专题09 函数的对称性（优练）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题09函数的对称性

一．选择题（共10小题）1．（2024秋•蚌埠期末）若函数是奇函数，则下列各点一定是函数图象对称中心的是A． B． C． D．2．（2023秋•宁波期末）定义在上的函数的图象关于点对称，则下列式子一定成立的是A． B．（1） C．（2） D．（1）（3）3．（2020秋•凉州区月考）已知是偶函数，则函数图象的对称轴是A． B． C． D．4．（2020春•东安区月考）已知定义在上的函数满足，，且当，时，，则A．0 B．1 C． D．25．（2024秋•开封期末）已知函数的图象关于点成中心对称图形，当时，，则时，A． B． C． D．6．（2024秋•皇姑区期中）已知函数的三个零点分别为1，，，若函数满足，则（3）的取值范围为A．， B． C． D．，7．（2020秋•无锡期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．则函数图象的对称中心为A． B． C． D．8．（2024•南充模拟）已知函数，则函数的图象A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称9．（2025•青羊区开学）已知函数，则A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称10．（2024春•渭滨区期末）已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，，，，，，则A． B． C． D．二．多选题（共4小题）（多选）11．（2025•西峰区二模）函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且满足，函数的图象关于点对称，则A．的图象关于点对称 B．8是的一个周期 C．一定存在零点 D．（多选）12．（2025•仁寿县三模）已知函数是上的奇函数，对于任意，都有成立，当，时，，给出下列结论，其中正确的是A．（2） B．点是函数的图象的一个对称中心 C．函数在，上单调递增 D．函数在，上有3个零点（多选）13．（2025•南岗区一模）已知函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的为A．4是的一个周期 B．是偶函数 C． D．（多选）14．（2024秋•东莞市期末）我们知道：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，类比以上结论也可得到函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件．已知函数的定义域为，其图象关于直线成轴对称图形，且为奇函数，当时，，则下列说法中正确的是A．的图象关于点成中心对称图形 B．为偶函数 C．的最小正周期为12 D．当时，三．填空题（共4小题）15．（2025春•惠山区月考）定义在上的函数和的图象关于轴对称，且函数是奇函数，则函数图象的对称中心为．16．（2024秋•济宁期中）已知函数，，则的对称中心为；若，则数列的通项公式为．17．（2025•项城市模拟）若函数的图象关于直线对称，则．18．（2024秋•辽宁期中）定义在上的函数满足，且关于对称，当时，，则．四．解答题（共6小题）19．（2024秋•佛山期末）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，若函数．（1）求曲线的对称中心；（2）判断在区间上的单调性，并用定义证明．20．（2024秋•余江区期中）已知函数．（1）简述图象可由的图象经过怎样平移得到；（2）证明：的图象是中心对称图形，并计算的值．21．（2024秋•新吴区期中）有同学发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．运用该结论解决以下问题：（1）直接写出函数的对称中心；（2）证明：函数的对称中心为；（3）若函数的对称中心为，求实数、的值．22．（2024秋•烟台期中）若定义在上的函数满足．（1）求函数的解析式；（2）用定义法证明：在区间上单调递减；（3）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．利用上述结论，求函数图象的对称中心．（注23．（2024秋•广东月考）我们有如下结论：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．（1）判断：的图象是否关于点成中心对称图形？（2）已知是定义域为的初等函数，若，证明：的图象关于点成中心对称图形．24．（2024秋•成都期中）经研究，函数为奇函数的充要条件是函数图象的对称中心为点，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，由得函数关于点成中心对称图形的充要条件是．（1）已知函数，且（5），求的值；（2）证明函数图象的对称中心为；（3）已知函数，求（8）（9）的值．

一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BCCBACAACC二．多选题（共4小题）题号11121314答案ACDABABDBCD一．选择题（共10小题）1．【答案】【分析】利用函数的图象变换求解．【解答】解：因为函数是奇函数，即关于中心对称，又函数的图象可将的图象向上平移2个单位，向左平移1个单位，得到的，所以函数图象对称中心的是．故选：．2．【答案】【分析】由已知结合函数的对称性检验各选项即可判断．【解答】解：因为函数的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，所以，结合选项可知，（2）一定成立．故选：．3．【答案】【分析】由偶函数的图象关于轴对称，得到的对称轴为，然后由图象变换，即可得到答案．【解答】解：因为是偶函数，则的对称轴为，将函数的图象向右平移一个单位可得的图象，所以函数图象的对称轴是．故选：．4．【分析】根据函数奇偶性和条件求出函数是周期为2的周期函数，利用函数周期性和奇偶性的关系进行转化即可得到结论．【解答】解：，，，即有，即函数是周期为2的函数，当，时，，（1），故选：．5．【答案】【分析】利用对称性有，结合有及已知区间的函数解析式求时表达式即可．【解答】解：当时，，则时，，故，又函数的图象关于点成中心对称图形，则．即当时，．故选：．6．【答案】【分析】根据题设得函数关于对称，进而有、，且，结合，得到，是的两个零点，根据二次函数性质求得、，即可求（3）的范围．【解答】解：已知函数的三个零点分别为1，，，若函数满足，即，故函数关于对称，所以（1），则，故，令，且开口向上，对称轴为，由题意，且，它们也是的两个零点，所以，且，故，则，所以（3），．故选：．7．【答案】【分析】根据题意，设函数图象的对称中心为，据此可得为奇函数，结合奇函数的性质可得，解可得、的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，设函数图象的对称中心为，则为奇函数，即为奇函数，必有，解可得，，则的对称中心为，故选：．8．【答案】【分析】判断函数的奇偶性，利用函数的图象的变换，判断选项即可．【解答】解：为奇函数，其对称中心为，函数的图象是由函数的图象向右平移1单位，再向上平移1单位得到的，的图象的对称中心为．故选：．9．【答案】【分析】利用奇偶函数的对称性逐项分析可得答案．【解答】解：假设函数关于点对称，那么应满足．，，显然，所以不关于点对称，选项错误；假设函数关于点对称，那么应满足．，，显然，所以不关于点对称，选项错误．若函数关于直线对称，则．，，所以，故关于直线对称，选项正确．若函数关于直线对称，则．，，显然，所以不关于直线对称，选项错误．故选：．10．【答案】【分析】首先判断两个函数的对称性，再判断交点的对称性，最后利用对称性求和．【解答】解：，关于点对称，由函数，得函数关于点对称，与的交点也关于点对称，．故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】【分析】根据的图象关于点对称得的图象关于点对称，进而构造函数，判断为偶函数，且关于对称，进一步得到的单调性，进而结合函数的对称性及周期性可求解，由零点存在性定理即可判断．【解答】解：对于，由于的图象关于点对称，所以，故，所以的图象关于点对称，故正确，由得，令，，所以，故为偶函数，又的图象关于点对称，所以，又，从而，所以的图象关于对称，对于，在中，令，（1），所以（1），（2）（5）（5），由于在区间上的图象是一条连续不断的曲线，由零点存在性定理可得在有零点，故正确对于，由于的图象关于对称以及得，又，所以，所以是周期为8的周期函数，（2），故正确，对于，（1），（9）（6）（2）（1），所以8不是的周期，故选：．12．【答案】【分析】由，赋值，可得（2），故正确；进而可得是对称中心，故正确；作出函数图象，可得不正确．【解答】解：在中，令，得（2），又函数是上的奇函数，所以（2），故选项正确；因为，故是一个周期为4的奇函数，因为是的对称中心，所以也是函数的图象的一个对称中心，故选项正确；作出函数的部分图象如图所示，易知函数在，上不具单调性，故选项不正确；函数在，上有7个零点，故选项不正确．故选：．13．【答案】【分析】由已知可得关于点对称，关于直线对称，结合对称轴和对称中心可得周期，即可判断；根据函数奇偶性的定义即可判断；由，令为即可判断；结合函数的周期性即可判断．【解答】解：已知函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称，所以，即，用代换上式中的可得，所以关于点对称，又因为函数的图象关于直线对称，所以函数的图象关于直线对称，即，又，所以，所以，所以，所以，所以函数的周期为4，故正确；因为，所以，因为函数的图象关于直线对称，所以，所以，所以是偶函数，故正确；因为关于点对称，（2）（4），因为，令可得（1）（3），又关于直线对称，所以（1）（3），所以（1）（2）（3）（4），所以，故不正确，因为，所以，即，故正确．故选：．14．【答案】【分析】由已知结合函数的对称性进行转转化可求出函数的周期，然后结合周期性，奇偶性及对称性检验各选项即可判断．【解答】解：因为为奇函数，图象关于原点对称，故的图象关于对称，错误；由的图象关于对称可得，的图象关于轴对称，即为偶函数，正确；函数关于直线成轴对称，关于对称，所以最小正周期为，正确；因为时，，当时，，所以，当时，，，因为，所以，正确．故选：．三．填空题（共4小题）15．【答案】．【分析】结合奇函数的对称性及函数图象的平移可求出的对称中心，进而可求的对称中心．【解答】解：因为函数是奇函数，所以的图象关于对称，函数和的图象关于轴对称，所以的图象关于对称．故答案为：．16．【答案】；．【分析】利用中心对称的定义求出图象的对称中心，利用函数的对称性及倒序相加法求出通项．【解答】解：函数的定义域为，，由，的对称中心为，将的图象向右平移一个单位，再向上平移2个单位，得到的图象，因此函数图象的对称中心是；则有，当时，，，，于是，即，所以数列的通项公式为．故答案为：；17．【答案】2．【分析】由已知可得对恒成立，进而得，计算可求．【解答】解：因为函数的图象关于直线对称，所以对恒成立，所以，恒成立，即，恒成立，恒成立恒成立，所以．故答案为：2．18．【答案】．【分析】由已知先判断函数的奇偶性及对称性，进而可求，及周期，结合周期性即可求解．【解答】解：由得函数的图象关于直线对称，由关于对称得函数的图象关于点对称，即函数为奇函数，所以，即，所以当时，，由题意得，，所以，所以，所以，所以函数的周期为4，所以（2），（3）（1），（4）（2），则（1）（2）（3）（4），则（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）．故答案为：．四．解答题（共6小题）19．【答案】（1）；（2）单调递减，证明见解析．【分析】（1）首先设函数，判断函数是奇函数，即可判断函数的对称中心；（2）根据函数单调性的定义，结合作差法，即可证明．【解答】解：（1）根据题意，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，设，则函数的定义域为，其定义域关于原点对称，且，所以为奇函数，所以函数的对称中心为．（2）函数在上单调递减．证明：，，且，则，因为，，所以，，，，，又，所以，所以，即，所以函数在上单调递减．20．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析，4048．【分析】（1）变形函数，再利用平移变换求出变换过程．（2）利用中心对称的定义计算推理得证；再利用对称性求出函数值及和．【解答】解：（1）由于，则的图象先向左平移一个长度单位，再向上平移一个长度单位得到的图象．（2）因为，所以的图象关于中心对称；则，，，，所以．21．【答案】（1）．（2）证明见解析．（3），或．【分析】（1）函数的对称中心为，进而验证用函数为奇函数即可；（2）记，进而证明为奇函数即可得证；（3）令，进而由可求实数、的值．【解答】解：（1）因为函数，所以函数的定义域，，所以是奇函数，所以函数的对称中心为．（2）证明：记，则定义域为，即定义域关于原点对称，又，所以为奇函数，所以的对称中心为．（3），令，因为若函数的对称中心为，所以是奇函数，所以，即，整理得，得，解得，或．22．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．【分析】（1）根据给定条件，利用方程组法求出的解析式；（2）利用单调递减函数的定义，计算推理得证；（3）由（1）结合给定的结论，利用奇函数的性质计算出对称中心．【解答】解：（1）由，得，联立消去得：，即；（2）证明：任取，且，则，由，得，，，，因此，所以函数在区间上单调递减；（3）设函数图象的对称中心为，则函数为奇函数，于是，，而，因此，对任意恒成立，则，且，解得，，所以函数图象的对称中心为．23．【答案】（1）成中心对称图形；（2）证明见解析．【分析】（1）整理可得，根据题目中的条件，结合奇偶性的定义，可得答案；（2）设，根据题目中的条件，结合奇偶性的定义分析证明．【解答】解：（1）因为，所以，因为为奇函数，即为奇函数，故函数的图象关于点成中心对称图形；（2）证明：因为，所以，令，因为是定义域为的初等函