专题31 等比数列（优练）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题31等比数列

一．选择题（共10小题）1．（2025春•西城区期末）已知等差数列满足，且是和的等比中项，则A．6 B．8 C．6或8 D．102．（2025•靖远县模拟）在正项等差数列中，且，，成等比数列，则A．7 B．11 C．18 D．13．（2025春•武汉期末）若等比数列满足，，则A． B． C．16 D．324．（2025•北碚区模拟）已知数列满足且，则的值为A． B．216 C． D．5．（2025春•江西期末）已知公比不为1的等比数列的前项和为，若，，则A．9 B．36 C．72 D．846．（2025春•抚州期末）在等比数列中，，是方程的两根，则的值为A． B．或2 C． D．27．（2025春•南宁期末）已知递增等比数列的前项和为，，，则A．8 B．6 C．4 D．28．（2025•赣州二模）已知等比数列的前项和是，且，，则为A．7 B．9 C．63 D．7或639．（2025春•濮阳期末）已知等比数列的前项和为，若，，则A．4 B．6 C．8 D．1610．（2025春•仁寿县期末）设，分别为等比数列，的前项和，若，则A． B． C． D．二．多选题（共4小题）（多选）11．（2025春•辽阳县月考）公比为的等比数列的前项和为，若，，则A． B． C． D．（多选）12．（2025春•深圳期中）已知等比数列的前项和为，公比，，则A． B． C． D．数列是公比为4的等比数列（多选）13．（2025春•钦州期末）公比为q的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1+a2＝20，a1﹣a3＝﹣60，则（）A．a1＝4 B．q＝4 C．S4＝350 D．a5＝1024（多选）14．（2025•山东模拟）已知等比数列的公比为，且，则下列说法正确的是A．若，则 B．数列的前2023项和一定大于0 C．若，则 D．若，则一定小于0三．填空题（共4小题）15．（2025春•北海期末）在等比数列中，，，则．16．（2025•朝阳模拟）若等比数列的前20项积为，则．17．（2025•潍坊模拟）已知正项等比数列的前项和为，若，则．18．（2025春•浦东新区期末）已知等比数列的前5项和为10，前10项和为50，则．四．解答题（共6小题）19．（2025春•广西期中）设是公比不为1的等比数列，，为，的等差中项．（1）求数列的公比；（2）求数列的前项和．20．（2025春•成都月考）设公比不为1的等比数列的前项和为，且．（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和．21．（2024春•池州期末）已知数列中，，数列是等比数列，且公比．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，记数列的前项和为，求．22．（2025春•海淀区期中）已知等差数列的公差为，，且是，的等差中项．（Ⅰ）求通项公式；（Ⅱ）等比数列的前项和为，，，，若，求的最大值．23．（2025•岳阳模拟）已知数列为等差数列，，，前项和为，数列满足．求证：（1）数列为等差数列；（2）数列中的任意三项均不能构成等比数列．24．（2025春•北京期中）已知是公比为的等比数列，且．（1）求的值；（2）设是首项为2，公差为的等差数列，其前项和为．当时，试比较与的大小．

一．选择题（共10小题）题号12345678910答案AABDBCAACC二．多选题（共4小题）题号11121314答案ABDACDABDBCD一．选择题（共10小题）1．【答案】【分析】根据等差数列的定义与通项公式，求出公差，再根据等比中项列方程求出，即可求出．【解答】解：等差数列中，，所以公差，又因为是和的等比中项，所以，解得，所以．故选：．2．【答案】【分析】由题设结合等差数列通项公式与等比中项的应用列式求出公差，并得到通项公式即可求解．【解答】解：设正项等差数列公差为，由，得，，又因为，，成等比数列，所以，即，解得或（舍去），所以，故．故选：．3．【答案】【分析】根据已知条件可建立关于首项和公比的方程组，计算出首项和公比后即可计算出即可．【解答】解：设等比数列的公比为，由题可得：，，解得，，则．故选：．4．【答案】【分析】由递推式得数列为公比的等比数列，再求出数列的通项公式，从而可得答案．【解答】解：因为，所以数列为公比的等比数列，因为，所以，则，所以，，，所以，故选：．5．【答案】【分析】根据等比数列通项公式和前项和公式求解，即可得解．【解答】解：公比不为1的等比数列的前项和为，，，设的公比为，则，解得或（舍去），．故选：．6．【答案】【分析】设公比为，由韦达定理得，，并判断，同为负数，根据等比数列的性质得到，，从而得到答案．【解答】解：在等比数列中，，是方程的两根，设公比为，由韦达定理得，，又，故，符号相同，，同为负数，，为等比数列，，，故．故选：．7．【答案】【分析】根据等比数列递增确定的定义，利用首项和公比表示和，求出首项公比，代入求出即可．【解答】解：由递增等比数列的前项和为，，，可得，解得，与数列为递增数列矛盾，舍去），故．故选：．8．【分析】由等比数列的求和公式，结合条件，求出，，代入可求．【解答】解：由题意，，，故选：．9．【答案】【分析】根据，可求得，进一步利用进行求解即可．【解答】解：设等比数列的公比为，由，，得，解得，所以．故选：．10．【分析】设，分别为公比为的等比数列，公比为的的前项和，，，令可得，再由等比数列的求和公式可得，，由等比数列的通项公式可得所求值．【解答】解：设，分别为公比为的等比数列，公比为的的前项和，，，，，，由，且，可得，，，故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】【分析】利用等比数列的通项公式列方程，解方程可得首项与公比，进而判断各个选项．【解答】解：因为数列是公比为的等比数列，且，，所以，解得，故，正确；所以，，故错误，正确．故选：．12．【答案】【分析】首先求出的值，判断，再由等比数列通项公式及求和公式判断、，由等比数列的定义判断．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，因为，，所以，即正确；对于，易知，可知错误；对于，，故正确；对于，又，，故数列是首项为，公比为4的等比数列，故正确．故选：．13．【答案】ABD【分析】先根据条件，确定数列{an}的通项公式，再逐项判断即可．【解答】解：因为a1+a2＝20，a1﹣a3＝﹣60，所以，解得a1＝q＝4．故AB正确；所以，因为，故C错误；因为，故D正确．故选：ABD．14．【答案】【分析】由等比数列的性质可判断；讨论，结合等比数列的前项和可判断；构造函数，由导数求解函数的最值结合等比数列的通项公式可判断，．【解答】解：对于，由可得：，因为，所以，即，，解得：或，故错误；对于，当时，则，当时，，当时，，，，所以，当时，，，，所以，当时，，，，所以，所以数列的前2023项和一定大于0，故正确；对于，若，则，即，设，，则，所以在上单调递减，所以，，则，所以，所以，故正确；对于，若，因为是等比数列，所以，设，，，令，，令，则，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，所以当时，，如下图，画出，，易知，当时，存在，即，即，因为，故，故正确．故选：．三．填空题（共4小题）15．【答案】16．【分析】由，，可求，再利用代入计算即可．【解答】解：因为是等比数列，，，所以，则，所以．故答案为：16．16．【答案】230．【分析】根据题意，由等比数列的性质可得的值，进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，等比数列的前20项积为，则有，则．故答案为：230．17．【答案】．【分析】根据题意，设正项等比数列的公比为，由求出的值，又由，计算可得答案．【解答】解：根据题意，设正项等比数列的公比为，则，若，即，变形可得，则有，即，则．故答案为：．18．【答案】210．【分析】由等比数列的前项和性质可得，，，成等比数列，根据等比中项的性质即可求解．【解答】解：等比数列的前5项和为10，前10项和为50，则，，成等比数列，即10，，成等比数列，所以．故答案为：210．四．解答题（共6小题）19．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据为，的等差中项，列出关于的方程，可解得公比；（2）由（1）中解得的和，可求得，进而可求的前项和．【解答】解：（1）设公比为，由已知，，即，所以，因为，所以；（2）由（1），，又，所以，，所以，的前项和．20．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据题意列方程即可求解；（2）由题意得，结合等比数列求和公式即可求解．【解答】解：（1）设的公比为，，，，，，．（2），，（或，．21．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ），等比数列是首项为，公比为3的等比数列，由此能求出数列的通项公式；（Ⅱ），由此利用裂项求和法能求出．【解答】解：（Ⅰ）数列中，，数列是等比数列，且公比，，等比数列是首项为，公比为3的等比数列，，数列的通项公式为；（Ⅱ）设，记数列的前项和为，则，．22．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）3．【分析】（Ⅰ）根据等差数列的基本公式和性质列方程组求解，，从而得通项公式；（Ⅱ）根据等比数列的基本量求解通项公式，从而得前项和为，解不等式即可得结论．【解答】解：（Ⅰ）由题可得：，所以；（Ⅱ）设等比数列的公比，则，因为，，所以，，若，则，解得，即的最大值为3．23．【答案】（1）详见解答过程；（2）详见解答过程．【分析】（1）结合等差数列的性质及求和公式可求出，再由等差数列的定义即可判断；（2）利用反证法，结合等比数列的性质即可判断．【解答】（1）证明：因为数列为等差数列，，，所以，，则，则，，故数列是以1为首项，以为公差的等差数列；（2）假设数列中的任意不同的三项，，构成等比数列，则