河北省邯郸市多校2026届高三上学期联合检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省邯郸市多校2026届高三上学期联合检测数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】或，.则或，，，或.故选：A.2.复数的共轭复数记为，则（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】因为，则，所以.故选：D.3.已知向量，则下列结论正确的是（）A.“”的必要条件是“”B.“”的必要条件是“”C.“”的充分条件是“”D.“”的充分条件是“”【答案】D【解析】若，则，解得或，若，则，解得，对于A：因为，所以“”是“”的充分不必要条件，A错误；对于B：因为，所以“”是“”的充分不必要条件，B错误；对于C：当时，，所以，所以与不垂直，即“”不是“”的充分条件，C错误；对于D：当时，，因为，所以，即“”是“”的充分条件，D正确；故选：D.4.已知函数，若，则的最小值为（）A. B. C. D.4【答案】B【解析】已知函数，则函数定义域为，若，则，由于，设，则，即，，而，因为函数单调递增，所以取最小值时，有最小值，由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，所以.故选：B.5.若圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，则半径的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由圆，圆心为，半径为，则圆心到直线的距离为，因为圆上的点到直线的距离为的点有且仅有2个，所以，解得，即r的取值范围是．故选：C．6.在直四棱柱中，底面为菱形，．若该直四棱柱的体积为，则以为球心，表面积为的球面与侧面的交线长度为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】球的表面积，，设，底面为菱形，是等边三角形，则菱形面积，直四棱柱的体积，解得，取的中点，连接，是等边三角形，，直四棱柱中底面，，侧面，侧面，则，即为点到侧面的距离，球面与平面的交线为圆，设截面半径为，由球的截面的性质可得，截面圆的圆心为，半径为4，如下图所示，，为等边三角形，故，交线长度，故D正确．故选：D．7.已知函数，将图象上点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】将图象上点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，可得：，当，可得，则，因为存在唯一实数，使得，即是的子集，且唯一，由图像可知，，所以实数的取值范围为，故选：B.8.对于任意的，不等式恒成立，则实数的值为（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】令，求导得，令，得，解得，当时，，所以函数在上单调递减，当时，，所以函数在上单调递增，又，当时，，，所以存在，使得，存在，使得，当时，；当时，；当时，，对任意的恒成立，则当时，；当时，；当时，；当时，，即是方程的解，所以且又因为是的解，即的解，所以，，所以，，所以，，所以.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的有（）A.若样本数据的方差，则所有的都相等B.在做回归分析时，残差图中残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好C.以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是和D.样本数据的平均数，则样本数据的平均数为【答案】ABD【解析】对于A，令数据的平均数为，则由，可得，所以，所以，即所有的都相等，A正确；对于B，在做回归分析时，残差图中残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄，说明选用的模型拟合精度越高，表示回归效果越好，B正确；对于C，，左右两边取对数得，设，求得线性回归方程为，则，，C错误；对于D，样本数据的平均数，则对于样本数据，其平均数为，故D正确.故选：ABD.10.已知抛物线的焦点为是抛物线上两动点，下列说法正确的有（）A.抛物线的焦点坐标为B.若，则线段的中点到轴的距离为6C.以线段为直径的圆与轴相切D.以点为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切【答案】CD【解析】对于A，抛物线的准线方程为，焦点为，故A错误；对于B，设点，由抛物线的定义可得，可得，所以线段的中点到轴的距离为，故B错误；对于C，因的中点为该点到轴的距离为，故以线段为直径的圆与轴相切，故C正确．对于D，因，故以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切，即D正确．故选：CD.11.如图，在棱长为1的正方体中，点在正方形内运动（含边界）且，则下列结论正确的有（）A.点的轨迹长度大小为B.三棱锥的体积随着的位置变化而变化C.当点位于点时，异面直线与所成角最小，且最小值为D.为直线上一点，则的最小值为【答案】ACD【解析】以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则对于A，设，，因为，所以，即，因此点的轨迹为正方形内满足的线段，即线段，长度大小为，A正确；对于B，因为平面，平面，所以平面，且到平面的距离固定，设为，由上分析可知点在线段上运动时，到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为，为定值，B错误；对于C，设，，，设异面直线与所成角的余弦值为，令，，所以在上单调递减，最大值，最小值，当，异面直线与所成角的余弦值最大，异面直线与所成角最小，则，即当点位于点时，，异面直线与所成角最小为，C正确；对于D，为直线上一点，则的最小值为线段上的点到直线的距离的最小值，即异面直线与之间的距离，，设公垂向量为，则，解得，则，计算异面直线距离，则的最小值为，D正确.故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则__________.【答案】33【解析】令，得，令，得，所以.故答案为：33.13.已知双曲线的左焦点为，过原点的直线与双曲线交于两点（点位于第二象限），为的中点，直线为双曲线的一条渐近线，且，则双曲线的离心率为__________.【答案】【解析】如图，设双曲线右焦点为，连接，由题可得关于原点对称，则，则，由双曲线定义.因为中点，O为中点，则.设，因直线为双曲线渐近线，则，则，从而.又，为中点，则，将B坐标代入，可得.则，则.故答案为：.14.数列的前项和为，数列满足，若，则数列的最小项为__________．【答案】【解析】数列的前项和为，当时，，当时，，，，，记为，当时，，当时，，即，，，，，当时，，故，当时，，故，当时，，在时递减，在时递增，最小值出现在处，，故答案为：．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.设函数的图象在处的切线平行于直线，记的导函数为，数列满足：.（1）试判断数列的单调性，并给出证明；（2）当时，求证：.（1）解：数列单调递增，证明如下：，因此直线的斜率为，所以与直线平行的直线的斜率也是，，因为函数的图象在处的切线平行于直线，所以，即，，因为，所以，可得，，所以数列单调递增；（2）证明：因为，且，所以，即，，当时，.所以.16.人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为.（1）求三款中恰有两款通过算法设计评审的概率；（2）若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率；（3）经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列及数学期望.解：（1）设A，B，C三款模型通过算法设计评审为事件，A，B，C三款中恰有两款通过算法设计评审为事件，则；（2）设A，B，C三款中恰有一款通过算法设计评审为事件，则；由条件概率公式可得；（3）设A，B，C三款模型能成功上线为事件，则，，，的可能取值为，则，，，，所以X的分布列如下：0123数学期望为.17.如图，在四棱锥中，平面，是的中点.（1）求证：平面；（2）若.①求平面与平面夹角的正弦值；②在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（1）证明：取中点，为中点，，且，又，，，且，四边形为平行四边形，即，平面，平面，平面；（2）解：①平面，且，则以点为坐标原点，，，方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，得，，，，，，，，，因为平面，且平面，所以平面平面，又因为平面平面，，平面，所以平面，所以平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，令，则，，平面与平面所成角的正弦值为；②存在点满足题意，易知，，假设存在点满足题意，设，，，，设平面的法向量为，则，令，则，所以点到平面的距离，化简可得，解得或（舍去），即.18.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆的上顶点，为左焦点，为椭圆上的两点，点关于轴的对称点为为的平分线，求证：直线过定点.解：（1）双曲线方程为，转化为标准形式：，因为，所以焦点坐标为，因为椭圆与双曲线有相同的焦点，故可设其方程为且椭圆的焦点坐标为，椭圆的离心率为，所以，故，故，所以椭圆的方程为.（2）设直线、的倾斜角分别为和，则直线的倾斜角为，由题设知和均不等于，又直线的斜率为，故其倾斜角为，从而有，即，则，即，又，故，设直线、的斜率分别为、，则，设直线、的方程分别为、，设，联立，得，解得，则，故点，同理可得，由题意可知，直线的斜率存在，故设直线的方程为，代入点坐标得，化简得，同理有，故、是方程的两个根，故，解得，故直线方程为，过定点.19.已知函数.（1）求的最值；（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的值.解：（1）定义域为，，令，则因为（当且仅当时取等号），所以在上单调递增，又，所以当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为，又或时，，所以无最大值，综上，最小值为，无最大值