式求解即可，最后求并集．【解答】解：当时，不等式为，即，显然在有解，符合题意；，命题“，”为真命题，当时，对于抛物线，开口向上，只需△，解得或，又，所以或，当时，对于抛物线，开口向下，显然在有解，符合题意；综上，实数的取值范围是或，即，，．故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】【分析】由题意可得，是方程的解，由韦达定理可得，的值，进而可得正确的结论．【解答】解：由题意可得，是方程的解，可得，，可得，即，且，所以可得，可得正确，不正确；故选：．12．【答案】【分析】先求充要条件，再利用充分不必要条件是充要条件的真子集，来作判断即可．【解答】解：由关于的不等式的解集为的充要条件为△，解得，由，得，，又由于，所以，是关于的不等式的解集为的充分不必要条件，故正确；而选项是充要条件，故错误；又因为，所以选项是必要不充分条件，故错误．故选：．13．【答案】【分析】利用二次不等式解与系数的关系得到，关于的表达式，结合基本不等式，逐一分析判断各选项即可得解．【解答】解：因为关于的不等式的解集为，所以，4是方程的两根，且，故正确；所以，解得，所以，即，则，解得，所以不等式的解集为，故正确；而，故错误；因为，，，所以，则，当且仅当，即或时，等号成立，与矛盾，所以取不到最小值，故错误．故选：．14．【答案】【分析】由一元二次不等式和一元二次函数的关系分析，由根与系数的关系分析，由不等式的解法分析，结合基本不等式的性质分析，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，不等式的解集为，对应二次函数开口向下，则，故正确；对于，若和4是的两个根，则，整理得，，则有，故错误；对于，不等式为，又由，则，解得，不等式的解集为，故正确；对于，，当且仅当时，等号成立，即的最小值为6，正确．故选：．三．填空题（共4小题）15．【答案】3．【分析】根据一元二次不等式以及一元二次方程之间的关系求解即可．【解答】解：因为不等式的解集为，所以的根为和3，可得：，解得，故．故答案为：3．16．【答案】．【分析】根据条件，利用一元二次不等式的解法及根与系数的关系，得，即可求解．【解答】解：因为二次不等式的解集为，，则的两根为，，所以，所以，即，整理得，等价于，解得或，所以实数的取值范围：．故答案为：．17．【答案】，．【分析】利用参变分离法将不等式化成，只需求函数在，上的最小值即得参数的取值范围．【解答】解：由不等式对任意，都成立，可得不等式对任意，都成立，当，时，根据二次函数的性质可得，故得，即实数的取值范围为，．故答案为：，．18．【答案】，．【分析】根据不等式恒成立对二次项系数的取值进行分类讨论，再由判别式可解得的取值范围．【解答】解：当时，不等式可化为，显然恒成立，当时，若不等式对一切实数都成立，需满足，且，即，综上可得，．故答案为：，．四．解答题（共6小题）19．【答案】（1），的值分别为，，或，．（2）．【分析】（1）根据不等式的解集得出一元二次方程的根，从而求得，值；（2）结合二次函数的性质可知，判别式△，解不等式可得．【解答】解：（1）若关于的不等式的解集为，则，1是方程的两根，所以，，解得，或，；（2）当时，，若在上恒成立，即的图象与轴至多有一个交点，则△，即，解得，故的取值范围是．20．【分析】（1）根据不等式的解集得出对应方程的两根，由根与系数的关系求出、的值．（2）不等式为，讨论和，写出对应不等式的解集．【解答】解：（1）因为不等式的解集为，所以1和2是方程的两根，由根与系数的关系知，，解得，．（2）不等式即为，由，则时，解不等式得，或；时，解不等式得，或；综上，时，不等式的解集为或；时，不等式的解集为或．21．【答案】（1）2；（2），．【分析】（1）由已知可得，2是方程的两根，然后利用韦达定理建立方程即可求解；（2）分，两种情况讨论，根据二次函数的性质建立不等式即可求解．【解答】解：（1）由已知可得，2是方程的两根，则由韦达定理可得，解得；（2）因为不等式的解集为，当时，不等式化为，恒成立，当时，要使不等式的解集为，只需，解得，综上，实数的范围为，．22．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据二次函数的性质以及不等式，建立不等式组，可得答案；（2）利用分类讨论思想，分二次函数存在一个或两个零点的情况，结合零点的定义以及零点存在性定理，可得答案．【解答】解：二次函数，（1）因为不等式对一切实数都成立，所以，解得．（2）若在区间内恰有一个零点，当在上仅有一个零点时，由△，解得，此时零点为，符合题意；当在上有两个零点时，△，即且，①当时，，则由解得另一个零点为，符合题意；②当（1）时，，则由解得另一个零点为，符合题意；③当（1）时，由零点存在定理，则（1），即，解得．综上，在区间内恰有一个零点时，实数的取值范围为．23．【答案】（1）当或时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当或时，原不等式的解集为，；（2）．【分析】（1）分类讨论求解含参数的一元二次不等式．（2）根据给定条件，分离参数，利用基本不等式求出最小值即可．【解答】解：（1）不等式，△，当时，△，原不等式无解；当或时，△，原不等式解为；当或时，△，由，解得，不等式的解为，综上可得，当或时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当或时，原不等式的解集为，；（2）当，时，，则，而，当且仅当，即时取等号，由，，使得成立，得，所以实数的取值范围是．24．【答案】（1）；（2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为