专题28 复数（菁讲）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第3页（共11页）专题专题28复数

1．复数的有关概念(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是实部，b是虚部，i为虚数单位．(2)复数的分类复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(实数（b＝0），,虚数（b≠0）（当a＝0时为纯虚数）.))(3)复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)复数的模向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R)．2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).3．复数的四则运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(（a＋bi）（c－di）,（c＋di）（c－di）)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(→))－eq\o(OZ1,\s\up6(→)).常用结论：1．(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．5．复数z的方程在复平面内表示的图形(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，a和b为半径的两圆所夹的圆环．(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．►考点01复数的有关概念▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼解决复数概念问题的两个注意事项【例1】（2025春•吉林期中）已知复数，则的虚部为A． B． C．1 D．【答案】【分析】先对复数进行化简，再根据复数虚部的定义求出的虚部．【解答】解：复数，虚部为．故选：．【例2】（2025春•六盘水期末）已知复数，则A．的虚部为 B． C． D．【答案】【分析】由已知可得的虚部，即可判断；由复数模的运算即可判断；由共轭复数的定义即可判断；虚部不为0的复数不能比较大小，即可判断．【解答】解：由，得的虚部为1，故错误；，故错误；由共轭复数的定义可知，故正确；由虚数不能比较大小可知，错误．故选：．【例3】（2025春•湖北期末）若复数为纯虚数，则实数的值为A．2 B．2或 C． D．【答案】【分析】利用复数的概念可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值．【解答】解：由题意可知，复数为纯虚数，由纯虚数的定义可得，，解得，即实数的值为2．故选：．【例4】（2025•赣州模拟）复数，，为虚数单位）的实部为3，则复数的虚部为A．2 B． C． D．【答案】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于3求解值，则答案可求．【解答】解：的实部为3，，即．可得，即复数的虚部为．故选：．【例5】（2025春•江西期末）复数的实部与虚部之和为A． B．1 C．2 D．3【答案】【分析】化简复数，即可根据实部和虚部的定义求解．【解答】解：，所以的实部和虚部分别为1，2，所以复数的实部与虚部之和为3．故选：．►考点02复数的运算▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼复数代数形式运算的策略【例6】（2025春•昭通期末）若复数，则A． B． C． D．【答案】【分析】根据复数的乘法运算求解．【解答】解：由，得，则．故选：．【例7】（2025•新高考Ⅱ）已知，则A． B． C． D．1【答案】【分析】利用复数的除法法则计算．【解答】解：由题意得：．故选：．【例8】（2025春•沙坪坝区期中）若，则A． B． C． D．【答案】【分析】结合利用复数的运算法则求解．【解答】解：，，已知，，，则．故选：．【例9】（2025春•南岸区期中）已知，则A． B． C． D．【答案】【分析】由复数的除法、乘法运算即可求解．【解答】解：因为，所以，所以．故选：．【例10】（2025春•乌鲁木齐期末）复数A． B． C． D．【答案】【分析】直接利用复数的除法运算化简求值．【解答】解：．故选：．►考点03复数的几何意义▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼复数z、复平面内的点Z及向量eq\o(OZ,\s\up6(→))相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔eq\o(OZ,\s\up6(→)).由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．【例11】（2025春•都匀市期末）已知为虚数单位，设复数，则在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】【分析】结合共轭复数的概念，以及复数的几何意义，即可求解．【解答】解：复数，则，故在复平面内对应的点位于第三象限．故选：．【例12】（2025•青羊区模拟）在复平面内，对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】【分析】由复数模的运算及复数代数形式的乘除运算化简复数，求出其在复平面内对应点的坐标得答案．【解答】解：，，则复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．故选：．【例13】（2025春•沧州期末）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是A． B．或 C． D．【答案】【分析】根据复数的几何意义，结合题意，列出不等式，求解即可．【解答】解：复数在复平面内对应的点的坐标为，且复数在复平面内对应的点位于第二象限，，解得．即实数的取值范围是．故选：．【例14】（2025春•桃城区期末）复数在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据已知化简得出，即可根据复数的几何意义得出答案．【解答】解：由，可知复数z在复平面内所对应的点为，该点位于第四象限．故选：D．【例15】（2024秋•唐县期末）若，则在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】【分析】利用复数的四则运算化简求出复数，求得其共轭复数，利用复数的几何意义即可判断．【解答】解：由，可得，故在复平面内对应的点位于第三象限．故选：．►考点04复数的模▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R)．【例16】（2025春•仁寿县期末）复数，则A． B． C．5 D．【答案】【分析】由复数的模长计算可得．【解答】解：复数，则．故选：．【例17】（2025春•湖州期末）已知，其中为虚数单位，则A． B． C． D．【答案】【分析】先应用复数的四则运算，化简复数，最后再求模长即可．【解答】解：，则．故选：．【例18】（2025•仁寿县四模）若复数，则A． B．2 C． D．10【答案】【分析】根据复数的除法运算及模长计算公式即可求解．【解答】解：，则．故选：．【