专题40 圆的方程（优练）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题40圆的方程

一．选择题（共10小题）1．（2025•海淀区二模）圆心坐标为，且与轴相切的圆的方程为A． B． C． D．2．（2021秋•西夏区期中）方程表示的曲线为A．一条线段和半个圆 B．一条线段和一个圆 C．一条线段和半个椭圆 D．两条线段3．（2025春•沙坪坝区期末）下列方程一定表示圆的是A． B． C． D．4．（2025•眉山三模）方程表示圆，则实数的取值范围是A．， B． C．， D．5．（2025春•四川期末）若直线被圆截得的弦长为，则A． B． C．2 D．6．（2025春•沙坪坝区期末）若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是A． B． C． D．7．（2025春•荆门期末）设直线，圆，则与圆A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能8．（2025•碑林区模拟）已知圆，为轴上的一个动点（异于原点），过点作圆的两条切线，切点分别为，，且，的中点为，点，则的最大值为A．4 B．5 C．6 D．79．（2025春•湖南期末）直线与圆相交于，两点，当△面积最大时的值为A．2 B．3 C．4 D．10．（2025春•安徽期末）已知点在曲线上，点在直线上，则，两点距离最小值为A． B． C． D．二．多选题（共4小题）（多选）11．（2024秋•新城区期末）已知直线和圆，则下列说法正确的是A．直线恒过点 B．直线与圆恒有两个交点 C．存在实数，使得直线与直线垂直 D．直线被圆截得的最短弦长为（多选）12．（2025春•四川期末）已知圆和直线，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点，，则下列说法正确的是A．切线长的最小值为 B．四边形面积的最小值为4 C．当最小时，弦所在的直线方程为 D．弦所在直线必过定点（多选）13．（2025春•商水县期末）已知圆，直线，则下列说法正确的是A．当时，被圆截得的弦长为 B．恒过点 C．当被圆截得的弦长最大时，的斜率为 D．被圆截得的弦长的最小值为（多选）14．（2025春•郑州期末）已知圆，直线，则A．直线过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为 D．直线与圆相交于、两点，不可能为三．填空题（共4小题）15．（2025春•红河州期末）已知圆的圆心坐标为，则的半径为．16．（2025春•汨罗市期末）在圆上有且仅有两个点到直线的距离为1，则的取值范围为．17．（2025春•湖南期末）已知直线，圆，若直线与圆交于，两点，则的取值范围为．18．（2025春•河西区月考）已知圆与圆相交于点、，若弦长，则．四．解答题（共6小题）19．（2025春•沙坪坝区期末）已知圆．（1）求圆关于直线的对称圆的标准方程；（2）若经过点的直线将圆分成两段圆弧，其弧长的比为，求直线的方程．20．（2025春•黄浦区期末）已知圆（1）若直线，，，经过圆心，求的最大值．（2）若直线过点且与圆有且仅有一个公共点，求该直线的方程．21．（2025春•松江区期末）已知△的三个顶点分别为，，，直线经过点．（1）求△外接圆的方程；（2）若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程．22．（2024秋•新城区期末）已知点和点是圆直径的两个端点．（Ⅰ）求圆的标准方程；（Ⅱ）过点作圆的切线，求切线的方程．23．（2025•眉山三模）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上．（1）求圆心为的圆的一般方程；（2）已知，为圆上的点，求的最大值和最小值．24．（2024秋•天津期末）已知圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点．（1）求圆的方程；（2）已知直线与圆相交于，两点，求的面积．

一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DABDCCCCCB二．多选题（共4小题）题号11121314答案BCDBDBCDAD一．选择题（共10小题）1．【分析】圆心坐标为，且与轴相切的圆的半径，由此能求出圆的方程．【解答】解：圆心坐标为，且与轴相切的圆，圆半径，圆心坐标为，且与轴相切的圆的方程为．故选：．2．【答案】【分析】由原方程可得或，进一步求出的轨迹得答案．【解答】解：由方程得或，方程表示一条线段和半个圆．故选：．3．【答案】【分析】利用二元二次方程表示圆的充要条件逐项判断．【解答】解：对于，方程表示点，所以不是圆；对于，方程化为，此方程表示圆，且圆心坐标为，半径为，所以是圆；对于，当时，方程表示点，所以不是圆；对于，方程化为表示两条平行直线，所以不是圆．故选：．4．【答案】【分析】将方程按照，分别配方，利用圆的标准方程即可得到不等式，解之即得．【解答】解：由配方得：，方程表示圆，则，解得．故选：．5．【答案】【分析】根据圆的方程求出圆心和半径，再根据直线截圆弦长公式求解参数的值．【解答】解：根据题意，圆，则圆心为，半径为2．设圆心到直线距离为：．因为直线与圆截得的弦长为．则有，变形可得，又由，解得：．故选：．6．【答案】【分析】根据圆的一般式求出圆心和半径，且半径大于0，圆心位于第四象限，即可求出实数的取值范围．【解答】解：方程，即，故圆心为，半径，所以，解得．故选：．7．【答案】【分析】根据点到直线的距离公式判断直线与圆的位置关系．【解答】解：由题意直线，圆，可得圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离，故直线与圆相离．故选：．8．【答案】【分析】由题意可知，从而得到点的轨迹为是以为直径的圆（去掉，两点），再根据圆外一点到圆上距离最大值即为圆外一点与圆心距离加上半径即可求解．【解答】解：根据题意可知，圆，如图，圆的圆心为，半径为2，则圆与轴相切，切点为原点，即为，又为的中点，则，所以点的轨迹是以为直径的圆（去掉，两点），其中圆心为，半径为1，又，所以．故选：．9．【答案】【分析】利用三角形面积公式，以及正弦函数的性质即可求得结果．【解答】解：由题意直线与圆相交于，两点，可知，圆的圆心为，半径，因为△面积，当且仅当，即△为等腰直角三角形时，等号成立，此时圆心到直线的距离，所以．故选：．10．【答案】【分析】由题可知，当曲线在点处的切线与平行时，两平行直线间的距离为，两点距离最小值．【解答】解：由题意点在曲线上，点在直线上，将曲线可化为，则，设，，当曲线在点处的切线与平行时，两平行直线间的距离为，两点距离最小值，令，，即，所以曲线在点处的切线方程为，即，此时，的距离最小值为直线与直线的距离：．故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】【分析】求解直线系经过的定点，判断；判断定点与圆的位置关系判断；利用垂直求解，判断；求解弦长的最小值判断．【解答】解：直线化为，可知直线系恒过点，所以不正确；圆，可知，所以定点在圆的内部，所以正确；实数时，直线与直线垂直，所以正确；直线被圆截得的最短弦长为，所以正确．故选：．12．【答案】【分析】根据圆的标准方程得出圆心为，半径为2，由圆切线的性质及勾股定理得，再根据点到直线的距离公式得出，即可判断；结合的结论得出即可判断；结合的结论，根据两直线交点，中点公式及点斜式方程求得弦所在的直线方程，即可判断；设，得出以为直径的圆的方程，与圆方程相减即可得出弦所在直线方程，进而求得定点，即可判断．【解答】解：对于选项，圆，可知圆的圆心为，半径为2，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点，，可得，，，，，故选项错误；对于选项，，四边形面积的最小值为4，故选项正确；对于选项，当最小时，，则直线的斜率为，又，直线的斜率为1，的直线方程为，即，由，解得，，即，当最小时，，△为等腰直角三角形，中点即为中点，的中点为，弦的中点为，弦所在的直线方程为，即，故选项错误；对于选项，设，则以为直径的圆的方程为，展开得①，圆的方程为，即②，①②得弦所在直线方程为，即，是直线系方程，令，解得，弦所在直线必过定点，故选项正确．故选：．13．【答案】【分析】对于：根据直线过定点分析判断；对于、、：根据题意结合圆的性质运算求解．【解答】解：对于：当时，直线，圆，可得圆心，圆心到直线的距离，故被圆截得的弦长为，故错误；对于：直线可化为，令，解得，所以直线恒过定点，故正确；对于：因为，即点在圆内，当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，此时，解得，此时的斜率为，故正确；对于：当直线时，直线被圆截得的弦长最短，，直线的斜率为1，此时直线的方程是，圆心到直线的距离为，所以直线被圆截得的弦最短弦长为，故正确．故选：．14．【答案】【分析】将直线的方程变形后得到方程组，求出直线恒过定点的坐标，可判断；利用勾股定理求出圆被轴截得的弦长，可判断；当直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短，求出直线的斜率，可得出直线的方程，可判断；假设，可求出圆心到直线的距离为，再结合点到直线的距离公式判断即可，可判断．【解答】解：对于，直线变形为，令，解得，所以直线恒过定点，故正确；对于，圆的圆心为，半径为，所以圆心到轴的距离为1，所以圆被轴截得的弦长为，故错误；对于，当直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短，因为，，所以，此时直线的斜率为，方程为，故直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为，故错误；对于，若，则圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式可得，整理可得，则△，该方程无解，所以不可能为，故正确．故选：．三．填空题（共4小题）15．【答案】2．【分析】根据圆的一般方程配方得到圆的标准方程，求出圆心坐标的表达式，求出、，进而计算出半径即可．【解答】解：由题意圆的圆心坐标为，可将化为，因为圆心坐标公式为，所以，，所以的半径为．故答案为：2．16．【答案】，，．【分析】求出圆的圆心与半径，求出圆心到直线的距离，利用已知条件列出不等式，转化求解即可．【解答】解：圆的圆心坐标为：，半径为：2．圆心到直线的距离：，圆上有且仅有两个点到直线的距离为1，可得即，解得，，，故答案为：，，．17．【答案】．【分析】判断直线过定点，根据点在圆内，即可判断取到最大以及最小值时的情况，即可求答案．【解答】解：由题意直线，圆，直线与圆交于，两点，可得圆的圆心，半径为，直线过定点，，故点在圆内，当直线过圆心时，弦长最大，为直径，当直线与垂直时，弦长最小，此时的最小值为，故的取值范围为．故答案为：．18．【答案】0或．【分析】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，然后根据圆的弦长公式算出点到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出的值，即可得到本题的答案．【解答】解：圆与圆方程相减，化简得，即为直线的方程．圆的圆心为，半径，设点到直线的距离为，则，解得，所以，解得或．故答案为：0或．四．解答题（共6小题）19．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）求出圆心关于直线的对称点，进而求出圆的标准方程；（2）由给定条件求出直线将圆分成劣弧所对圆心角，再求出圆心到直线距离，进而分情况求出直线方程．【解答】解：（1）根据题意可知，圆，化为标准式圆的圆心，半径，设点关于直线对称点，则，解得，，而圆的半径为2，所以圆的标准方程为；（2）由直线将圆分成两段圆弧，其弧长的比为，得分成的劣弧所对圆心角为，圆心到直线的距离，直线过点，且点到该直线距离为1，则直线可以为；当直线的斜率存在时，设方程为，即，由，解得，方程为，即，所以直线的方程为或．20．【答案】（1）．（2）或．【分析】（1）由圆的方程确定圆心坐标和半径，根据条件可得，结合基本不等式求的最大值；（2）先验证过点斜率不存在直线满足条件，再由直线与圆有且只有一个交点结合几何关系列方程求，由此可得结论．【解答】解：（1）圆的圆心坐标为，半径，直线经过圆心，，又，，，当且仅当时等号成立，即，的最大值为；（2）过点的斜率为的直线方程为，若直线与圆有且只有一个交点，则点到直线距离为1，，化简可得，解得，即直线方程为，若直线过点且与圆有且仅有一个公共点，则该直线方程为．过点斜率不存在的直线为，联立，可得，直线与圆有且只有一个交点，满足条件．综上，该直线方程为或．21．【分析】（1）先判断三角形的形状为等腰直角三角形，则圆心为斜边的中点，半径为斜边的一半可以得到圆的方程；（2）先根据弦长求出弦心距，再考虑直线斜率是否存在，分别判断直线是否符合要求，最后得到两条直线方程．【解答】解：（1）因为，，，所以，，所以，所以，又因为，所以△是等腰直角三角形，所以的圆心是的中点，即圆心，半径，所以的方程为；（2）因为圆的半径为2，当直线截圆的弦长为时，圆心到直线的距离为，①当直线与轴垂直时，此时直线斜率不存在，直线为，与圆心的距离为1，满足条件；（2）当直线的斜率存在时，设，即，则圆心到直线的距离为，解得，此时直线的方程为，即，综上可知，直线的方程为或．22．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）由，的坐标可得中点的坐标，进而可得以为直径的圆的半径的大小，求出圆的方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得直线的斜率，进而可得过点的切线的斜率，求出过点的切线方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得的中点，则圆心，半径，所以圆的标准方程为：；（Ⅱ）因为，所以切线的斜率为，所以过点的切线方程为，即切线的方程为：．23．【分析】（1）由和的坐标，求出直线的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为求出线段垂直平分线的斜率，再由和的坐标，利用线段中点坐标公式求出线段的中点坐标，由中点坐标和求出的斜率，得出线段垂直平分线的方程，与直线联立组成方程组，求出方程组的解集得到圆心的坐标，再由和的坐标，利用两点间的距离公式求出的值，即为圆的半径，由圆心和半径写出圆的标准方程即可．（2）先确定点在圆外，求得可求的最大值