专题18 任意角和弧度制、三角函数的概念（菁讲）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题18任意角和弧度制、三角函数的概念1．角的概念(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．(2)分类eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．(2)公式角α的弧度数公式|α|＝eq\f(l,r)(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°＝eq\f(π,180)rad；1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r23.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，α∈R，以它的顶点为原点，以它的始边为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y＝sinα，x＝cosα，eq\f(y,x)＝tanα(x≠0)．(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．(3)定义的推广设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．常用结论1．象限角2．轴线角3．若角α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则sinα<α<tanα.►考点01角及其表示▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．(2)确定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的终边位置的方法先写出kα或eq\f(α,k)的范围，然后根据k的可能取值确定kα或eq\f(α,k)的终边所在的位置．【例1】（2025春•辽宁期中）若角，，则符合条件的角的最大负角为A． B． C． D．【答案】【分析】根据负角可得，从而可求最大负角．【解答】解：令，解得．所以的最大负角为．故选：．【例2】（2024秋•铜陵期末）的终边在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】【分析】根据终边相同的角和象限角的定义计算．【解答】解：因为，因为的终边在第二象限，且角的终边与的终边位置相同，故角的终边在第二象限．故选：．【例3】（2025春•抚州月考）已知是钝角三角形中最大的角，则是A．第一象限角 B．第三象限角 C．第四象限角 D．小于的正角【答案】【分析】先得到钝角的取值范围，进而求得的取值范围，从而确定正确答案．【解答】解：由题可得：，则，故是第一象限角．故选：．【例4】（2024秋•广州月考）已知第二象限角，钝角，大于的角，那么、、关系是A． B． C． D．【答案】【分析】第二象限角是指终边落在第二象限的角，钝角范围为，大于的角指，再考虑它们的关系即可．【解答】解：第二象限角是指终边落在第二象限的角，钝角范围为，角的终边落在第二象限；大于的角指，．故选：．【例5】（2025春•怀柔区期中）将化成角度是A． B． C． D．【答案】【分析】由，得，代入计算即可得解．【解答】解：因为由，得，所以．故选：．►考点02弧度制及其应用▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼应用弧度制解决问题时应注意(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．【例6】（2025春•陕西期中）将化为弧度制，正确的是A． B． C． D．【答案】【分析】结合弧度制的定义，即可求解．【解答】解：．故选：．【例7】（2024秋•柳州期末）已知扇形的圆心角为，面积为24，则该扇形的弧长为A．4 B． C．12 D．【答案】【分析】先由扇形的面积公式可得半径，进而由弧长公式可得答案．【解答】解：设该扇形的弧长为，圆心角为，半径为，因为扇形的圆心角为，面积为24，由，可得，解得，故，则该扇形的弧长为12．故选：．【例8】（2025春•河南期中）已知某扇形的圆心角为，半径为11，则该扇形的周长为A．7 B．18 C．22 D．29【答案】【分析】设该扇形的圆心角为，半径为，弧长为，利用扇形的弧长和周长公式列式求解即可．【解答】解：因为扇形的圆心角为，半径为11，设该扇形的圆心角为，半径为，弧长为，可得，可得扇形的弧长，可得扇形的周长为．故选：．【例9】（2025•潮阳区模拟）扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于A．1 B． C．3 D．6【答案】【分析】根据扇形面积公式计算求解．【解答】解：设圆心角为，因为扇形的半径等于2，面积等于6，所以，解得．故选：．【例10】（2024秋•梅州期末）图1是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．图2是会徽的几何图形，设的长为，的长为，若，，且，则几何图形的面积为A． B． C． D．【答案】【分析】由题意利用扇形的弧长公式可求扇形的半径，进而利用扇形的面积公式即可求解．【解答】解：由题意，，设，则的长为，的长为，若，，则，解得，可得，，则几何图形的面积．故选：．►考点03三角函数的概念▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标．(2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．【例11】（2025•盈江县模拟）若角的终边经过点，则A． B． C． D．【答案】【分析】由题意，利用任意角的三角函数的定义，求出值，再根据同角三角函数的基本关系求出的值．【解答】解：角的终边经过点，则，故有．故选：．【例12】（2025•天心区模拟）已知点在角的终边上，且，则的值为A． B． C． D．【答案】【分析】根据任意角的三角函数的定义即可求解．【解答】解：因为点在第一象限，根据三角函数的定义可知，，且，可得．故选：．【例13】（2025•宁夏模拟）在的终边上取一点为，则A． B． C． D．【答案】【分析】先求出点到原点的距离，然后按照的定义求出结果．【解答】解：，，，由任意角的三角函数的定义知，，故选：．【例14】（2025春•海淀区月考）已知角终边上一点坐标为，则值为A． B． C． D．【答案】【分析】根据正弦函数的定义求解即可．【解答】解：由角终边上一点坐标为，可得：．故选：．【例15】（2024秋•泰州期末）在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则A． B． C． D．【答案】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义即可求解．【解答】解：因为在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则．故选：．►考点04三角函数的性质▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼已知象限判符号：由角所在象限直接判断．已知符号定范围：依据符号反向推导角的象限．解三角不等式：结合单位圆、三角函数图象，找临界角，再扩展周期．比较大小：通过单位圆中三角函数线长度．解不等式：结合单位圆上三角函数线位置．推导公式：用单位圆对称关系．求周期：套公式；复杂函数通过变形．周期性求值：利用周期化简自变量．解周期方程/不等式：先解一个周期内的解，再扩展周期．【例16】（2025春•朝阳月考）在下列三角函数值中，为负数的是A． B． C． D．【答案】【分析】结合弧度角所在的象限，即可求解．【解答】解：，则，故错误；，则，故错误；，则，故正确；，则，故错误．故选：．【例17】（2025春•湖北月考）若，则下列说法正确的是A． B． C． D．是第三象限角【答案】【分析】根据弧度制定义即可判断其所在象限，再利用正弦函数和余弦函数以及正切函数的性质即可判断．【解答】解：对，因为在上单调递增，，所以，故错误；对，因为，所以是第二象限角，，故错误，正确，错误．故选：．【例18】（2025春•广东月考）函数的最小正周期是A． B． C． D．【答案】【分析】结合正切函数的图象求解即可．【解答】解：由于函数的最小正周期为，故函数的周期与的最小正周期一致也是，所以函数的最小正周期为．故选：．【例19】（2025•金昌模拟）已知函数的最小正周期为，则A． B． C． D．2025【答案】【分析】根据三角函数的周期公式列式求得的值，得到的解析