专题15 导数与函数的单调性（优练）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题15导数与函数的单调性

一．选择题（共10小题）1．（2025春•淄博期中）已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是A． B． C． D．2．（2025春•松滋市期中）已知函数在上单调递增，则实数的最小值是A． B．1 C． D．3．（2025春•雁塔区月考）已知函数的导函数为，的图象如图所示，则A． B． C． D．4．（2025•湖北模拟）下列函数在区间，上单调递增的是A． B． C． D．5．（2025春•台州期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．，6．（2025•鲤城区模拟）定义在的函数满足：，则的解集为A． B． C． D．，，7．（2025春•泉州期中）若其中为自然对数的底数），则，，的大小关系是A． B． C． D．8．（2025春•洛阳月考）若函数是增函数，则的取值范围是A．， B． C．， D．9．（2025春•开封期中）已知函数存在单调递增区间，则实数的取值范围为A．， B． C． D．，10．（2025•新建区模拟）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围A． B．， C． D．，二．多选题（共4小题）（多选）11．（2025•济宁模拟）已知函数，则下列结论正确的是A．的图象关于点对称 B．在上单调递减 C．若，则实数的取值范围是 D．若实数，满足，则的取值范围是，（多选）12．（2025•阳西县模拟）已知函数A．若在，上单调递增，则实数的取值范围是， B．若在，上存在单调递减区间，则实数的取值范围是， C．当，在区间，上不单调，则实数的取值范围是，， D．若的单调递减区间为，，则（多选）13．（2025•济宁模拟）设函数，则A．有三个零点 B．在区间上单调递减 C．点，为曲线的对称中心 D．当时，（多选）14．（2025•安徽模拟）已知函数，则A．当时，在区间，单调递增 B．当时，的极大值为 C．当，时， D．若方程在区间有实数根，则的取值范围为，三．填空题（共4小题）15．（2025春•元宝山区期中）若在区间上单调递减，则实数的取值范围是．16．（2025春•天津月考）函数的单调区间是．17．（2025春•佛山月考）已知函数在上单调递增，则的取值范围为．18．（2025•苏州三模）若在，上不单调，则实数的取值范围是．四．解答题（共6小题）19．（2025•克东县模拟）已知函数．（1）当时，求在，处的切线方程；（2）讨论的单调性，并求最值．20．（2025•西安模拟）已知函数，．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，讨论函数的单调性；（3）若，求证：当时，．21．（2025春•启东市月考）已知函数．（1）时，求在，处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若恒成立，求实数的取值范围．22．（2025•鲤城区模拟）已知函数．（1）当，讨论的单调性；（2）若，求实数的取值范围．23．（2025•黄冈模拟）已知函数．（1）求曲线在处的切线方程．（2）讨论函数的单调性；（3）设函数．证明：存在实数，使得曲线关于直线对称．24．（2025春•邗江区期中）已知函数．（1）若，求在，（1）处的切线方程；（2）求的单调区间．

一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DAACBBAACB二．多选题（共4小题）题号11121314答案ACDADBCDACD一．选择题（共10小题）1．【答案】【分析】先求出函数的导数，令导函数为0，求出的值，得到不等式解出的值即可．【解答】解：函数的定义域为，所以即，，令，得或（不在定义域内舍），由于函数在区间内不是单调函数，所以，即，解得：，综上得，故选：．2．【答案】【分析】先对函数求导，结合导数与单调性关系及不等式恒成立与最值关系的转化即可求解．【解答】解：因为在上单调递增，所以恒成立，所以在上恒成立，令，，则，因为，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故时，取得最大值（1），所以，即，所以的最小值为．故选：．3．【答案】【分析】结合导数的几何意义即可求解．【解答】解：根据导数几何意义可知，，，．故选：．4．【答案】【分析】对，根据解析式判断单调性得解；对，，，求导，利用判断导数正负得解．【解答】解：对于，的定义域为，，，在上单调递增，在上单调递增，故错误．对于，在，上单调递减，不满足在，上单调递增，故错误．对于，，满足在，上单调递增，故正确．对于，在上单调递减，在上单调递增，故错误．故选：．5．【答案】【分析】由函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，根据函数单调性求最值即可得解．【解答】解：函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立，即在区间上恒成立，因在区间上单调递减，则，故，即实数的取值范围是，．故选：．6．【答案】【分析】先构造新函数，对函数求导，根据得到函数的单调性，进而可求出结果．【解答】解：设，则．因为，又，所以，所以函数在上单调递增，又（1），所以当时，，即，此时，当时，，即，此时，因为，当时，有（1），所以的解集是．故选：．7．【答案】【分析】根据题意变形得，，，构造函数，，求出的单调性可得，利用作差法可得，即可得出答案．【解答】解：其中为自然对数的底数），同时取对数得，，，，令，，则，由得，由得，由得，在上单调递增，在上单调递减，又，则（e），即，又，，，，，在上单调递增，，即，，．故选：．8．【答案】【分析】由题意可知，对任意的恒成立，由参变量分离法可得出对任意的恒成立，结合基本不等式可求得的取值范围．【解答】解：，因为是增函数，所以，即在上恒成立，所以，又时，，当且仅当时，即当时取等号，所以，故实数的取值范围是，．故选：．9．【答案】【分析】对函数求导，根据有单调递增区间，转化为不等式能成立即可求得结果．【解答】解：易知函数的定义域为，那么求导可得导函数，可知不等式在上有解，因此不等式在上有解，那么，，所以．故选：．10．【答案】【分析】根据函数在区间上单调递减，可得在区间上恒成立，参变分离可得恒成立，令，通过求导判断单调性，求得其最小值即可．【解答】解：根据，得导函数，由于在上单调递减，因此在上恒成立，即，等价于恒成立，令函数，那么导函数，当时，恒成立，因此函数在上单调递增，因此，．故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】【分析】选项，设，可判断是奇函数，进而可判断；选项，求导可得，进而可判断；选项，可化为，由单调性解不等式即可判断；选项，由，可得，设，，利用辅助角公式即可求得，进而可判断．【解答】解：对于选项，设函数，其定义域为，关于原点对称，那么函数，因此函数是奇函数，而函数，的图象向上平移2个单位得到的图象，因此函数的图象关于点对称，所以选项正确；对于选项，对函数求导可得：导函数，其中，当且仅当，即时等号成立，此时，因此导函数恒成立，因此函数在上单调递增，所以选项错误；对于选项，由于函数的图象关于点对称，因此．那么不等式可化为，又函数在上单调递增，因此，解得，所以选项正确；对于选项，由于，，因此可得，即．设，，则（其中，所以，所以选项正确．故选：．12．【答案】【分析】对于选项，由在，上单调递增，可得在，上恒成立，分离出参数，根据二次函数的单调性可求出实数的范围；对于选项：因为由在，上存在单调递减区间，可得在，上有解，分离出参数，根据二次函数的单调性可求出实数的范围；对于选项，当时，得出，根据在区间，上不单调，列出关于的不等式组，求出实数的范围；对于选项，由的单调递减区间为，，可知是的一个根，即可求出．【解答】解：由题意函数，可得函数的定义域为，求导可得．对于选项：因为在，上单调递增，所以在，上恒成立，即在，上恒成立，对不等式进行参变量分离，可得在，上恒成立．又因为二次函数在，上单调递增，所以在，上，所以，故选项正确．对于选项：因为在，上存在单调递减区间，所以在，上有解，即在，上有解，分离出参数，可得在，上有解．又因为二次函数在，上单调递增，所以在，上，所以，故选项错误．对于选项：当时，．令，解得．因为在区间，上不单调，所以导数在区间，上有极值点，则，解得：，故选项错误．对于选项：因为的单调递减区间为，，所以是的一个根，即，解得：，故选项正确．故选：．13．【答案】【分析】对求导，利用导数判断函数的单调性与极值，作出函数的图象，数形结合即可逐项判断．【解答】解：函数，定义域为，，当或时，，当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以的极大值为，极小值为（1），所以的大致图象如图所示：由图可知有两个零点，故错误；由以上分析可知正确；由图可知函数关于点中心对称，故正确；当时，与均为增函数，所以（2）（1），故正确．故选：．14．【答案】【分析】通过求导求出极值点并判断函数的单调区间与极大值，可判断的真假；分析函数在给定区间的单调性结合变量代换比较函数值的大小，可判断的真假；将方程根的存在性转化为函数取值范围问题，利用导数求极值确定参数范围，可判断的真假．【解答】解：对于选项：当时，，所以，令，解得，所以在，单调递增，故正确；对于选项：当时，，所以，令，解得：，，解得，，解得，所以在单调递增，在单调递减，所以的极大值为（1），故错误；对于选项：当时，，所以，令，解得，，解得，，解得，所以在单调递增，在单调递减，当时，，所以，所以，故正确；对于选项：因为，即，所以在区间有实数根，即直线与曲线有交点，令，，则，令，解得：，令，解得，令，解得，所以在单调递减，在单调递增，故，当趋向1时，趋向，所以当直线与曲线在区间有交点时，的取值范围为，，故正确．故选：．三．填空题（共4小题）15．【答案】，．【分析】先求函数的单调递减区间，再根据集合的包含关系求实数的取值范围．【解答】解：由于，因此导函数．根据或．因此的单调减区间为和．又由于在上单调递减，因此或．解得：．故答案为：，．16．【分析】求出函数的定义域和导数，利用符号，解不等式，即可得到函数的单调区间．【解答】解：由，可得函数的定义域为，，则函数的导数为，由得，解得，即函数的单调递减区间，由得，解得或，函数的增区间为，．故答案为：函数的单调递减区间；函数的增区间为，．17．【答案】，．【分析】先对原函数求导，化成分式形式，由分母恒正，进而研究分子，分离参数求出参数取值范围即可．【解答】解：根据题意，函数，其定义域为，其导数，因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，即在上恒成立，所以在上恒成立，因为当时，（当且仅当时，等号成立），所以，解得．所以的取值范围为，．故答案为：，．18．【答案】．【分析】令，解得，依题意，得，解之即可得出实数的取值范围．【解答】解：，令，解得，在，上不单调，，，解得．即实数的取值范围是．故答案为：．四．解答题（共6小题）19．【答案】（1）；（2）当时，在上单调递增，无最值；当时，在，上单调递减，在，单调递增，最小值为，没有最大值．【分析】（1）通过求导得到切线斜率，利用点斜式即可求得切线方程；（2）将函数求导后，根据参数分类讨论函数的单调性，即可判断求解函数的最值．【解答】解：（1）当时，，求导得：，则，，则在，处的切线方程：，即；（2），当时，在上恒成立，故在上单调递增，无最值；当时，由，解得，当时，，则在，上单调递减；当时，，在，单调递增，所以在有最小值，为，无最大值．综上，当时，在上单调递增，无最值；当时，在，上单调递减，在，单调递增，最小值为，没有最大值．20．【答案】（1）；（2）当时，在上单调递减，在上单调递增；（3）证明见解析．【分析】（1）由导数的几何意义和直线的点斜式方程即可求解；（2）对函数求导得．令，解得．对分和两类讨论的正负即可求解；（3）构造函数，，利用导数研究函数的单调性与最值即可证明．【解答】解：（1）当时，，则，，又，曲线在处的切线方程为，即．（2），，，令，即，，，解得，若，当时，，；当时，，，在单调递减，在单调递增．若，当时，，；当时，，，在单调递减，在单调递增．综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增．（3）证明：当时，要证，即证．令，，．法一：．由（2）知，在上单调递减，在上单调递增，当时，．又，，在上单调递增，，即，当时，．法二：令，，．，，，，在上单调递增，，，在上单调递增，，即．当时，．21．【答案】（1）；（2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，上单调递增；（3）．【分析】（1）求得，，利用直线的点斜式方程可求得答案；（2），当时，恒成立，在上单调递增；当时，由，得；由得，进而可得；（3）由转化为求，由（1）可知，构造（a），由导数可得（a），进而可得只有符合题意．【解答】解：（1）时，，，又，故，在，处的切线方程为，即；（2）函数的定义域为，，当时，恒成立，在上单调递增；当时，由，解得；由，解得，在上单调递减，上单调递增；综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，上单调递增；（3）由题意要使恒成立，只需即可．由（1）可知，当时，在上单调递增，且，当时，，不合题意，舍去；当时，在上单调递减，上单调递增，，只需，即对于任意的恒成立即可．令（a），则（a），当时，（a），（a）在上单调递增；当时，（a），（a）上单调递减；（a）（1），（a），只有符合题意．综上所述，实数的取值范围为．22．【答案】（1）时，是增函数，时，在上单调递减，在上单调递增；（2），．【分析】（1）求导数，讨论导数的零点在定义域内的存在情况，即可得到原函数的单调区间；（2）分离参数后，研究对应函数的最值即可．【解答】解：（1）由已知得：，，①当时，在上恒成立，为增函数；②当时，由得：，，，所以在上单调递减，在上单调递增，综上，时，是增函数，时，在上单调递减，在上单调递增；（2）由得：，显然，所以①，在上恒成立即可，令，，，再令，，显然（1），且恒成立，所以在上递增，所以，，所以在上递减，在上递增，所以（1），所以要使①式成立，只需即可，所以实数的取值范围是，．23．【答案】（1）；（2）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；（3）证明见解析．【分析】（1）求出切点，求导，由导数的