河北省邢台市卓越联盟2026届高三上学期12月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省邢台市卓越联盟2026届高三上学期12月期中数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数（为虚数单位），则在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】因为，所以在复平面内复数对应的点为，此点位于第二象限，故选：B．2.已知平面向量，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，，，所以，充分性成立；当时，，即，解得或，必要性不成立．综上，“”是“”的充分不必要条件，故选：A．3.已知公差为的等差数列的前项和为，若，，则下列说法错误的是（）A.B.C.若，则的最大值为12D.前100项中，被7除余3的有14项【答案】D【解析】由题意及等差数列的前项和公式，，，即：即，解得所以，故A，B正确．，解不等式，，得，所以的最大值为12，故C正确．因为在自然数中，被7除余3的数可表示为，，，解不等式，得，又，所以有15项，故D错误．故选：D．4.Peukert于1897年提出蓄电池的容量（单位：）、放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意，，当时，，代入公式，得，所以当时，．故选：B．5.已知函数的大致图象如图，则函数的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由函数的图象可知，函数是奇函数．对于B：，此时为偶函数，与图象不符，故B错误；对于C：当时，，与图象不符，故C错误；对于D：，此时为偶函数，与图象不符，故D错误；由排除法可知A正确，故选：A.6.已知，且，则下列各式正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，两边平方，得，即，所以，故B错误．由上及二倍角正弦公式，得，因为，所以，，，又，所以．结合，解得，，故A错误．因为，所以，故C正确，，故D错误．故选：C．7.已知等比数列的公比为，前项和为．若，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，，所以．由题意，得，解得，则或．因为，所以．当时，，解得，，满足，，所以，；当时，，解得，，满足，，所以，．故A，B，D错误，C正确．故选：C．8.在锐角三角形中，内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知及正弦定理，得，因为，所以，所以，因为，，所以，所以，故，则，因为是锐角三角形，所以，解得，所以，由正弦定理，得，因为，所以．故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知的外接圆圆心为，且，，则下列说法正确的有（）A.B.C.在上的投影向量为D.【答案】ACD【解析】因为，所以为的中点，所以为圆的直径，．因为，所以是等边三角形，所以，，，．，故A正确．，故B错误．设的中点为，则，为在上的投影向量，，故C正确．因为，所以，故D正确．故选：ACD．10.如图，在边长为4的正方形中，分别是的中点，是的中点．若沿直线及把这个正方形折成一个三棱锥，使，三点重合，重合后的点记为，则下列说法正确的有（）A.平面平面B.与平面所成角的余弦值为C.点到平面的距离为D.三棱锥的外接球的半径为【答案】ABD【解析】对于A：在正方形中，因为分别是的中点，由正方形的性质易知，，且三点共线，.因此，由折叠可知，在三棱锥中，，，且平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面．故A正确；对于B：在原正方形中，有，由折叠可知，在三棱锥中，有，平面，所以平面．因为平面，所以，因此即与平面所成角．由正方形的性质可知，点在对角线上，且，所以在中，，故B正确；对于C：在原正方形，，，由选项B可知，，，因此，由折叠可知，在三棱锥中，，，又因为，故，，，设点到平面的距离为，则，解得，故C错误；对于D：因为，平面，所以两两互相垂直，所以三棱锥的外接球即以分别为长、宽、高的长方体的外接球．由选项C可知，，因此长方体的体对角线长，所以外接球的半径为，故D正确．故选：ABD．11.已知函数，则下列结论正确的有（）A.的图象关于点对称B.当时，有两个零点C.若有三个零点，则的取值范围是D.若是的极大值点，则【答案】AD【解析】设，，则，所以函数是奇函数，其图象关于坐标原点对称．因为，所以函数的图象关于点对称，故A正确．当时，，，令得或．当时，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．当时，取得极大值3，当时，取得极小值，因为，，所以函数在区间，，上各有一个零点，即有三个零点，故B错误．因为，所以．当时，恒成立，函数在上单调递减，因为，，所以函数只有一个零点，不符合题意．当时，令，解得，．当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增．所以当时，取得极大值；当时，取得极小值．因为当时，，，当时，，所以在上有一个零点，若有三个零点，则．又，解，得．故C错误．由C选项的分析知，函数的极大值点为，解，得，故D正确．故选：AD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的一般式方程为____________．【答案】【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率．因为直线过点，所以直线的点斜式方程为，化为一般式，得．故答案为：.13.已知函数的最大值为5，则实数_________．【答案】4【解析】因为，所以函数的最大值为．由题意，得，解得．故答案为：4.14.在正三棱柱中，点，分别为和的中点，以为基底，则____________；若，则_________．【答案】①.②.10【解析】在正三棱柱中，点，分别为和的中点，，，，所以；正三棱柱中，,，则，又，，,.故答案为：；10.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知分别为三个内角的对边，且.（1）求角的值；（2）若，的面积为，求，的值．解：（1）由及正弦定理，得．因为，所以，所以．因为，所以，即．因为，所以，所以，．（2）由（1）得，因为的面积为，即，所以．由余弦定理，得．因为，所以，所以．所以，所以；又，所以．所以．16.已知向量，，，记函数，且函数的最小正周期为．（1）求函数的单调递增区间；（2）把函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若锐角满足，求的值．解：（1）因为向量，，所以．因为函数的最小正周期为，所以，即，所以，解，，得，，所以函数的单调递增区间为，，（2）把函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，由题意，得，，因为，所以，因为是锐角，所以，所以，所以．17.已知数列的首项，且满足．（1）证明：数列为等比数列，求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和；（3）设，求数列的前项和．解：（1）因为，，所以．所以，则．因为，所以，所以数列是首项和公比均为的等比数列．所以，所以．（2）由（1）得，所以．所以．（3）由（1）得，所以，所以．所以．设，则，两式相减，得，所以．所以．18.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）判断函数的单调性并求其最值；（3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．解：（1）因为，，所以．因为，，所以曲线在点处的切线方程为．（2）由（1）知，．当时，，所以函数在区间上单调递减；当时，，所以函数在区间上单调递增．所以当时，函数取得极小值，也是最小值．因为，所以函数的最小值是0，没有最大值．（3）设，则，．当时，在上恒成立，当且仅当时，等号成立，所以函数在上单调递增，所以，满足题意．当时，设函数，则，．解得，解得．当，即时，在上恒成立，函数在上单调递增，所以，即在上恒成立，所以函数在上单调递增，所以，满足题意．当，即时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，又，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以在区间上单调递减．因为，所以在区间上恒成立，与已知矛盾，不合题意．综上，实数的取值范围是．19.如图，在四棱锥中，底面，，，是棱上的动点（不与点，重合），．（1）若平面，求的值；（2）若是棱的中点，求点到平面的距离；（3）在（2）的条件下，求直线与平面所成角的余弦值．解：（1）连接与交于点，连