专题23 正弦定理和余弦定理（菁讲）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题23正弦定理和余弦定理

基本定理公式（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式；；．常见变形（1），，；（2），，；；；．（2）面积公式：（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．）►考点01正弦定理的应用▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼（1）已知两角及一边求解三角形；（2）已知两边一对角；．（3）两边一对角，求第三边．【例1】（2025春•济南期中）在三角形中，，，，则A． B． C．或 D．或【答案】【分析】根据正弦定理求得，再结合可得，进而求出角的大小．【解答】解：由正弦定理得，可得，所以或，因为，可得，所以．故选：．【例2】（2025•景德镇模拟）△的内角，，的对边分别为，，，若，，，则A． B． C． D．【答案】【分析】运用三角形内角和定理算出，然后根据正弦定理算出边的值，可得答案．【解答】解：由三角形内角和定理，可得，根据正弦定理，可得．故选：．【例3】（2025春•湖北期中）在△中，已知，，，则A． B． C． D．或【答案】【分析】根据正弦定理求出，可得或，然后两种情况分别求边，可得答案．【解答】解：由正弦定理，可得，因为，可得，所以或．①当时，，由正弦定理得；②当时，，此时．综上所述，或．故选：．【例4】（2025春•江门期中）已知，，分别为△三个内角，，所对的边，若，则A． B． C．或 D．【答案】【分析】根据所给条件，利用正弦定理算出的值，进而可得角的大小．【解答】解：在△中，，，，由正弦定理，可得，结合为三角形的内角，可知或．故选：．【例5】（2025春•青岛期中）△的内角，，的对边分别为，、，若，，，则A． B．1 C． D．【答案】【分析】在△中，根据正弦定理建立关于的等式，解之可得答案．【解答】解：因为在△中，，，，所以根据正弦定理，得，可得．故选：．►考点02余弦定理的应用▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼（1）已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边．（2）已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值，若余弦值【例6】（2025春•通州区期中）在△中，角，，的对边分别是，，，已知，，，则A． B． C． D．【答案】【分析】根据题意利用余弦定理算出的值，可得答案．【解答】解：在△中，，，，根据余弦定理得．故选：．【例7】（2025春•如皋市月考）在△中，若，则A． B． C． D．【答案】【分析】根据整式乘法公式化简题中的等式，可得，然后运用余弦定理求出，进而可得角的大小．【解答】解：由，可得，整理得，根据余弦定理得，结合，可得．故选：．【例8】（2025春•河南期中）在△中，角，，所对的边分别为，，．若，则A． B． C． D．【答案】【分析】根据题意，运用余弦定理加以计算，即可算出的值．【解答】解：在△中，，根据余弦定理得，所以，解得．故选：．【例9】（2025春•上饶期中）已知△的内角，，的对边分别为，，，且，则A． B． C． D．【答案】【分析】根据题意，运用余弦定理代入计算，可得的值．【解答】解：由，设，则，，根据余弦定理得．故选：．【例10】（2025春•资中县期中）在△中，，，，则A．1 B．2 C． D．【答案】【分析】由余弦定理，代入数据算出的值，进而可得答案．【解答】解：根据余弦定理得，解得（舍负）．故选：．►考点03判断三角形的形状▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼（1）求最大角的余弦，判断是锐角、直角还是钝角三角形．（2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等边还是直角三角形．【例11】（2023春•芜湖期末）已知的三个角，，的对边分别为，，，且满足，则的形状为A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】【分析】根据正弦定理，可判断三角形形状．【解答】解：，根据正弦定理，，，则为等腰三角形．故选：．【例12】（2024秋•金牛区月考）在中，内角、、的对边分别为，，，且，则的形状是A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】【分析】由正弦定理，结合两角和的正弦公式求解即可．【解答】解：已知，由正弦定理可得：，即，即，又，即，即，即的形状是直角三角形．故选：．【例13】（2025春•工业园区期中）在中，若，则的形状是A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】【分析】利用余弦定理将化简为，从而可求解．【解答】解：由，得，由余弦定理得，化简得，当时，即，则为直角三角形；当时，得，则为等腰三角形；综上：为等腰或直角三角形，故正确．故选：．【例14】（2024春•通化期末）在中，角，，的对边分别为，，，若，则的形状为A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形【答案】【分析】代入余弦定理即可．【解答】解：中，若，则，，，则为直角三角形．故选：．【例15】（2025•榆林四模）中，内角、、所对的边为、、，．（1）若，试确定的形状；（2）若，，是的平分线，求长．【答案】（1）等边三角形；（2）．【分析】（1）由余弦定理算出，可得，然后根据，利用两角和的正弦公式与诱导公式推导出，进而判断出的形状；（2）先根据余弦定理算出，可得，所以，结合，在中利用锐角三角函数定义求出的长，可得答案．【解答】解：（1）因为，所以，结合，得．在中，，可得，所以，若，则，整理得，两边都除以，可得，结合、为三角形的内角，可知．因此，在中，，可知中为等边三角形；（2）若，，代入得，解得（舍负）．所以，可得是以为斜边的直角三角形，因为是的平分线，，所以，中，，即，解得．►考点04正、余弦定理与的综合▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．【例16】（2025•广东模拟）在中，内角，，的对边分别是，，，若，且，则等于A．3 B． C．3或 D．或【答案】【分析】依题意，可求得，，利用诱导公式及两角和的正切可求得的值，得到答案．【解答】解：在中，，，，；又，由正弦定理得：，又，，或（舍去），，，故选：．【例17】（2024春•梅州月考）已知是锐角三角形，角，，所对的边分别为，，，为的面积，，则的取值范围为A． B． C． D．【答案】【分析】由已知结合余弦定理及三角形面积公式可求，进而可求，，然后结合正弦定理及和差角公式进行化简，再由正切函数的性质即可求解．【解答】解：因为，所以，所以，因为为锐角，所以，，，所以，所以，所以，则．故选：．【例18】（2024春•香坊区期中）在锐角三角形中，，，则周长的取值范围是A． B． C． D．【答案】【分析】由已知结合余弦定理及三角形面积公式进行化简可求，然后结合正弦定理表示，再结合和差角公式及辅助角公式化简，结合正弦函数的性质即可求解．【解答】解：锐角三角形中，，则，即，所以，所以，因为，由正弦定理得，，所以，，因为，即所以，因为，所以，故，则周长的取值范围，．故选：．【例19】（2025春•信阳期中）在中，角，，的对边分别是，，，且面积为，若，，则角等于A． B． C． D．【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，结合的范围可求，由余弦定理、三角形面积公式可求，结合范围，可求的值，根据三角形内角和定理可求的值．【解答】解：由正弦定理及，得，可得：，