专题08 函数的奇偶性、周期性（优练）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题08函数的奇偶性、周期性

一．选择题（共10小题）1．（2025•河池二模）设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增．若实数满足（2），则的取值范围是A． B． C．或 D．2．（2025•银川三模）已知函数，，，是偶函数，则不等式的解集为A． B． C．，， D．3．（2025•浦东新区模拟）设函数是奇函数．若函数，（4），则A．27 B．28 C．29 D．304．（2025•浙江模拟）已知函数为奇函数，则（a）A． B． C． D．25．（2025•广州模拟）若函数为偶函数，则实数A．1 B． C． D．6．（2025春•番禺区期中）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则等于A．2 B．6 C． D．07．（2025春•河南月考）已知函数，且，则A． B． C．0 D．8．（2025春•许昌期中）设是定义域为的奇函数，且．若，则A． B． C． D．9．（2025•福州模拟）已知函数的定义域为，，且，，则下列结论中一定正确的是A． B． C． D．10．（2025•黑龙江模拟）函数与都为奇函数，且对，都有，则（1）（2）A．2525 B．2526 C．5049 D．5050二．多选题（共4小题）（多选）11．（2025•毕节市模拟）已知函数满足对任意的，，都有，且．下列结论正确的是A． B．是偶函数 C．若（2），则（4） D．若（1），则4是的一个周期（多选）12．（2025•湖南模拟）若函数满足：对任意，，恒有，则称函数为“类余弦型”函数．已知函数为“类余弦型”，若，且对任意非零实数，．则下列结论正确的是A． B．若，则 C．函数为偶函数 D．若有理数，满足，则（多选）13．（2025•信阳二模）已知函数的定义域和值域均为，，对于任意非零实数、，，函数满足：，且在上单调递减，（1），则下列结论正确的是A． B． C．为奇函数 D．在定义域内单调递减（多选）14．（2025•邵阳模拟）已知函数的定义域为，且，，当，时，单调递减，则下列说法正确的是A．函数的图象关于直线对称 B．函数为奇函数 C． D．三．填空题（共4小题）15．（2025•吉林四模）若函数是定义域为，的偶函数，则．16．（2025•北京模拟）已知为奇函数，则实数的值是．17．（2025•遵义模拟）已知函数是偶函数，且当时，，则不等式的解集为．（用区间表示）18．（2025•湖北三模）已知奇函数在时的图象如图所示，则不等式的解集．四．解答题（共6小题）19．（2025•江苏三模）已知函数．（1）讨论的奇偶性；（2）若，不等式恒成立，求的取值范围．20．（2024秋•深圳期末）已知函数是定义在，上的奇函数，且（1）．（1）求，的值：（2）试判断函数的单调性，并证明你的结论；（3）求使成立的实数的取值范围．21．（2025春•浙江期中）已知为奇函数，且定义域为，．（1）求的值，判断的单调性，并用定义法证明；（2）若，求的取值范围；（3）若存在两个不相等的实数，，，使，且．求实数的取值范围．22．（2024秋•包河区期末）已知定义域为的函数是奇函数．（1）求实数的值；（2）判断函数的单调性，并证明；（3）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．23．（2025春•宁波期中）已知是定义在上的函数，对，都有，且满足．（1）判断函数的奇偶性，并证明之；（2）证明：；（3）求（1）（2）的值．24．（2025春•温州期中）已知函数．（1）若，求（a）的值；（2）根据函数单调性的定义证明函数在上单调递增；（3）若存在，，使得不等式成立，求实数的取值范围．

一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CDBCCCCBBD二．多选题（共4小题）题号11121314答案ABDACDACBC一．选择题（共10小题）1．【答案】【分析】根据偶函数可将不等式（2）转化为（2），再结合函数在上单调递增的性质得到关于的绝对值不等式，最后求解绝对值不等式得出的取值范围．【解答】解：由于是偶函数，则恒成立，不等式（2）可以转化为（2）．函数在上单调递增，根据偶函数对称性可知，在上单调递减，所以，解得或．故选：．2．【答案】【分析】先利用函数的奇偶性求参数，再求导函数分类求出函数的单调性，再利用函数的单调性解不等式即可．【解答】解：因为为偶函数，所以（1），即，即．因为，所以，，，即（1）．当时，，当时，，，所以，单调递增；当时，，，所以，单调递增，综上，在上单调递增．由（1），即得（1），得，解得．故选：．3．【答案】【分析】根据题意，由奇函数的性质可得（4），由此求出的值，进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，函数是奇函数，则（4），又由（4），则，则．故选：．4．【答案】【分析】根据题意，假设，结合函数的解析式和奇偶性可得恒成立，变形可得的值，结合函数的解析式计算可得答案．【解答】解：根据题意，函数为奇函数，当时，有，，则有恒成立，必有，故（a）．故选：．5．【答案】【分析】根据题意，求出的表达式，由函数奇偶性的定义，分析可得关于的恒等式，分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数，则，函数为偶函数，则，即，变形可得：，必有．故选：．6．【答案】【分析】利用奇函数的性质可求得的值．【解答】解：根据题意，当时，，则（2），又因为函数是定义在上的奇函数，则（2）．故选：．7．【答案】【分析】计算得即可得到．【解答】解：因为，，又，所以，又，所以．故选：．8．【答案】【分析】由函数奇偶性与已知关系，证明是周期函数，利用函数周期性与奇偶性结合已知条件，求函数值即可．【解答】解：因为是定义域为的奇函数，所以，又，则，则，故是以2为周期的周期函数，由，则．故选：．9．【答案】【分析】根据抽象函数的性质即可求解．【解答】解：由题，，设（1），（2），则（3），（4），（5），（6），（7）（1），所以函数的周期为6，故（5），（1），（6），（4），由，则，即，由，则，即，所以，可得，无法确定，所以（2），无法判断，综上所述，．故选：．10．【答案】【分析】根据题意，可得，结合，可得，利用等差数列求和公式，即可求得答案．【解答】解：因为与都为奇函数，则，，又因为，所以，所以，即，所以，即，所以，即，又，（1），得（1），所以（2），（3）（1），，，所以．故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】【分析】根据赋值法及抽象函数的奇偶性、周期性一一判定即可．【解答】解：函数满足对任意的，，都有，令，则，因为，所以，故正确；令，则，恒成立，所以函数为偶函数，故正确；（2），令，则（4）（2）（2）（4），故错误；（1），令，则（1），所以，，则为周期函数且4为其一个周期，故正确．故选：．12．【答案】【分析】对于，根据条件，令，，即可求解；对于，令，结合选项中结果，即可求解；对于，令，得到，即可求解；对于，令，证明出，即可说明对任意、且，有，然后设，，、是非负整数，、为正整数，利用偶函数和前面的结论，即可求解．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，对任意，，恒有，不妨设，，则有（1）（1）（1），即（1）（1），又因为对任意非零实数，，所以，故正确，对于，令，得（2）（1）（1），由选项知，又，，得到，故错误，对于，令，得到，又，得到，故正确，对于，因为时，，则，所以，令，即对任意的正整数有，则，所以，对于任意正整数，成立，对任意的、且，则有成立，、为有理数，所以可设，，其中、为非负整数，、为正整数，则，，令，，，则、为正整数，，，所以，，即，由选项知，函数为偶函数，，，，故正确，故选：．13．【答案】【分析】利用对恒等式赋值来得到的值，通过赋值得到递推关系求等比数列的和，通过赋值可得到奇函数恒等式，由于定义域是有断点，所以不能确定在定义域内是否单调．【解答】解：对于任意非零实数、，，函数满足：，且在上单调递减，（1），对于，令，则，因，故，故正确；对于，令，则，则，即，故是以为首项，2为公比的等比数列，于是，故错误；对于，由题意，函数的定义域为，，，令，则（1），将、都取成，可得：（2），将（2）式代入（1）式，可得，化简可得，即为奇函数，故正确．对于，在上单调递减且为奇函数，可得在上单调递减，但不能判断在定义域上的单调性，例如，故错误．故选：．14．【答案】【分析】结合已知函数的奇偶性及对称性进行转化，求出函数的周期，然后结合函数周期性，对称性及奇偶性检验各选项即可求解．【解答】解：，，关于点中心对称，故错误；令，，又，，故函数为奇函数，故正确；，即为偶函数，，，，是周期为4的函数，令，得（1），令，得（1）（3），令，得（2）（4）．（1）（2）（3）（4）（1）（1），故正确；，而，故，又当，时，单调递减，且，，关于点中心对称，在区间上单调递减，，即，故错误．故选：．三．填空题（共4小题）15．【答案】．【分析】整理可得，根据偶函数性质列式求解即可得结果．【解答】解：因为，可知，，均为偶函数，为奇函数，若函数是定义域为，的偶函数，则，可得，，所以．故答案为：．16．【答案】．【分析】根据题意，由奇函数的定义可得，变形分析求出的值，验证即可得答案．【解答】解：根据题意，设，则，若为奇函数，则，必有，变形可得或0，当时，，其定义域为或，又由，为奇函数，符合题意，当时，，其定义域为，不是奇函数，不符合题意，故．故答案为：．17．【答案】，．【分析】根据题意，由函数的解析式分析在，上的解集，结合偶函数的性质，分析可得答案．【解答】解：根据题意，当时，，即，当时，不等式即或，解可得，又由函数是偶函数，当时，不等式的解集为，综合可得：不等式的解集为，．故答案为：，．18．【分析】由是奇函数得函数图象关于原点对称，由可得与符号相反，根据奇函数的对称性可求得结果【解答】解：①当时，，结合函数的图象可得，，（2）时，，根据奇函数的图象关于原点对称可得，，不等式的解集为，，．故答案为：，，．四．解答题（共6小题）19．【答案】（1）当时，是上的偶函数；当时，是上的奇函数；当且时，既不是奇函数也不是偶函数；（2）．【分析】（1）利用函数奇偶性定义，分类讨论即可；（2）确定函数的单调性，结合奇函数的性质求解不等式即可．【解答】解：（1）函数的定义域为，且，当时，，即恒成立，所以，即，此时，经检验是上的奇函数；当时，，即恒成立，所以，即，此时，经检验是上的偶函数；当且时，，此时既不是奇函数也不是偶函数；综上，当时，是上的偶函数；当时，是上的奇函数；当且时，既不是奇函数也不是偶函数；（2）函数，由，得，而，，所以，，则是上的奇函数且是上的增函数，不等式，即，则，解，得或；解，即，得．于是，所以的取值范围是．20．【答案】（1），；（2）在，上为增函数，证明见解答；（3），．【分析】（1）由奇函数的性质可得，结合（1），解方程可得，的值；（2）在，上为增函数，再由单调性的定义证明，注意运用因式分解和不等式的性质；（3）由奇函数在，上为增函数，可将不等式的两边的“”去掉，解不等式可得所求取值范围．【解答】解：（1）函数是定义在，上的奇函数，且（1），可得即；又，则，所以，；（2）在，上为增函数．证明：设，则，由，可得，，则，即，所以在，上为增函数；（3）由为奇函数，可得即为，由在，上为增函数，可得，解得，即的取值范围是，．21．【答案】（1），证明见解答；（2）；（3）．【分析】（1）结合奇函数的定义可求，任取，，且，利用作差法比较与的大小即可判断；（2）结合函数的单调性即可求解；（3）由奇函数定义求出，由存在性问题进行转化，然后结合二次方程根的分布情况即可求解．【解答】解：（1）因为为奇函数，定义域为，所以，得，在定义域上为增函数，证明如下：任取，，且，，则，所以，在定义域上为增函数．（2）由（1）可得，解得，故的范围为；（3）因为，所以，则，因为，由可得，即，令，，则，存在实数，使得，只需（2）或，即或，解得，故的范围为．22．【答案】（1）；（2）单调递减，详见解答过程；（3）．【分析】（1）结合奇函数定义即可求解；（2）任取、，且，利用作差法比较与的大小即可判断；（3）结合函数的单调性及奇偶性对已知不等式进行转化，然后结合恒成立与最值关系的转化即可求解．【解答】解：定义域为的函数是奇函数，（1）由题意可得，，可得，解得；故在上是递减函数；（2）单调递减，证明如下：证明：任取、，且，则，则，即，故是定义在上的递减函数；（3），，又是上的奇函数，，是上的递减函数，，对任意的恒成立，设，且，即，，，，当且仅当即时等号成立，，故的范围为．23．【答案】（1）是定义在的偶函数，理由见解答；（2）证明见解答；（3）4050．【分析】（1）根据赋值法，偶函数的定义，即可求解；（2）根据赋值法，点对称的结论，即可证明；（3）根据周期性，，即可求解．【解答】解：（1）令，得（2）；再令得，所以是定义在的偶函数；（2）证明：令，得；再令，得，两式相加得，这里不恒为零，所以，即，所以是的一个对称中心，所以，又，所以，所以，所以的周期为8，即；（3）由（2）知（3）（1）；（4）；令，得（3）；令，，得（3）（1）（4）（3）（3），得到，所以（2