专题25 平面向量的概念及线性运算（优练）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题25平面向量的概念及线性运算

一．选择题（共10小题）1．（2025春•浦东新区期中）已知为单位向量，下列说法正确的是A． B． C． D．2．（2025春•湖北月考）已知非零向量与共线，下列说法正确的是A．与共线 B．与不共线 C．若，则 D．若，则是一个单位向量3．（2025春•崆峒区月考）下列说法正确的是A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．若，则与的方向相反 C．若，则 D．向量与向量的长度相等4．（2025春•长宁区期中）下列关于平面向量的说法正确的是A．若是共线的单位向量，则 B．若，则 C．若，则不是共线向量 D．若，，则5．（2025春•东台市期中）已知向量，不共线，，，若，则A． B． C．6 D．6．（2025•茂名二模）已知向量，不共线，且，则实数A．3 B． C． D．7．（2025春•上海月考）下列有关向量的说法正确的是A．向量又称有向线段 B．平行向量一定相等 C．平行向量一定共线 D．平面直角坐标系中的轴，轴均为向量8．（2025春•安徽月考）下列说法错误的是A．向量与向量长度相等 B． C．若向量与共线，与共线，则与共线 D．任一向量平移后都和原向量相等9．（2025春•武汉期中）设为基底，已知向量，，，若，，三点共线，则的值是A．2 B． C． D．310．（2025春•温州期末）在平行四边形中，是线段上一点，，，，若，则A． B． C． D．二．多选题（共4小题）（多选）11．（2025春•四川月考）下列说法正确的是A．相等向量的起点必定相同 B．平行向量就是共线向量 C． D．非零向量与是非零实数）的方向相反（多选）12．（2025春•建平县期中）以下关于平面向量的说法中，正确的是A．有向线段就是向量 B．所有单位向量的模都相等 C．零向量没有方向 D．平行向量也叫作共线向量（多选）13．（2025春•武汉期末）下列说法正确的是A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则（多选）14．（2024秋•辽宁期末）下列命题正确的是A．若向量共线，则，，，必在同一条直线上 B．若，，为平面内任意三点，则 C．若点为△的重心，则 D．已知向量，若，则三．填空题（共4小题）15．（2025春•南海区期中）已知向量，不共线，若向量和共线，则实数．16．（2025春•南海区月考）设和是两个不共线的向量，若，且，，三点共线，则实数的值等于．17．（2025春•兰州期中）若、是两个不共线的向量，若，，，且、、三点共线，则实数的值等于．18．（2025春•福贡县月考）给出下列命题：①若，则；②若单位向量的起点相同，则终点相同；③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；④向量与是共线向量，则，，，四点必在同一直线上．其中正确命题的序号是．四．解答题（共6小题）19．（2025春•南通月考）设，是不平行的向量，且，．（1）若向量与共线，求实数的值；（2）若，用的线性组合表示．20．（2025春•阆中市期中）设两个非零向量与不共线．（1）若．求证：、、三点共线；（2）若和共线，求实数的值．21．（2024春•梅县区期中）设两个非零向量与不共线．（1）若，，，求证：，，三点共线；（2）试确定实数，使和反向．22．（2024春•东兴区期中）设是两个不共线的向量，若．（1）求证，，三点共线；（2）试确定的值，使和共线．23．（2025春•广东月考）已知，为一组基底向量，其中，，．（1）探究，，三点是否共线，若共线，给出证明；若不共线，说明理由；（2）若与共线，求的值．24．（2025春•东湖区期中）已知向量不共线，且．（1）若，求的值；（2）若，求证：，，三点共线．

一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BDDBCDCCBB二．多选题（共4小题）题号11121314答案BCBDBDBC一．选择题（共10小题）1．【答案】【分析】根据单位向量和零向量的定义，对各选项进行分析．【解答】解：对于，，故错误；对于，与任意向量平行，故正确；对于，，故错误；对于，，故错误．故选：．2．【答案】【分析】根据向量共线，向量相等及单位向量的定义分别判断各选项．【解答】解：当，，，四点在一条直线上时，与共线，否则与可能不共线，故，错误；若，无法确定向量方向，不能确定向量相等，故错误；因为，由单位向量定义可知是一个单位向量，故正确．故选：．3．【答案】【分析】对于，利用共线向量和相等向量的定义，即可求解；对于，根据条件得到与的方向相同或与中有零向量，即可求解；对于，取，即可求解；对于，利用相反向量的定义，即可求解．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，若两个单位向量平行，它们的方向可能相同或相反，当方向相反时，这两个单位向量并不相等，所以错误，对于，若，则与的方向相同或与中有零向量，所以错误，对于，当时，对于任意向量和，都有且，但与不一定平行．因为零向量与任意向量都平行，所以错误，对于，向量与向量是相反向量，其长度是相等的，所以正确，故选：．4．【答案】【分析】根据相反向量的定义即可判断的正误；根据相等向量的定义即可判断的正误；根据共线向量的定义即可判断的正误；根据零向量和平行向量的定义即可判断的正误．【解答】解：当，方向相反时，满足共线，得不出，错误；根据向量相等的定义可知正确；时，满足，但共线，错误；，与不平行时，满足，得不出，错误．故选：．5．【答案】【分析】依题意可得，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可．【解答】解：因为不共线，所以都不是零向量，又，所以存在实数，使，即，所以，解得．故选：．6．【答案】【分析】根据平面向量的共线定理求解．【解答】解：由题意，，解得．故选：．7．【答案】【分析】根据向量、有向线段、平行向量、相等向量等相关概念，对每个选项进行逐一分析判断．【解答】解：有向线段有起点、方向和长度，而向量只有大小和方向，没有固定的起点，所以不能说向量又称有向线段，选项错误；平行向量是指方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量平行，而相等向量不仅要求方向相同，还要求大小相等，所以平行向量不一定相等，选项错误；平行向量也叫共线向量，所以平行向量一定共线，选项正确；向量是既有大小又有方向的量，而平面直角坐标系中的轴、轴是具有方向的直线，它们没有大小，不满足向量的定义，所以轴、轴不是向量，选项错误．故选：．8．【答案】【分析】根据相反向量、相等向量、共线向量、零向量等的概念逐一判断各选项即可．【解答】解：对于，向量与向量是互为相反向量，方向相反、长度相等，故正确；对于，若，则方向相同、长度也相等，而方向相同的两向量一定是平行向量，故正确；对于，若，对任意两个非零向量与，都有向量与共线，与共线，但与共线，故不正确；对于，任一向量在平移过程中保持向量的方向和长度并不改变，故平移后的向量都和原向量相等，故正确．故选：．9．【答案】【分析】利用向量减法法则求出，再利用共线向量及平面向量基本定理列式计算作答．【解答】解：由题可得：，因，，三点共线，则，即，，而，则有，即，又与不共线，于是得，解得，所以的值是．故选：．10．【答案】【分析】根据向量的线性运算以及平面向量基本定理进行求解．【解答】解：如图，由已知得，，因为，所以存在实数，使得，因为点在线段上，所以，解得，所以，又，所以．故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】【分析】根据相等向量的定义即可求解，根据共线的定义求解，根据向量的加减法运算即可求解，根据时，，即可求解．【解答】解：相等的向量是方向相同，长度相等的向量，起点不一定相同，故错误；平行向量与共线向量同一定义，正确；，故正确；当时，，与的方向相同，故错误．故选：．12．【答案】【分析】根据给定条件结合平面向量的基本概念，逐项分析判断作答．【解答】解：由有向线段、向量的定义知，不正确；单位向量是长度为1的向量，正确；零向量有方向，其方向是任意的，不正确；由平行向量的定义知，平行向量也叫作共线向量，正确．故选：．13．【答案】【分析】根据向量的相关概念，可得答案．【解答】解：对于选项，向量为矢量，既有大小又有方向，不等比较大小，故错误；对于选项，相等向量的方向与大小都相同，所以也共线，故正确；对于选项，当时，向量不一定共线，故错误；对于选项，相等向量具有传递性，故正确．故选：．14．【答案】【分析】根据向量共线的定义判断出项的正误；平面向量的线性运算法则判断出项的正误；根据平面向量的线性运算性质与三角形重心的性质，可判断出项的正误；根据平面向量共线的坐标表示，判断出项的正误．【解答】解：对于，若向量，共线，只需两个向量方向相同或相反，不一定、、、在同一直线上，故项错误；对于，根据平面向量线的性运算法则，可知，故项正确；对于，若点为△的重心，设中点为，则，由三角形重心的性质，得，可得，所以，故项正确；对于，因为向量，且，所以，化简得，故项错误．故选：．三．填空题（共4小题）15．【答案】．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：向量和共线，可设，于是，．故答案为：．16．【答案】．【分析】根据题意，由三点共线可得，然后代入计算，即可得到结果．【解答】解：根据题意，，三点共线，故，根据题意可知，和是两个不共线的向量，，所以．故答案为：．17．【答案】．【分析】求出向量，由题意可得，则存在实数，使得，利用平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，即可解得的值．【解答】解：由、是两个不共线的向量，，，，可得，因为、、三点共线，则，则存在实数，使得，即，所以，，解得．故答案为：．18．【答案】③．【分析】结合向量的概念，以及向量共线的性质，即可求解．【解答】解：若，则①不成立；起点相同的单位向量，终点未必相同；对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的；共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量与必须在同一直线上．故答案为：③．四．解答题（共6小题）19．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由向量共线的定理计算可得；（2）由向量的线性运算和共线定理计算可得；【解答】解：（1）因为向量与共线，所以设，即，所以，（2），又因为，由向量基本定理，得，解得所以．20．【答案】（1）详见解答过程；（2）．【分析】（1）由已知结合向量共线定理即可求解；（2）结合平面向量共线定理及平面向量基本定理即可求解．【解答】解：（1）证明：，，与共线，又它们有公共点，故，，三点共线．（2）和共线，故存在实数，使，．与不是共线的两个非零向量，，，即．21．【答案】（1）证明略；（2）．【分析】（1）可根据进行向量的数乘运算可得出，然后可得出与共线，从而得出，，三点共线；（2）可设，，然后根据平面向量基本定理即可求出的值．【解答】解：（1）证明：，，且，与共线，且与有公共点，，，三点共线；（2）设，，且不共线，根据平面向量基本定理得：，解得或（舍去）．22．【答案】（1）证明过程见解析．（2）或．【分析】（1）先证出和共线，从而得到，，三点共线．（2）利用平面向量基本定理求解．【解答】证明：（1）由题意，所以和共线，所以，，三点共线；解：（2）若和共线，则存在实数，使得，又不共线，所以，解得或，所以或时，和共线．23．【答案】（1）共线，理由见解答；（2）．【分析】（1）利用平面向量的加法法则求出，再得到其与成倍数