专题07 函数的单调性与最值（优练）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题07函数的单调性与最值

一．选择题（共10小题）1．（2025春•菏泽期中）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是A． B． C． D．2．（2025•拉萨模拟）函数的单调递增区间为A．， B． C． D．3．（2025•沧州模拟）已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则关于的不等式的解集为A．， B．， C．，， D．，，4．（2025春•安徽月考）已知函数，且在上单调递减，则A． B． C． D．5．（2025•安庆二模）函数的图象经过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则A．函数不具有奇偶性 B． C．函数的值域为 D．函数的单调递增区间为，6．（2025•新蔡县模拟）下列函数中，在区间上单调递增的是A． B． C． D．7．（2025•山西模拟）若函数在，上单调递减，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．，8．（2025•谷城县模拟）已知且是上的单调函数，则的取值范围是A．， B． C． D．9．（2025•西城区二模）已知函数若对于任意的，都有，那么实数的取值范围是A．， B．， C． D．，10．（2025•湖南一模）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为A．， B．， C． D．，二．多选题（共4小题）（多选）11．（2024秋•渭滨区期末）已知函数为上的单调函数，则实数的取值可以是A． B． C．2 D．3（多选）12．（2024秋•朝阳期末）设函数，则下列说法正确的是A．函数的定义域为 B．的单调递增区间为， C．的最小值为3 D．的图象关于对称（多选）13．（2025春•河南月考）已知，，函数在上单调递增，则下列说法正确的是A．（a）（b） B．当时， C．若，则的展开式中含项的系数为84 D．若（1），则（多选）14．（2024秋•广安期末）若函数，定义域为，下列结论正确的是A．的图象关于轴对称 B．，使 C．在，和上单调递减 D．的值域为三．填空题（共4小题）15．（2025春•黄埔区期中）若且，已知是上的单调函数，则实数的取值范围为．16．（2025春•河西区月考）若函数在上单调递减，则的取值范围是．17．（2025•武进区一模）若在，上单调递减，则实数的取值范围为．18．（2025•宁德模拟）设函数，则满足的的取值范围是．四．解答题（共6小题）19．（2025春•山西期中）已知函数．（1）求的定义域；（2）研究函数的单调性；（3）若（3），求实数的取值范围．20．（2024秋•安康期末）已知幂函数的定义域为，．（1）求的值；（2）判断在，上的单调性，并用定义法进行证明．21．（2024秋•吕梁期末）已知函数．（1）求函数的定义域；（2）判断函数的单调性，并用定义证明；（3）解不等式．22．（2025•安徽开学）已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若，恒成立，求的取值范围．23．（2024秋•荔城区期末）已知函数是定义在上的奇函数．（1）求实数的值；（2）判断函数的单调性并证明；（3）求函数的值域．24．（2025春•清远期中）已知函数．（1）判断的奇偶性并说明理由；（2）判断在，上的单调性并加以证明．

一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CBCCDCCCBC二．多选题（共4小题）题号11121314答案ABABDACDAC一．选择题（共10小题）1．【答案】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，令，则，所以函数为偶函数，当时，在上单调递增，故错误，对于，令，则，所以函数为奇函数，故错误，对于，令，则，则函数为偶函数，当时，，，则函数在上单调递减，故正确，对于，令，则，故函数不是偶函数，故错误．故选：．2．【答案】【分析】根据题意，求出函数的定义域，进而由复合函数单调性的判断方法分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数，则有，解可得或，即函数的定义域为，，，在区间，上，为减函数且，为减函数，此时为减函数，在区间，上，为增函数且，为增函数，此时为增函数，故函数的递增区间为，．故选：．3．【答案】【分析】根据题意，分析的对称性和函数值的范围，由此可得原不等式等价于，解可得答案．【解答】解：根据题意，函数的定义域为，且为奇函数，则的图象关于点对称，且（1），当时，，易得，又由的图象关于点对称，则当时，，若，必有，解可得或，即不等式的解集为，，．故选：．4．【答案】【分析】易得为偶函数，再根据在上单调递减，得到在上单调递增判断．【解答】解：根据题意，函数，由，解可得，即函数的定义域为，，，又由，则为偶函数，又在上单调递减，则在上单调递增，，易得，又，则，又在上单调递增，则有．故选：．5．【答案】【分析】根据条件和指数函数的性质得出，，然后利用函数的图像与性质逐一判断即可．【解答】解：根据题意，函数，其定义域为，有，故函数为偶函数，错误；由函数的图象过原点，有，即，所以，由于，的图象无限接近直线但又不与该直线相交，故，且，故，于是，错误；由上面的分析得出函数，显然的单调递增区间为，，故正确．故选：．6．【答案】【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断，举反例排除即可．【解答】解：对于，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故错误；对于，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故错误；对于，因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递增，故正确；对于，因为，（1），（2），显然在上不单调，错误．故选：．7．【答案】【分析】根据函数的性质即可求解．【解答】解：对函数求导，得，因为在，上单调递减，所以在，上恒成立，由于分母，因此分子在，上恒成立，即恒成立，在，上的最大值为2，故，验证时，，在上，在处（2）满足单调递减．故选：．8．【答案】【分析】根据题意，由二次函数的性质可得在上的单调增函数，由此可得，解可得答案．【解答】解：根据题意，函数为开口向下的二次函数，则在上只能递增，故在上的单调增函数，则有，解可得，即的取值范围为，．故选：．9．【答案】【分析】根据题意，结合分段函数的解析式，对时、时以及时恒成立时的范围进行求解，再取交集，可得的取值范围．【解答】解：由已知，对于任意的，都有，①当时，，，不等式化为，整理得，即在时恒成立，所以，解得；②当时，，，则无论取何值，此时恒有；③当时，，所以，，不等式化为，整理得，若，则在，上递减，故，解得，若，则在，上递减，，上递增，故，解得，若，则在，上递增，故，解得，所以当时，解得；综上，的取值范围为，．故选：．10．【答案】【分析】根据指数型复合函数单调性的求法可得参数范围．【解答】解：由函数的定义域为，，，设，则，又单调递增，当时，，，无单调性，不成立；当时，在和上单调递增，即在和上单调递增，所以，，，则，即；当时，在和上单调递减，即在和上单调递减，不成立；综上所述．故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】【分析】根据题意建立关于的不等式组，解出即可．【解答】解：由题易知在上单调递减，则解得．故选：．12．【答案】【分析】根据函数定义域判断；根据复合函数单调性以及二次函数单调性求单调区间和函数的最小值即可判断、；根据函数的对称性判断．【解答】解：易知函数的定义域为，选项正确；由与复合，而为单调递增函数，所以函数的单调递减区间为单调递减区间，函数的单调递增区间为单调递增区间，，选项正确；由选项可知，故选项错误；因为，所以的图象关于对称．故选项正确．故选：．13．【答案】【分析】求导通过函数在单调递增，得到恒成立，进而说明，．可判断，再通过单调性，当时，（1），可判断，对于，由二项式定理通项公式可判断，对于，由函数的对称性可判断．【解答】解：因为在上单调递增，由题意得恒成立且不恒为0，故，．对于，由知（a）（b），故正确；对于，当时，（1），当时，存在使得成立，与选项矛盾，故错误；对于选项，若，有，其展开式的第六项，故正确；对于，由（1），解得，此时，易得，即函数的图象关于点中心对称，故，故正确．故选：．14．【答案】【分析】由偶函数的定义可判断；令，解方程可判断；化简函数，可得在，的单调性，可判断；求得在，的值域，可判断．【解答】解：函数，，即，且，可得，且，关于原点对称，，可得为偶函数，即有的图象关于轴对称，故正确；若，即，化为，解得，舍去，故错误；当时，在，，，递减，故正确；当且时，，，，由偶函数的性质可得的值域为，，，故错误．故选：．三．填空题（共4小题）15．【答案】，．【分析】根据题意，由的单调性可得在上一定为增函数，由复合函数单调性以及函数单调性的定义可得关于的不等式，解可得答案．【解答】解：根据题意，已知是上的单调函数，由于为增函数，则在上一定为增函数，故在上为增函数，必有，解可得，①，又由在上为增函数，则有，又由，则有，解可得，②，综合可得：，即的取值范围为，．故答案为：，．16．【答案】，．【分析】由二次函数的单调性和函数的定义域要求可求得的取值范围．【解答】解：因为在上单调递减，所以且在上恒成立，则且，解得，即的取值范围是，．故答案为：，．17．【答案】．【分析】根据题意得知，不等式在，上恒成立，由参变量分离法得出，求出函数，在区间，上的最小值，即可得出实数的取值范围．【解答】解：题意等价于在，上恒成立，所以在，上恒成立，所以在，上恒成立，令，则，当且仅当，即时等号成立，所以，即实数的取值范围为．故答案为：．18．【答案】．【分析】先求得函数定义域，然后分与讨论，结合对数函数的单调性代入计算，即可得到结果．【解答】解：由可得，则，解得，当时，，，由可得，即，无解；当时，，，由可得，即，即，解得，又，所以，即不等式的解集为．故答案为：．四．解答题（共6小题）19．【答案】（1）或；（2）在上递减，在上递增；（3）或．【分析】（1）根据题意，由对数函数的性质解不等式，可得答案；（2）根据题意，由复合函数单调性的判断方法分析可得答案；（3）根据题意，结合函数的定义域和单调性，分析可得，解可得答案．【解答】解：（1）根据题意，．有，解可得或，即函数的定义域为或；（2）根据题意，设，则，在区间上，为减函数，而递增，则在上递减，在区间上，为增函数，而递增，则在上递增，故在上递减，在上递增；（3）根据题意，函数的定义域为或，且在上递增，若（3），而，则有，即或，解可得或，即的取值范围为或．20．【答案】（1）；（2）在，上单调递增，证明见解析．【分析】（1）由已知可得，求解结合定义域可得，可求；（2）在，上单调递增，利用单调性的定义证明即可．【解答】解：（1）根据题意，若函数是幂函数，则有，解得或，当，幂函数的定义域为，，符合题意；当，幂函数的定义域为，不符合题意；所以，此时．（2）在，上单调递增，证明如下：由（1）可得，设，有，又由，则有，所以，且，所以，故在，上单调递增．21．【答案】（1）；（2）是单调递减函数，证明见解析；（3）或．【分析】（1）根据根式以及分式的性质即可求解，（2）根据单调性的定义即可求解，（3）根据单调性以及定义域，列不等式求解．【解答】解：（1）要使函数有意义，则且，即，所以函数定义域为；（2）是单调递减函数．证明如下：设，，且，则．因为，所以，所以．所以，即．所以是单调递减函数．（3）函数的定义域为且单调递减，所以由，得，解得或．所以不等式的解集为或．22．【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）．【分析】（1）根据复合函数的单调性，即可求解；（2）根据不等式恒成立，转化为求函数的最值，即可求解．【解答】解：（1）当时，，令，则开口向下，对称轴为，所以其单调递增区间为，单调递减区间为．又为单调递增函数，由复合函数的单调性可知：的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）因为恒成立，即恒成立，所以，即恒成立，所以△，解得．所以的取值范围为．23．【答案】（1）；（2）在上单调递增，证明见解答；（3）．【分析】（1）由定义在上的奇函数可得，即可求解的值；（2）判断在上单调递增，利用定义法即可证明单调性；（3）由指数函数的性质及不等式的性质即可求解的值域．【解