专题53 二项式定理（优练）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题53二项式定理

一．选择题（共10小题）1．（2025春•长春期末）已知的展开式中含有常数项，则n的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．72．（2025春•农安县期末）展开式中的系数是A．15 B． C．30 D．3．（2025春•红河州期末）已知的展开式的各二项式系数的和为64，则展开式中常数项为A．40 B． C． D．604．（2025春•碑林区期末）的展开式中常数项为A． B．160 C． D．5．（2025春•龙岗区期末）的展开式中的系数为A．6 B． C．12 D．6．（2025春•安徽期末）已知二项式的展开式中的系数是10，则实数A． B．1 C． D．27．（2025春•安徽期末）已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数之比为，则展开式中的有理项的项数为A．2 B．3 C．4 D．58．（2025•巴中模拟）在展开式中，的偶数次幂的项的系数和为A．32 B． C．16 D．249．（2025春•延庆区期末）若，则A．0 B． C．81 D．8010．（2025春•河北期末）设，若，则A．1 B． C．3 D．二．多选题（共4小题）（多选）11．（2025春•石家庄期末）若展开式中二项式系数和为64，则下列说法正确的是A． B．所有项的系数和为 C．展开式中的有理项共有3项 D．第三项的二项式系数最大（多选）12．（2025春•株洲期末）已知，则A． B． C． D．（多选）13．（2025春•泰安期末）已知的展开式中，第三项与第十一项的二项式系数相等，则下列选项正确的是A． B．所有项系数的和为1 C．二项式系数最大的项为第6项 D．有理项共有3项（多选）14．（2025春•泉州期末）已知，则A． B． C．的展开式的二项式系数之和为 D．三．填空题（共4小题）15．（2025春•天津期末）在的展开式中，常数项为．16．（2025春•沙坪坝区期末）已知，则．17．（2025春•大兴区期末）已知，则．18．（2025•浦东新区模拟）已知的展开式中各项系数和为27，则含项的系数为．（结果用数值表示）四．解答题（共6小题）19．（2025春•雅安期末）在的展开式中：（1）若，求的系数；（2）若展开式的二项式系数和为32，求展开式的系数和．20．（2025春•福清市期末）已知．（1）求的值；（2）求的值．21．（2025春•西宁期末）已知的展开式中第项为，且第三项和第九项的二项式系数相等．（1）求的值，并求二项式系数的最大值；（2）求第四项的二项式系数与系数；（3）的展开式中第几项的系数最大？并求系数的最大值．22．（2025春•沧州期末）已知二项展开式．（1）求的值；（2）求的值．23．（2025春•广东期末）已知在的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比值为2．（1）求的值；（2）求展开式中含的项．24．（2025春•天津期末）已知的展开式中，前三项的二项式系数和为56．（1）求展开式中各项系数的和；（2）求展开式中的常数项；（3）求展开式中二项式系数最大的项．

一．选择题（共10小题）题号12345678910答案AADCDBCDBD二．多选题（共4小题）题号11121314答案ABACDBDABD一．选择题（共10小题）1．【答案】A【分析】结合二项展开式的通项即可求解．【解答】解：由题意可得，Tr+1＝＝，令3n﹣4r＝0，则r＝，故当r＝3时，n取得最小值4．故选：A．2．【答案】【分析】利用二项式定理求解．【解答】解：展开式的通项公式为，，1，2，3，4，5，6，令，解得，则的系数是．故选：．3．【答案】【分析】利用二项式系数的性质求出值，再利用二项式展开式的通项公式求出常数项作答．【解答】解：依题意，，解得，于是二项式的展开式通项公式为，令，得，则，所以其展开式中常数项为60．故选：．4．【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求出的值，即可求得常数项．【解答】解：的展开式的，当时，即时，的展开式为常数项：．故选：．5．【答案】【分析】根据二项展开式的通项公式即可求解．【解答】解：的展开式中的系数为．故选：．6．【答案】【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于，求得的值，即可求得展开式中的的系数，从而求得的值．【解答】解：二项式的展开式中的通项公式为，令，可得，故的系数是，故，故选：．7．【答案】【分析】根据第项的二项式系数为，求出，再根据二项展开式的通项，即可求出其有理项．【解答】解：已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数之比为，则，又，所以，则展开式通项为，令，则，3，6，9，所以展开式中有4项的有理项．故选：．8．【答案】【分析】利用赋值法求解即可．【解答】解：设，令可得，即，令可得，即上述两式子相加得，，故展开式中，的偶数次幂的项的系数和为24．故选：．9．【答案】【分析】求出二项式的展开式的通项公式，分别令的指数为1，2，3，4，求出，，，，进而可以求解．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为，，1，2，3，4，令，则，则，令，则，则，令，则，则，令，则，则，所以．故选：．10．【答案】【分析】令，可得，解出的值即可即．【解答】解：设，令，则可得．又，则．故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】【分析】根据二项式系数和公式，结合代入法、二项式的通项公式逐一判断即可．【解答】解：：由题意可得二项式系数和为，解得，故正确；：在中，令，所有项的系数和为，故正确；：二项式的展开式的通项公式为，当，2，4，6时，对应的项都是有理项，共有4项，故不正确；：二项式的展开式共有7项，根据二项式系数的性质可知：第四项的二项式系数最大，故不正确．故选：．12．【答案】【分析】利用赋值法求二项展开式的系数即可．【解答】解：对于，令，得，故正确；对于，令，得，故错误；对于，令，得，结合选项可得，故正确；对于，令，，故正确．故选：．13．【答案】【分析】对于，由得即可判断；对于，令即可验算；对于，由二项式系数的增减性即可判断；对于，由二项式展开式即可判断．【解答】解：由题意，解得，错误；在中，令，可得，即所有项系数的和为1，正确；二项式系数最大的项为第7项，错误；二项式展开式通项公式为，所以第项为有理项，当且仅当，6，12，故有理项共有3项，正确．故选：．14．【答案】【分析】令得即可判断，利用二项式定理的通项公式求即可判断，二项式系数之和为即可判断，令和即可求即可判断．【解答】解：由，令有，故正确；由，故正确；的展开式的二项式系数之和为，故错误；令有，令有，两式相加有，故正确．故选：．三．填空题（共4小题）15．【答案】．【分析】求出展开式的通项公式，令的指数为0，进而可以求解．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为，，1，2，3，4，令，解得，则常数项为．故答案为：．16．【答案】15．【分析】由二项式定理，结合二项式展开式的通项公式及赋值法求解即可．【解答】解：已知，令，则，又，则．故答案为：15．17．【答案】41．【分析】利用赋值法求解．【解答】解：令，可得，令，可得，两式相加得：，则．故答案为：41．18．【答案】12．【分析】根据各项系数和求得，根据二项式展开式的通项公式求得指定项的系数．【解答】解：令，得的展开式中各项的系数和为，解得，则，展开式的通项为：，当时，可得展开式中含项的系数为：．故答案为：12．四．解答题（共6小题）19．【答案】（1）280；（2）243．【分析】（1）直接利用二项式的展开式求出结果；（2）利用赋值法的应用求出结果．【解答】解：（1）若，故展开式中的系数为；（2）展开式的二项式系数和为32，故，解得；令，故展开式的系数和为．20．【答案】（1）80．（2）242．【分析】（1）法一：写出通项公式，得到，得到答案；法二：写出的展开式，得到；（2）法一：赋值法得到，，求出答案；法二：写出的展开式，得到，，，，，求出答案．【解答】解：（1）法一：由通项公式，得，令得，，则．法二：由二项式定理，得，则．（2）法一：因为，所以令，得，令，得则．法二：由二项式定理，得因为所以，，，，，所以．21．【答案】（1），最大值为252；（2）二项式系数：120，系数：960；（3）第8项的系数最大，最大值为15360．【分析】（1）首先由第三项与第九项的二项式系数相等的条件可得：，求出的值，进而求解二项式系数的最大值；（2）直接根据二项式定理的通式进行求解即可；（3）首先由，得：，进而可知，2，3，4，5，6，时，，，9，时，，从而确定第8项的系数最大，进而求解出系数的最大值．【解答】解：（1）已知的展开式中第项为，且第三项和第九项的二项式系数相等．即，故；因为10是偶数，故二项式系数的最大值为，（2），故，所以第四项的二项式系数为，系数为；（3）因为，故，因为，令，得：因为是正整数，故，2，3，4，5，6，时，；，9，时，，所以第8项的系数最大，最大值为．22．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用赋值法可得系数和的值，即可求解；（2）先构造二项式展开，再得相应系数的正负，然后去绝对值，即可用赋值法求对应系数和．【解答】解：（1）由题意令，可得，令，可得，所以；（2）展开式的通项为，，1，，2025，当为偶数时，；当为奇数时，，所以，令，则，即．23．【答案】（1）8；．（2）．【分析】（1）根据题意，利用展开式的二项式系数，列出方程，即可求解；（2）由（1），求得展开式的通项，确定的值，代入计算，即可求解．【解答】解：（1）由题意可知：，解得．（2）由（1）知，二项式展开式的通项为，令，解得，所以展开式中的项为．24．【答案】（1）1；