河南省三门峡市义马市2025~2026学年高二上学期期末诊断性考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省三门峡市义马市2025~2026学年高二上学期期末诊断性考试数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知函数，则的值为（）A.-1 B.3 C.8 D.16【答案】C【解析】根据题意，，则，由导数的定义知，．故选：C．2.是等差数列，…，，，…的（）A.第1013项 B.第1012项 C.第1011项 D.第1010项【答案】C【解析】由条件可知，等差数列的首项是，公差是，所以等差数列的通项公式为，令，得.故选：C.3.若圆，圆，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题设，将两圆作差，有，整理可得，即公共弦所在直线为.故选：B.4.已知等差数列的前n项和为，若，则（）A.5 B.10 C.15 D.34【答案】B【解析】已知等差数列前n项和为，，所以，所以.故选：B.5.已知是各项均为正数的等比数列，且，是关于x的方程的两个实数根，则（）A.8 B.9 C.16 D.18【答案】D【解析】是关于的方程的两个实数根，则，由等比数列的性质可得：，，，所以故选：D.6.已知实数满足，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，问题可转化为直线与圆有公共点．由，得，所以的取值范围为，故选：A.7.已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是的中点，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设点、，由题意可得，因为点是的中点，则，因为，这两个等式作差可得，所以，，因此，双曲线的离心率为.故选：D.8.设为数列的前项积，已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由为数列的前项积，则，则由，可得当时，有，又当时，，则由可得，即，则，则数列是以为首项，为公差的等差数列，则，则，故.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列求导数运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】对于A，由复合函数的导数公式得，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确；故选：ABD10.已知圆，点在直线上，过作圆的两条切线（为切点），则下列结论正确的是（）A.的最小值为B.当轴时，四边形的面积为C.原点到直线距离的最大值为D.的外接圆恒过两个定点【答案】AD【解析】A选项，由题意得，，则．设，所以，故A正确；B选项，由于满足条件，但此时，故B错误；C选项，设点到的距离为，以为直径的圆的方程为，即，两圆方程相减得的方程为，所以，故C错误；D选项，由可知，的外接圆是以为直径的圆，由C可知圆的方程为，即，由，解得或，故该圆恒过和，故D正确．故选：AD．11.已知椭圆的方程是，为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左、右焦点，过点且斜率不为0的直线与椭圆交于A，B两点，的周长为8，则下列说法正确的是（）A.B.存在点，使得的面积为1C.椭圆上存在6个不同的点，使得为直角三角形D.内切圆半径的最大值与外接圆半径的最小值的比值为【答案】ABD【解析】A，椭圆的方程是，且焦点在轴，由椭圆的定义可得的周长为，得，正确；B，根据椭圆性质，，的面积最大值为，所以存在点，使得的面积为1，正确；C，若为直角三角形，当，存在两个这样的点，当，存在两个这样的点，当，可得轨迹为以为直径的圆，即，不包括两点，因为，所以圆与椭圆有四个交点，即椭圆上存在4个不同的点，使得，所以椭圆上存在8个不同的点，使得为直角三角形，错误；D，的周长为，设的内切圆半径为，则，故当最大时最大，此时为上（下）顶点，，则，解得，设的外接圆半径为，根据正弦定理，，根据C选项，可知存点P使得，则，此时，所以内切圆半径的最大值与外接圆半径的最小值的比值为，正确.故选：ABD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知曲线在点处的切线为，则实数的值为___________．【答案】【解析】求导得，因为曲线在点处的切线为，则，所以，解得．故答案为：.13.双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则抛物线的标准方程为__________．【答案】【解析】设双曲线的焦距为，由双曲线的方程可得：，解得：，所以双曲线的焦点坐标为：，因为抛物线的准线方程为：，且，所以，故双曲线的焦点在抛物线的准线上，由题意可得，解得：，所以抛物线的方程为：，故答案为：．14.若数列满足为常数)，则称数列为调和数列.已知数列为调和数列，且，则的最大值为__________.【答案】【解析】因为数列为调和数列，所以，故为等差数列.由，得，所以，所以，故，故由于，此时，故的最大值为故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知曲线.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求曲线过点的切线方程.解：（1）由题意得，则在点处的切线的斜率，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）设曲线与过点的切线相切于点，设切线的斜率为，则由点斜式得直线方程为，又因为切点为，则，解得或，则曲线过点处的切线方程为和.16.已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点．（1）求圆的标准方程；（2）圆的方程为，若圆与圆的公共弦长为，求实数的值．解：（1）设圆心，由题意得，解得，，则半径，故圆的标准方程为．（2）圆，圆心，半径．两圆方程相减，得公共弦所在直线：．圆心到该直线的距离（弦心距）：．在圆中，公共弦长，可得，解得或，均满足且两圆相交，符合题意．故实数的值为或．17.如图，斜棱柱的所有棱长都等于2，，平面平面，.（1）在棱（包括端点和）上是否存在点，使得平面？若存在，求的长，若不存在，说明理由；（2）求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）连接，交于点，则为，中点，因为，，所以，为等边三角形，所以.又因为，，所以为等边三角形，所以，平面，又因为平面平面，平面平面，所以平面，平面，所以.以点为原点，，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.则，，，，，则，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，所以.设，则，因为平面，所以，即，解得，此时点与重合，则.（2）由（1）知，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，所以.设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.18.已知各项均为正数的数列，其前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）求数列前项和；（3）若，求数列的前项和为解：（1）当时，由，得，得，由，得，两式相减，得，即，即.因为数列各项均为正数，所以，所以所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列.因此，.（2）由（1）得，，则，两式相减得.（3）由（1）知，所以.所以.所以.19.已知双曲线：的离心率为，且过点．抛物线C：的焦点与双曲线的右焦点重合．（1）求双曲线的标准方程；（2）设直线l：与抛物线C交于A，B两点，与双曲线的左、右两支分别交于C，D两点．（ⅰ）探究是否存在实数m，使得，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由；（ⅱ）求的最小值．解：（1）由已知可得，，，又双曲线过点，，，，双曲线的标准方