专题29 数列的概念与简单表示法（优练）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题29数列的概念与简单表示法

一．选择题（共10小题）1．（2024•乌鲁木齐模拟）已知数列满足，若，则A． B． C．1 D．22．（2023秋•常德期末）若数列满足，且，则A． B．2 C． D．3．（2025春•海拉尔区月考）已知数列的前项和为，若，则A．0 B．1 C．3 D．4．（2023秋•丰台区期末）若数列满足，且，，则当的前项和最大的值为A．5 B．6 C．7 D．85．（2025•金昌模拟）已知数列的前项和，则A． B． C． D．6．（2025•昆明模拟）已知数列满足，，若，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是A． B． C． D．7．（2023秋•濠江区期末）数列满足，则A． B．3 C． D．8．（2024•泸县开学）已知数列满足，，，则下列选项正确的是A． B． C． D．是递增数列9．（2025•江西模拟）设数列的前项和为，已知，，则A．2024 B．2025 C． D．10．（2025春•湖南期中）已知，，，则数列的通验项公式为A． B． C． D．二．多选题（共4小题）（多选）11．（2024春•市中区期中）已知数列满足，，，则A．是递减数列 B． C． D．（多选）12．（2025•来宾模拟）已知数列满足，，，则A． B．若，则 C． D．若数列满足，记为的前项和，则（多选）13．（2024秋•沧州期末）已知数列满足，，则的值可能为A．1 B． C． D．（多选）14．（2025春•辽宁期中）已知数列满足，，则A．是递减数列 B． C．当的前项和取得最小值时， D．对任意，不等式，则三．填空题（共4小题）15．（2025•南平模拟）已知数列中，，，则．16．（2024春•沈阳期中）已知数列的前项和，则．17．（2025春•新蔡县月考）数列的最大项为第项，则．18．（2024•天河区一模）已知数列的前项和，则数列的通项公式．四．解答题（共6小题）19．（2025春•广水市期中）在数列中，的前项和为，，，设．（1）求证数列是等差数列；（2）求数列的通项公式．20．（2024秋•岳阳县期末）已知数列满足，．（1）求证：数列为等差数列；（2）求数列的通项公式与最大值．21．（2025•云南模拟）已知为数列的前项和，．（1）求的通项公式；（2）若，求取得最大值时的值．22．（2025•广安区开学）（1）已知数列的前项和，求数列的通项公式；（2）已知数列满足，，求数列的通项公式．23．（2024秋•泰州期末）设为数列的前项和，．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．24．（2025•东台市二模）设数列满足：对任意正整数，有．（1）求数列的通项公式；（2）若抽去数列中的第1项，第4项，第7项，，第项，余下的项顺序不变，组成一个新数列，记数列的前项和为．已知对于任意的正整数，恒成立，求的最大值．

一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CACABBCBBA二．多选题（共4小题）题号11121314答案BDABDADACD一．选择题（共10小题）1．【答案】【分析】直接根据已知数列的递推关系赋值即可得出所求的答案．【解答】解：因为，令，则；令，则，所以．故选：．2．【答案】【分析】根据数列的递推式，求出，，，可得数列是周期为3的周期数列，即可得出答案．【解答】解：，，，，，数列是周期为3的周期数列，，故选：．3．【答案】【分析】利用与的关系直接求解．【解答】解：因为，所以．故选：．4．【答案】【分析】根据题意，可得数列是等差数列，由且算出它的首项与公差，进而算出前项和的最大值．【解答】解：，即，数列是等差数列，由且，得，解得公差．，当时，为正数；当时，为负数．当时，的前项和最大．故选：．5．【答案】【分析】根据，关系求出，再用裂项相消计算即可．【解答】解：由，得，所以，，当时，，满足上式，所以，令，则．故选：．6．【答案】【分析】先取倒构造新等比数列，求出，从而得，，又，从而得，再根据是单调递增数列，建立不等式，解恒成立问题及不等式即可得解．【解答】解：，，，又，，，，又，，又数列是单调递增数列，，，，，，故选：．7．【答案】【分析】根据数列的递推式可得，，，，，即数列是周期为4的周期数列，即可得出答案．【解答】解：因为，所以，，，，，所以数列是周期为4的周期数列，所以．故选：．8．【答案】【分析】利用数列的递推式，可得数列的通项公式，逐一分析选项，即可得出答案．【解答】解：，，两式相减得，，即，，故错误；，．又，故正确；设，令，则，，即在上恒成立，，故错误；，即，故不是递增数列，故错误．故选：．9．【答案】【分析】根据数列满足的关系式，利用，之间的关系结合累乘法可求得，代入计算可得结果．【解答】解：由，，得，即，所以，所以，所以，所以．故选：．10．【答案】【分析】利用倒序相加法计算求解．【解答】解：，则两式相加得所以，所以．故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】【分析】选项，由得出，判断是递增数列；选项，由是递增数列得出，结合，变形得；选项，由得，可得出；选项，由推导出，累加求和得出结论．【解答】解：对于，由题意知，否则与矛盾，由，得，所以，所以数列是递增数列，故项错误；对于，由选项知，所以当时，，由，得，所以当时，，综上所述，对任意，都有成立，故项正确；对于，由，得，则，所以，故项错误；对于，根据已知等式得到，两边取倒数得，移项可得，所以，故项正确．故选：．12．【答案】【分析】由题意可得：数列是以3为首项，3为公比的等比数列，然后逐一判断即可．【解答】解：已知数列满足，，，则，即，又，即数列是以3为首项，3为公比的等比数列，即，即，对于，，即，即正确；对于，，又，则，解得，即正确；对于，，即错误；对于，，则，则，即正确．故选：．13．【答案】【分析】先将题干中递推公式进行转化得到，的两种对应关系，然后分类讨论的通项公式，由此可得结果．【解答】解：依题意，由，可得，即，化简整理，得，，或，①当时，，数列是首项为1，公比为的等比数列，，②当时，可得，下面用数学归纳法证明：当时，，命题成立，当，假设成立，则当时，，，命题成立，由上可知，成立，此时，或．故选：．14．【答案】【分析】对，由题得，利用数列单调性定义判断；对，由题，当时，，利用累乘法求出通项；对，由题得，可得数列的前6项均小于0，从第7项开始大于0，得解；对，对分奇数和偶数讨论，将原不等式转化为恒成立，求出最值得解．【解答】解：对于，根据题意，，又，所以，故是递减数列，故选项正确；对于，当时，，所以，故选项错误；对于，设，则，，，，，，，由指数函数与函数的增长速度可知，当时，，所以当数列的前项和取得最小值时，，故选项正确；对于，当为偶数时，不等式转化为，又，所以，当为奇数时，不等式转化为，又，所以，综上，，故选项正确．故选：．三．填空题（共4小题）15．【答案】7．【分析】代值计算即可．【解答】数列中，，，，．故答案为：7．16．【答案】56．【分析】注意到，结合已知代入，，求值即可．【解答】解：由题意．故答案为：56．17．【答案】5或6．【分析】由题意列出不等式即可求解．【解答】解：根据题意可知，数列的最大项为第项，所以，即，即，由于是正整数，所以或6．故答案为：5或6．18．【答案】．【分析】结合求解即可．【解答】解：已知数列的前项和，当时，，当时，，即．故答案为：．四．解答题（共6小题）19．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）由题意可得：，得证；（2）因为数列是等差数列，则，然后求解即可．【解答】（1）证明：在数列中，的前项和为，，则，即，，又，则，即，即数列是等差数列；（2）解：因为，，即，则，，又数列是等差数列，则数列的公差为，则，又，则．20．【答案】（1）证明见解答；（2），最大值是．【分析】（1）计算，根据等差数列的概念即可证得结论；（2）由（1）可得，再研究其单调性，计算可得结论．【解答】（1）证明：因为，又，所以数列是以为首项，3为公差的等差数列；（2）解：由（1）可得，即，当时，由反比例函数的性质知单调递减，所以，又，，，所以数列的最大值是．21．【答案】（1）；（2）7或8．【分析】（1）当时，，又满足上式，得解；（2）由（1）可得：，则，然后结合数列的单调性求解即可．【解答】解：（1）已知为数列的前项和，．则当时，，即，又满足上式，即；（2）由（1）可得：，则，当时，，当时，，当时，，即取得最大值时的值为7或8．22．【答案】（1）；（2）．【分析】分别根据、累加法计算，即可一次求解（1）（2）数列的通项公式．【解答】解：（1）因为数列的前项和，当时，；当时，，，易知不符合上式，所以．（2）由，得，，，，，各式相加得：，又，所以．23．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由题意可得：当时，，即，又，则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，然后求解；（2）由题意可得：，则，然后结合等差数列及等比数列的求和公式求解．【解答】解：（1）已知为数列的前项和，，当时，，即，又，即，则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即；（2）记，则，则．24．【