河北省五个一联盟2026届高三上学期1月模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省五个一联盟2026届高三上学期1月模拟考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故选：A.2.已知全集，集合，则中的元素个数是（

）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】因，又全集，所以，其中共有5个元素.故选：D.3.已知一组数据从小到大排列为70，72，75，76，82，83，84，m，90，92，这组数据的第70百分位数是86，则（

）A.86 B.87 C.88 D.89【答案】C【解析】由题意可知共有10个数，因为，则第70百分位数是第七个和第八个数的平均数，即，解得.故选：C.4.已知圆与圆有3条公切线，则实数的值为（）A.0或4 B.1或3C.或 D.或【答案】D【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，圆与圆恰有3条公切线，圆和圆外切，，即，解得或.故选：D.5.已知等比数列的首项为，且构成递增的等差数列，则数列的前项和（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】设等比数列的公比为.由题可得，代入得，化简得，解得或；因为等差数列递增，所以当时，，不满足递增，舍去；当时，，符合题意，故.因此.故选：.6.已知定义域为的函数满足，，则（

）A. B. C.0 D.2【答案】B【解析】由，由，所以，所以，所以该函数的周期为，，，在中，令，得，令，得，因为该函数的周期为，所以，所以，所以.故选：B.7.在平行四边形ABCD中，和DF交于点，若，，则（

）A. B.C. D.【答案】B【解析】设的中点为，连接，因为，所以是的中点，所以，且，因为四边形ABCD是平行四边形，所以，且，所以又因为，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以.故选：B.8.已知椭圆的左、右焦点分别为，过原点的直线与交于A，B两点，若的面积为，且，则的离心率为（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图所示，由椭圆的对称性可知，，且四边形是平行四边形，令，则，可得，故，所以，.由题意知，解得，因为，所以，故.在中，由余弦定理得，即，整理得，所以离心率，故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.B.C.是函数图象的对称中心D.将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称【答案】BC【解析】观察函数图象，得的最小正周期，对于A，由，得，A错误；对于B，，而当时，，则，又，则，，，B正确；对于C，当时，无意义，是函数图象的对称中心，C正确；对于D，将的图象向左平移个单位长度，得，函数不是奇函数，其图象关于原点不对称，D错误.故选：BC.10.已知函数，则下列结论正确的是（

）A.为偶函数B.为的导函数的极大值点C.是函数的极值点D.函数的零点个数为1【答案】BD【解析】由函数的定义域为关于原点对称，且，所以函数不是偶函数，故A选项不正确；由，令，则，令，因为，所以，当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，所以为的极大值点，即为的导函数的极大值点，故B选项正确；由B选项可知当时，，即当时，，所以函数在上单调递减，所以不是函数的极值点，故C选项不正确；由函数在上单调递减，且，，所以函数在上只有1个零点，故D选项正确；故选：BD.11.如图，已知正四棱台中，，梯形的面积为，则（

）A.正四棱台的侧面积为B.异面直线与所成角的余弦值为C.若为的中点，则过点的平面截正四棱台所得截面的周长为D.若正四棱台的四条侧棱的延长线交于点，则四棱锥的外接球的表面积为【答案】BCD【解析】由题知，，设梯形的高为，则，可得，设侧面梯形的高为，则，所以一个侧面面积为，所以正四棱台的侧面积为，A错误；如图，建立空间直角坐标系，则，所以，设直线与夹角为，所以，B正确；取中点，因为为中点，所以，所以过点的平面即为四边形，且，又，所以截面的周长为，C正确；对于D，设棱台高为，延长棱台的四条侧棱交于点O，设棱锥的高为，由相似得，，可得，如图，建立空间直角坐标系，则，设球心，外接球半径为，则，所以，解得，所以，则球的表面积为，D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知直线经过抛物线的焦点，则____________．【答案】【解析】因为抛物线，所以抛物线焦点为，所以，解得.故答案为：.13.已知，则____________．【答案】或【解析】因为，即，可得，且，若，则，可得；若，则，可得；综上所述：或.故答案为：或.14.如图，某城市A，B两地间有整齐的道路网，每两条线的交点处为一个路口，小林要从出发到处，若每次只能向右或向上走一个路口，P，Q两处实行交通管制，不准通行，则从到的走法共有____________种．（用数字作答）【答案】24【解析】由题意可知，从出发到处，需要向上4次，向右4次，所以不同的情况有种，从出发到处，需要向上3次，向右1次，从出发到处，需要向上1次，向右3次，则从出发经过到处，共有不同情况种，从出发到处，需要向上1次，向右2次，从出发到处，需要向上3次，向右2次，则从出发经过到处，共有不同情况种，则从出发不经过到达处，共有不同情况种.故答案为：24.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（1）求的值；（2）若，求BC边上的高．解：（1）由余弦定理得,所以，从而可得；（2）由（1）可得，，，则的面积，设BC边上的高为，则，所以，故BC边上的高为.16.已知函数．（1）若的图象在点处的切线方程为，求实数a，b的值；（2）讨论的单调区间．解：（1）由题意可得，因为的图象在点处的切线方程为，所以，即，解得，所以所以.（2），因为，令可得或，，当时，可得当时，，单调递减；当时，，单调递增；，当时，即时，即由不等式可解得时，可得当，时，，单调递增；当时，，单调递减；，当时，恒成立，单调在单调递增；，当时，当时，，单调递减；时，，单调递增，综上，当时，当时，单调递减；时，单调递增；当时，单调在递增；当时，当，时，单调递增；当时，单调递减；当时，当时，单调递减；当时，单调递增.17.等边三角形绕边上的高旋转一周形成一个圆锥，如图，已知C，D均为弧的三等分点（点靠近点），为母线的中点，．（1）已知为内一点，且平面，作出点的轨迹并证明；（2）求平面和平面所成二面角的正弦值；（3）设为圆锥底面圆周上一点，求三棱锥体积的最大值．解：（1）设中点为，连接，，，，则点的轨迹为线段.证明如下：分别为的中点，，且，又C，D为弧的三等分点，，且，且，四边形是平行四边形，，C，D为弧的三等分点，，，四边形是平行四边形，，由，，平面，平面，平面，平面，平面平面，为内一点，且平面，当点在线段上时，平面，满足平面，点的轨迹为线段（不包括端点）.（2）设点为弧中点，以为轴，为轴，为轴建立如图所示空间直角坐标系，，，，，，，，，，，，设是平面的法向量，则，令，可得，，所以，设是平面的法向量，则，令，可得，，所以，设平面和平面所成二面角为，则，，所以平面和平面所成二面角的正弦值为.（3），，，则，，设，，则点到平面的距离，当时，，三棱锥体积的最大值为.18.篮球是以手为中心的身体对抗性体育运动，篮球控球能力对球员的场上表现有直接影响．某教练指导三名学员B，C，D进行篮球控球训练，训练开始时篮球在教练手里，由教练进行控球示范，1分钟后等可能地传给学员B，C，D其中一人，学员控球训练1分钟后，将球传出，传给教练的概率为，传给另外两名学员的概率均为，篮球在四人之间传递．（1）若四人进行了3次传球，求教练控球2次的概率．（2）设分别表示第次传球后由A，B控球的概率．（i）求的表达式及其最大值；（ii）若数列的前项和为，求．解：（1）第1次传球后必为学员控球，第2次传球后教练控球的概率为，学员控球的概率为，若第2次传球后教练控球，则第3次传球后必为学员控球，学员控球的概率为1；若第2次传球后学员控球，则第3次传球后教练控球的概率为，四人进行了3次传球，教练控球2次的事件是初始控球及只在第2次控球的事件，与初始控球及只在第3次控球的事件的和，概率为，所以四人进行了3次传球，教练控球2次的概率为.（2）（i）因规则对学员B,C,D完全对称，且第1次传球后他们控球的概率相等，故之后任意一次传球后他们控球的概率均相等，可记为，则，又，因此，即，由，得，则数列是首项为，公比为的等比数列，，于是，当为正奇数时，，当为正偶数时，，而数列单调递减，则当时，取最大值，所以的表达式为，其最大值为.（ii）由（i）得，，因此，，，两式相减得，所以.19.已知双曲线的左焦点为，一条渐近线过点．（1）求的方程；（2）已知第一象限的点在上，过点且斜率为的直线与相交于点，求为坐标原点）的面积；（3）设的另一条渐近线为，直线与的右支交于点A，B（在的上方），过点与平行的直线和过点与平行的直线交于点，过点且斜率为的直线与的右支交于点在的上方），过点与平行的直线和过点与平行的直线交于点，求直线PQ的方程．解：（1）因为左焦点为，所以，故；因为一条渐近线过点，所以，即，代入，得到，.所以双曲线方程为.（2）由题可知渐近线的方