现代控制理论 课件 第七章 线性离散时间系统的状态空间分析

第七章

线性离散时间系统的状态空间分析

主讲：伍锡如线性离散时间系统的状态空间分析如何从差分方程或系统函数推导出状态空间模型，以及状态空间描述的等价变换，如状态变量的非唯一性和状态空间模型的规范化。通过迭代法、矩阵指数法以及状态转移矩阵等方法，高效地求解状态方程，进而预测系统在未来时刻的状态。可观性与可观测性是评估系统能否通过输出信息完全确定其内部状态的关键指标。本章内容分为三个核心部分，旨在构建一个从理论到实践的完整框架，帮助掌握线性离散时间系统的状态空间描述、求解方法以及系统性能分析的关键技能。1237.1.线性系统的状态空间描述7.2.线性离散时间系统状态方程的解7.3.线性离散时间系统的可观性与可观测性第七章目录CONTENTS7.1线性系统的状态空间描述7.1.1状态空间表达式的一般形式7.1.2离散化在连续时间系统状态空间中的定义7.1引言在现代控制理论中，系统的行为是由状态空间表达式来描述的。描述了系统的状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量之间关系的数学表达式被称为状态方程。描述系统的输出变量与状态变量、输入变量之间关系的数学表达式被称为输出方程。系统的状态方程和输出方程就构成了一个系统的状态空间表达式(状态空间描述)，也称为系统的动态方程。7.1.1状态空间表达式的一般形式在现代控制理论中，系统的行为是由状态空间表达式来描述的。考虑一个基本的单输入线性时不变n阶系统，它应有规个独立的状态变量，假设这n个状态变量为x1(t)，x2(t),…，xn(t)，系统的输入为u(t)，根据系统的动态特性，可以得到如下n个微分方程，即……7.1.1状态空间表达式的一般形式这种描述了系统的状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量之间关系的数学表达式被称为状态方程。进一步，可以把这个系统的转台方程写成如下矩阵形式，即定义矩阵A为系统n*n阶的系统矩阵，b为系统的n*1阶输入矩阵(控制矩阵)，显然，对于n个输入的多输入系统，b输入矩阵是n*n阶的。假设上述系统是单输出系统，用y(t)表示系统输出，它的输出方程可以写成:对应的矩阵形式为:式中：c为系统的1*n阶输出矩阵(观测矩阵)；d为1*1阶前馈矩阵(输入输出传递矩阵)。对于多输入多输出系统，系统的输出矩阵式和前馈矩阵均为n*n阶。到此为止，系统的状态方程和输出方程就构成了一个系统的状态空间表达式(状态空间描述)，也称为系统的动态方程。由上面两个式子描述的单输入单输出系统的结构图如下图所示。图中所示，I为单位阵，s为拉普拉斯算子，I/s方框代表了n个积分器。值得注意的是，在矢量矩阵乘法中，通常顺序是不能任意颠倒的。7.1.1状态空间表达式的一般形式延时符（1）根据系统机理建立状态空间表达式对于一个实际系统，可以按照系统运行所遵循的机理建立相应的数学方程组，然后选择相关的状态变量，化为系统的状态空间表达式。（2）根据其他形式的数学模型建立状态空间表达式对于线性定常连续系统而言，微分方程和传递函数是常见的两种数学模型。因此，可以从系统已有的其他数学模型导出其状态空间表达式，从而揭示系统内部的重要特性。7.1.1状态空间表达式的一般形式1、状态空间表达式的建立：延时符a.由微分方程建立状态空间模型系统输入项中不含导数项，在这种情况下，一个单输入—单输出n阶线性时不变系统可用如下微分方程描述，即若选择状态变量，，则可以得到如下方程组，即7.1.1状态空间表达式的一般形式（2）根据其他形式的数学模型建立状态空间表达式延时符令可以进一步得到方程组的矩阵-矢量形式：系统状态变量图7.1.1状态空间表达式的一般形式例1已知系统的微分方程为

，试选择状态变量，并写出状态空间表达式。解：

选择状态变量，则有

状态空间表达式为：

7.1.1状态空间表达式的一般形式a.由微分方程建立状态空间模型系统输入项中含有导数项，这种情况下的单输入单输出纪阶线性时不变系统可用如下微分方程描述，即选择如下一组状态变量，即式中：是n个待定常数。对xn求导并考虑方程，可以得到将均用及u的各阶导数替换，可以得到7.1.1状态空间表达式的一般形式若令

……可以得到系统的状态空间表达式为7.1.1状态空间表达式的一般形式例2

已知系统的微分方程为

，试选择状态变量，并写出状态空间表达式。解：选择状态变量，其中

则状态空间表达式为7.1.1状态空间表达式的一般形式延时符b.由系统传递函数建立状态空间模型单输入单输出线性时不变系统的传递函数模型可以表示为应用综合除法可将上式化为式中：bn描述了输入输出之间的直接转移关系，即为系统状态空间模型中的输入输出矩阵。7.1.1状态空间表达式的一般形式（2）根据其他形式的数学模型建立状态空间表达式当G(s)的分母阶数大于分子阶数时，则

若等是严格有理真分式，其分子各次项的系数7.1.1状态空间表达式的一般形式……因此，系统状态空间模型中的剩余三个系数矩阵均由严格有理真分式确定。的串联分解形式：取中间变量Z，将分解为如下图所示的串联结构，则满足延时符图为

的串联分解结构：若取状态变量则系统的状态方程可以表示为7.1.1状态空间表达式的一般形式延时符可以得到系统状态空间表达式的矩阵-矢量形式为其中注意：若系统的状态空间表达式中，A、b矩阵如以上这种形式，则称A矩阵为友矩阵，并把此状态空间表达式叫做能控标准型。7.1.1状态空间表达式的一般形式延时符若选取状态变量为则系统的状态空间模型为此时，状态方程中的A矩阵为友矩阵的转置矩阵，把A、c矩阵具有以上这种形式的状态空间表达式称为能观标准型。7.1.1状态空间表达式的一般形式延时符例3

设二阶系统微分方程为，试列写能控标准型、能观测标准型动态方程，并分别确定状态变量与输入、输出量的关系。解：由微分方程可以得到系统的传递函数为因此，系统的能控标准型动态方程的各矩阵为引入中间变量z将系统串联分解得到7.1.1状态空间表达式的一般形式b.由系统传递函数建立状态空间模型延时符对y求导并考虑上述关系式，则有令，可导出状态变量与输入、输出量的关系为能观测标准型动态方程中各矩阵为状态变量与输入、输出量的关系为D(s)中只含单实数极点：设为系统的单极点，则7.1.1状态空间表达式的一般形式延时符因此，系统的传递函数可以表示为其中为在极点处的留数。若取状态变量为7.1.1状态空间表达式的一般形式延时符可以得到系统的状态空间表达式为若取状态变量为可以得到系统的状态空间表达式为7.1.1状态空间表达式的一般形式延时符例4

设系统传递函数为，试写出状态空间表达式。解：系统的传递函数可以表示为采用留数法求上式中的各待定系数，即可得系统的状态空间表达式为7.1.1状态空间表达式的一般形式和连续系统一样，离散系统也可以用状态空间法描述。在经典控制理论中，离散系统通常用差分方程或脉冲传递函数来描述。线性离散系统的动态方程可以利用系统的差分方程建立，可以将线性连续系统动态方程离散化得到。132由差分方程或传递函数建立动态方程由连续系统离散化建立动态方程线性定常离散动态方程的解7.1.2在连续时间系统状态空间中的定义1、由差分方程或传递函数建立动态方程延时符设单输入单输出线性定常离散系统的差分方程的一般形式为对上式两端取Z变换，并整理可得脉冲传递函数为上式与线性变换的形式上相同，故可将连续系统动态方程的建立方法用于离散系统。7.1.2在连续时间系统状态空间中的定义延时符考虑零初始条件，利用Z反变换关系和，可以得到动态方程的矩阵矢量形式为并简记为7.1.2在连续时间系统状态空间中的定义延时符已知线性定常连续系统状态方程在x(t0)及u(t)作用下的解为令，则；令，则；并假定在区间内，u(T)=u(KT)=常数，且采样时间间隔相等，则其解化为记7.1.2在连续时间系统状态空间中的定义2、由连续系统离散化建立动态方程延时符采用变量代换可以得到故离散化状态方程为式中：与连续状态转移矩阵的关系为离散化输出方程仍为7.1.2在连续时间系统状态空间中的定义延时符例5

设线性定常连续时间系统的状态方程如下,试将该连续系统的状态方程离散化(采样周期T=0.1s)。解：计算系统的状态转移矩阵，即可得离散时间系统的系数矩阵，即将T=0.1s代入得7.1.2在连续时间系统状态空间中的定义延时符故系统离散化状态方程为7.1.2在连续时间系统状态空间中的定义延时符求解离散系统运动的方法主要有两种方法：Z变换法和递推法，由于后者特别适合计算机计算，且对非线性系统、时变系统都适用，因此，这里用递推法求解系统响应。令状态方程式

中的，可得到时刻的状态，即7.1.2在连续时间系统状态空间中的定义3、线性定常离散动态方程的解延时符输出方程为于是，线性定常离散系统的解为7.1.2在连续时间系统状态空间中的定义7.2线性离散时间系统状态方程的解7.2.1递推法7.2.2z变换法延时符随着系统理论研究领域的扩大和计算机的普及,离散时间系统已逐渐成为系统与控制理论中的一类主要研究对象。对离散时间线性系统的运动分析数学上归结为求解时变或定常线性差分方程。相比于连续时间系统的微分方程形状态方程,离散时间系统的差分方程形状态方程的求解,既在计算上简单得多也更宜于采用计算机进行计算。离散时间系统的差分方程形状态方程有两种解法:递推法(迭代法)和z变换法。递推法对于定常系统和时变系统都是适用的,而z变换法则只能用于定常系统。7.2引言

思路：从初值出发，按照差分方程一步一步地递推出输出序列。该方法特别适合用于计算机求解，是差分方程的最基本方法。考虑离散时间系统，对时变情形系统状态方程为对应常定系统状态方程为在方程式中一次令k=0，1，2，…，可递推求得其中

是给定问题的时间区间的时刻，当给定初始状态x(0)和输入信号序列u(0),u(1),…,u(l-1)即可得

。7.2.1递推法对于定常系统，G和H都是常值矩阵，于是可得以下一系列方程：继续下去，运用归纳法，可以得到递推求解公式方程式称为线性定常离散时间系统的状态转移方程。在此说明两点：（1）容易看出,离散时间系统状态转移方程与连续系统状态转移方程是相对应的且十分类似的,也是必然的结果。它由两部分组成:第一部分是由初始状态所引起的零输入响应(即所谓自由分量);第二部分是由控制输入作用所引起的零状态响应(即所谓强制分量)。（2）第k个采样时刻的状态只取决于此时刻之前的k一1个输入采样值,而与第k个输入采样值及以后的采样值无关。7.2.1递推法

方程式中的G称为线性离散时间定常系统的状态转移矩阵，记

为,与连续系统状态转移矩阵相对应地有如下性质。它满足矩阵差分方程和初始条件利用状态转移矩阵可改写为或7.2.1递推法对于线性定常离散时间系统，还可采用z变换法来求解状态方程。设定常离散时间系统的状态方程是对上式两边进行z变换，可得整理后则有作z变换得到x的离散序列由解的唯一性，比较应有7.2.2z变换法7.2.2z变换法解

用递推法，本题的u(k)是标量例6

系统的状态方程是初始条件为试求当u(k)=1时，状态方程的解。可以递推下去，直到所要求计算的时刻为止。所得结果时x(k)的离散序列，但是比较繁琐的计算，可以得到状态的离散序列表达式为：7.2.2z变换法用z变换法，先计算,有所以7.2.2z变换法再计算

，因

，所以

。将它们代入，得取z变换，得7.3线性离散时间系统的可观性与可观测性7.3.1离散系统的可控性7.3.3采样周期对离散化系统可控性和可观测性的影响7.3.2离散系统的可观测性7.3引言

系统的可控性与可观测性，属于系统的定性分析问题。可控性，是研究和讨论系统中的状态变量是否能被控制，以便能对系统实施最优控制策略;可观测性，是要回答系统中的状态变量能否从输出量中观测出来，以便能对系统实施状态反馈。因此，在现代控制理论中，它们是两个重要的概念，也是设计最优控制系统和最优估计的理论基础。这两个重要的概念是由卡尔曼(Kalman)在20世纪60年代初提出的。

（2）离散系统的可控性判据：

对于n阶线性定常离散系统，

若存在一控制作用序列

将某个任意初始状态

在第1步上到达零状态，即

，则称此状态是可控的。若系统所有状态都是可控的，则称此系统是状态完全可控的，或简称系统是可控的。（1）离散系统的可控性定义：线性定常离散系统为完全可控的充分必要条件是其可控性判别矩阵满秩，即7.3.1离散系统的可控性证明：上面推导表明，欲使系统的任意初始状态x(0)在第l步上转移到零状态，其状态方程的G、H阵满足上式的条件。离散系统状态方程求解公式为

设在第l步上能使初始状态转移到零，于是上式便可写成即写成矩阵形式这是一个非齐次线性方程，由线性方程解的存在性定理知，欲解出控制矢量序列的充分必要条件是该方程的矩阵的秩等于n,即7.3.1离散系统的可控性（2）离散系统的可观测性判别：

对于线性定常离散系统，

若能够根据在有限个采样瞬间上量测到的

，即

。可以唯一确定出系统的任意初始状态，则称系统是状态可观测的。（1）离散系统的可观测性定义：线性定常离散系统式完全能观测的充分必要条件是可观测判别矩阵满秩，即7.3.2离散系统的可观测性证明：

根据状态方程的求解公式，从0到n-1各采样顺势的观测值为写成矩阵形式或写成

。

这是一个含有n个未知数的mn个方程的线性方程组，

有唯一解的充分必要条件是其系数比较连续矩阵的秩等于n，于是定理得证。7.3.2离散系统的可观测性

一个线性连续系统在其离散化后的能控性和能观测性是否发生改变，这是在设计计算机控制系统时所需考虑的一个基本问题。

下面将通过一个具体例子的分析，引出离散系统能控性和能观测性的一些结论。

设连续系统的状态空间描述为其可控判别矩阵M和可观测判别矩阵N分别为显然，