河北省名校联合体2026届高三上学期仿真模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省名校联合体2026届高三上学期仿真模拟考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】根据复数的几何意义，复数在复平面内对应的点为，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B.2.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为集合，，所以，故选：C.3.已知函数则（）A.0 B.1 C. D.【答案】A【解析】求导得：令，得：，解得：，因此，令，得：.故选：A.4.数学与建筑的结合造就了许多建筑艺术品，如西安交通大学的校门就是充满数学之美的建筑物，如图．若将该大学的校门内轮廓(忽略水泥建筑的厚度)近似看成双曲线的一部分，且点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】根据双曲线方程

及点

在其上，代入得：，因此双曲线标准形式为

，其中

，，焦点在

轴上，离心率

，且

，故

，故选：D.5.某校高三学生一次数学考试(满分150分，及格90分)的成绩近似服从正态分布，若该校共有1000名高三学生参加考试，且，则估计该校这次数学考试的及格人数为（）A.140 B.220 C.280 D.440【答案】B【解析】由于正态分布关于均值对称，可得：.因为

，且，所以，代入已知值：得，解得：.所以.总学生数为1000人，及格人数为：.故选：

B.6.已知公差不为0的等差数列的前n项和为，若，成等比数列，则数列的公差为（）A. B. C.1 D.3【答案】A【解析】设等差数列的公差为，，解得.因为成等比数列，所以，即，代入，可得，即，解得或，因为公差不为0，所以，故选：A.7.第五届世界生物圈保护区大会于2025年9月在杭州举办，大会围绕生物圈保护区相关议题展开研讨，对推动全球生态保护和可持续发展具有重要意义．某生物圈保护区内的某种濒危鸟类的数量逐年增长，其数量N(单位：只)与年份t(t=0表示2020年)的关系满足其中为2020年的初始数量．已知2025年该鸟类的数量约为600，则2020年该鸟类的初始数量约为（）参考数据：A.343 B.360 C.387 D.400【答案】C【解析】2025年对应，代入得.故，，则.故选：C.8.已知是定义在R上的奇函数，且，则关于x的不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，.令，则，所以在R上单调递增，再将不等式变形，，即，即.又是定义在R上的奇函数，所以，所以，即是R上的奇函数.所以不等式等价于，再由在R上单调递增，所以不等式等价于，即，解得.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，在梯形中，，．且为的中点．若，，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】对于A：，故选项A正确；对于B：由

知

在

上，且

，则

，计算得：，故选项B错误；对于C：

为

中点，则

，于是：，故选项C正确；对于D：

，其中

，则：，故选项D正确.故选：ACD.10.有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光．”现有甲、乙、丙、丁4位游客慕名来到江西旅游，准备从庐山、三清山和龙虎山三个著名旅游景点中随机选择一个景点游玩，每个景点至少有一位游客前往．事件表示“游客甲前往庐山游玩”，事件表示“游客乙前往三清山游玩”，则（）A. B.C. D.事件与不独立【答案】BCD【解析】先将4人分成2、1、1三组，共种分法，再将三组分配给三个景点，共种分法，一共有种分法.事件表示甲前往庐山，固定甲去庐山后，需将乙、丙、丁分配到三个景点，且三清山和龙虎山均至少一人.乙、丙、丁的分配方式共种，排除三清山空（只去庐山和龙虎山）的种、龙虎山空的8种，以及两景点均空的1种，满足条件的分配数为，故，故选项A错误；同理得：；事件表示甲去庐山且乙去三清山，固定甲去庐山、乙去三清山后，需分配丙、丁，且龙虎山至少一人，丙、丁分配共种，龙虎山空（只去庐山或三清山）的有种，故满足条件的分配数为，因此，选项C正确；由条件概率公式得：.故，选项B正确；因为，所以事件与不独立，选项D正确.故选：.11.如图，在正方体中，点P，Q分别为线段，上异于端点的动点，则下列结论中，可能成立的有（）A.平面 B.平面C.平面 D.平面【答案】ABC【解析】选项A和C，如图所示，令点分别为线段和中点，在中，根据中位线性质知，因为，不在平面，所以平面，故A正确，因为平面，，所以平面，故C正确；选项B，如图所示，取线段靠近点的四等分点，点为线段中点，线段交线段于，易知,则在中由中位线性质知，且不在平面，所以平面，故正确；选项D，如图所示，平面平面，点在平面，所以过点且垂直平面的直线在平面，因为点不在平面，所以不存在平面，故错误，故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.现有一组数据4，10，5，8，2，7，则这组数据的分位数为______．【答案】5【解析】将数据按升序排列：2，4，5，7，8，10，由

，因此，这组数据的40%分位数为5.故答案为：5.13.函数的部分图象如图所示，A为图象的最高点，B，C分别为图象与x轴的交点，且为正三角形，则______．【答案】【解析】由函数，函数的最大值为，即的高为.又因为，由正三角形边和高的关系得，即，.所以，根据五点作图可知，令，得，所以，.故答案为：.14.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，且，为抛物线上一点，为的内心，连接并延长，交轴于点，则______．【答案】【解析】由，得，则抛物线为，焦点，准线与轴交点，设在抛物线上，则，且，由余弦定理得，即，又，代入得，整理得，，，故，由得，得到，而为的内心，平分，延长交轴于，由角平分线定理，又，设，则，有，解得.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设函数.（1）当时，求函数在点处的切线方程．（2）已知是函数的导函数，若恒成立，求的最大值．解：（1）由，知，则,得，故函数在点处的切线方程为，即.（2）由恒成立，可得，即在恒成立，设，，则，当时，，在单调递增，当时，，在单调递减，所以，即的最小值为1，所以，即的最大值为1．16.如图，该几何体是由半圆锥PO和三棱锥P-ABC组合而成的，H为半圆弧AB的中点，A，B，C，H四点共面，△PAB是边长为10的正三角形，BC=8，AC=6，在半圆弧AB上取一点F，使得AF∥BC，连接PF，D，E分别为线段PA，PF的中点．（1）证明：平面ODE∥平面PBC．（2）求异面直线BH与OE所成角的余弦值．（1）证明：由D，E分别为线段PA，PF的中点，知DE∥AF，又由AF∥BC，知DE∥BC，平面PBC，平面PBC，故DE∥平面PBC，又由D，O分别为线段PA，AB的中点，知OD∥PB，平面PBC，平面PBC，故OD∥平面PBC，又由OD，DE⊂平面ODE，且OD∩DE=D，知平面ODE∥平面PBC．（2）解：以O为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，．又△PAB是边长为10的正三角形，知则．过点F作FG⊥AB，垂足为G，由AB=10，BC=8，AC=6，知又由AF∥BC，知则AF=8，知故又E为线段PF的中点，则故则.故异面直线BH与OE所成角的余弦值为17.在①②③，这三个条件中选择合理的一个，补充在下面的横线上，并解答．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角C的大小．（2）已知D为AB上一点，CD为△ABC的一条角平分线，且（i）求CD的值;（ii）若求△ABC内切圆的半径．解：（1）选择条件①，由知又由，知又由知又由知即选择条件③，由知故因为0<C<π，所以不能选择条件②，由可得即在△ABC中，A+B+C=π，所以，故解得sinC=0或sinC=2，又因为0<C<π，所以C无解，即条件②不合理．（2）（i）由且CD为△ABC的一条角平分线，知即(a+b)·CD=ab，又由知故CD=2．（ii）设△ABC内切圆的半径为r．由知即所以因为ab>0，所以ab=16，即a+b=8，又，故18.若对于给定的正整数正整数数列同时满足①②其中，则称数列为数列．（1）若数列为数列，证明：（2）若数列为数列，请写出所有满足条件的数列（3）已知数列为数列，求的所有可能的值．（1）证明：由数列为数列，知当时，故或，这与题中条件矛盾，故．（2）解：由数列

为

数列，知即由且知故当时，可得(舍去)或，当时，则，综上可知，满足条件的数列有1，2，1和2，1，2这两个．（3）解：由题意可知则两式相减可得若则则矛盾；若则又则易得或或，即或6；若则矛盾．综上，的取值范围是{6，10}．19.已知椭圆的离心率为其左顶点为D，右焦点为F，且．过点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，连接并延长，分别交直线于P，Q两点．（1）求椭圆C的方程．（2）设直线l的斜率为，直线的斜率分别为．（i）证明：为定值．（ii）若以为直径