专题21 简单的三角恒等变换（菁讲）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题21简单的三角恒等变换

1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α：sin2α＝2sinαcosα.(2)公式C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)公式T2α：tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).2．半角公式(不要求记忆)sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))；coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))；taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα)).符号由eq\f(α,2)所在象限决定．常用结论1．二倍角公式的变形公式(1)1－cosα＝2sin2eq\f(α,2)，1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2).(升幂公式)(2)1±sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)±cos\f(α,2)))2.(升幂公式)(3)sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，tan2α＝eq\f(1－cos2α,1＋cos2α).(降幂公式)2．半角正切公式的有理化taneq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).►考点01公式的直接应用——给角求值▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼识别角是否为二倍或半角关系（如与，与）直接代入公式计算，注意符号由角的象限确定【例1】（2025•郴州模拟）A． B． C． D．【答案】【分析】根据条件，利用二倍角公式及特殊角的三角函数值，即可求解．【解答】解：由二倍角公式，得原式．故选：．【例2】（2025•河北模拟）化简：A． B． C． D．【答案】【分析】利用二倍角公式、同角三角函数关系弦化切，及两角差的正切公式和即可求解．【解答】解：原式．故选：．【例3】（2025•四川模拟）若，则A． B． C． D．【答案】【分析】根据题意，运用同角三角函数的关系求出，然后根据二倍角的正弦公式算出答案．【解答】解：由，可得，所以．故选：．【例4】（2025春•四川期中）计算的结果等于A． B． C． D．【分析】利用二倍角的余弦公式，特殊角的三角函数的值，求得的结果．【解答】解：，故选：．【例5】（2025春•清远期中）的值是A． B． C．1 D．【分析】由二倍角的正切公式，可得结论．【解答】解：由二倍角的正切公式，可得．故选：．►考点02给值求值▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼分析已知角与目标角的关系，确定使用二倍角还是半角公式利用同角三角函数关系（）求出所需三角函数值注意半角公式中正负号的选择，需根据角的范围确定【例6】（2025春•广陵区期中）已知角满足，则A． B． C． D．【答案】【分析】根据三角函数的倍角公式，即可得到结论．【解答】解：，，故选：．【例7】（2025春•固镇县月考）若，则A． B． C． D．【答案】【分析】先应用二倍角余弦及正弦公式化简，再应用弦化切计算求解．【解答】解：因为，所以．故选：．【例8】（2025•河南模拟）已知，则A． B． C． D．【答案】【分析】由二倍角余弦公式可得答案．【解答】解：由，得，解得．故选：．【例9】（2025•仁寿县三模）已知，，则A． B． C． D．【答案】【分析】利用三角恒等变换求解即可．【解答】解：根据题意可知，，，所以，所以，所以．故选：．【例10】（2025春•新会区月考）在中，有，试判断的形状直角三角形．【答案】直角三角形．【分析】利用诱导公式和倍角公式，将原式化为关于的方程，解出的值，求角即可．【解答】解：易知，，，故原式可化为，即，结合，故，故为直角△．故答案为：直角三角形．►考点03三角函数式的化简▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼降幂化简：利用降幂公式将高次项化为低次项，如升幂化简：利用升幂公式处理根式，如切化弦：将正切函数化为正弦和余弦，再结合二倍角公式化简合并同类项：将相同形式的三角函数合并化简【例11】（2023秋•甘肃期末）已知．（1）求的值；（2）若是第三象限角，化简，并求值．【答案】（1）2；（2）．【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，利用齐次式法计算即得；（2）利用诱导公式及同角三角平方关系化简给定式子，再结合（1）利用同角公式求值即得．【解答】解：（1）由，得，解得．（2）由（1）知，，即，因，于是，而是第三象限角，即，，因此，所以．【例12】（2023秋•城区月考）已知，化简的结果是A． B． C． D．【答案】【分析】由倍角公式结合同角三角函数关系计算化简即可．【解答】解：因为，且，则，可得，所以，又因为，且，可得，所以．综上所述：．故选：．【例13】化简2．【答案】2．【分析】根据二倍角，即可得出答案．【解答】解：，，故答案为：2．【例14】化简：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系和二倍角的正弦公式计算即可；（2）利用二倍角的正弦公式计算即可；（3）利用同角三角函数的平方关系和二倍角的余弦公式计算即可；（4）利用同角三角函数的平方关系和二倍角的余弦公式计算即可；（5）利用二倍角的正切公式计算即可；（6）利用诱导公式和二倍角的余弦公式，同角三角函数的平方关系计算即可．【解答】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式；（5）原式；（6）因为，所以原式．【例15】化简下列各式：（1）已知，则；（2）已知为第三象限角，则．【答案】（1）；（2）0．【分析】（1）由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算即可；（2）由二倍角公式计算即可．【解答】解：（1），，；（2）为第三象限角，，，．故答案为：（1）；（2）0．►考点04三角恒等式的证明▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼从左到右：利用二倍角和半角公式逐步变形至右边形式从右到左：将右边式子变形，使其与左边形式一致两边向中间：分别化简等式两边，最终得到相同结果常用技巧：利用降幂公式降低次数，利用升幂公式处理根式【例16】（2025春•北关区月考）已知函数．（1）求的定义域；（2）求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）直接根据正切函数的性质求定义域；（2）利用三角函数公式变形证明即可．【解答】解：（1）令，得，即的定义域为；（2）证明：因为，，所以．【例17】（2023•赣县区开学）求证：．【分析】从左边入手，利用倍角公式证明．【解答】证明：左边右边．【例18】（2023春•鼎湖区期中）证明：．【答案】证明详见解析．【分析】根据二倍角公式以及同角三角函数之间的基本关系即可得出证明．【解答】证明：由二倍角公式，以及可得，，得证．【例19】（2023春•沙市区月考）求证：．【答案】详见解答过程．【分析】由已知结合二倍角公式及同角基本关系对等式左面进行化简即可证明．【解答】证明：左右．【例20】（2023春•卓尼县期中）求证：（1）；（2）．【分析】（1）利用二倍角与两角差的三角函数化简即可得证；（2）由已知结合同角基本关系及和差角公式，二倍角公式进行化简即可得证．【解答】证明：（1）左边右边，得证；（2）左边右边，得证．►考点05与其他知识的综合应用▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼与三角函数性质结合：利用二倍角公式化简函数，再求周期、值域、单调性等与解三角形结合：在三角形中利用二倍角公式处理角的关系，结合正弦定理、余弦定理解题与向量结合：通过向量运算得到三角函数关系，再利用二倍角和半角公式化简求解【例21】（2025•会宁县三模）函数的最小值和最小正周期分别为A． B． C． D．【答案】【分析】根据同角三角函数的平方关系、二倍角的余弦公式化简得，进而根据余弦函数的性质算出答案．【解答】解：由题意得，根据余弦函数的性质，可知的最小正周期，当时，即时，取最小值．故选：．【例22】（2025•江苏一模）若函数在上只有一个零点，则的取值范围为A．， B．， C．， D．，【答案】【分析】根据题意，利用二倍角公式及辅助角公式化简函数式，可得，然后利用正弦函数的性质建立关于的不等式，解之即可得到本题的答案．【解答】解：由题意得，求得，由，结合上只有一个零点，可得．故选：．【例23】（2024秋•黔东南州期末）设函数图象的一条对称轴方程为，若，则的最小值是A． B． C． D．【答案】【分析】首先由三角恒等变换化简，由已知对称轴方程以及的范围可得的值，结合正弦函数的性质可知的最小值为即可求解．【解答】解：，故．图象的一条对称轴方程为，故，可得，因为，所以，，所以，所以若，则得到．故选：．【例24】（2025春•温州期中）已知是平面内三个非零向量，且，，则当与的夹角最小时，．【答案】．【分析】根据题意作出示意图，以为原点，、所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，设，用表示出、、的坐标，根据向量数量积的运算性质、向量的夹角公式关系表示出，，然后运用导数研究函数的单调性，求出，的最大值，进而可得答案．【解答】解：设，，，因为，所以，即△是边长为1的等边三角形，根据，以为原点，、所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系，设，则，，则，，则，，，，，设，，则，令，，，则，当时，；当时，．所以在上单调递增，在上单调递减，可知在取得最大值，即，最大，与的夹角最小，此时．