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高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省邢台地区2025-2026学年高二上学期第四次联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.数列的第9项是（）A. B. C. D.2.若直线与直线平行，则（）A.-3 B.-1 C.-3或1 D.-1或33.在四棱柱中，四边形是平行四边形，分别是棱中点，是线段的中点，则（）A. B.C. D.4.在数列中，，则（）A. B. C. D.35.在正三棱柱中，分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）A. B. C. D.6.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则（）A. B. C. D.7.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，是的平分线，且为坐标原点，则（）A. B.4 C. D.88.某零件加工厂设备更新后，预计每月加工某零件数量比上一个月增加10%.若该零件加工厂本月加工该零件1000件，从本月起（即本月为第1个月），该零件加工厂个月加工完2万件该零件，则的最小值是（）（参考数据：）A.11 B.12 C.13 D.14二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若将一个椭圆绕其对称中心旋转，所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆被称为“对偶椭圆”.已知椭圆是对偶椭圆，则该椭圆的短轴长可以是（）A. B. C. D.10.设数列的前项和为，且，则（）A. B.C.有最小值3 D.11.一个棱长为2的正方体内有一个内切球，若球同时与正方体的三个面以及球相切，球同时与正方体的三个面以及球相切，以此类推，球同时与正方体的三个面以及球相切.设球的半径为，表面积为，体积为，则（）A.B.C.D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.圆的半径是___________.13.设等差数列的前项和为，则的最小值是______.14.在四棱锥中，平面平面，四边形是直角梯形，，在平面内，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，且，则点的轨迹方程是___________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知椭圆的离心率是是椭圆的一个焦点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆交于两点，是线段的中点，求直线的方程.16.如图，在四棱锥中，平面平面.（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）若的中点为，求点到平面的距离.17.设数列前项和为，且.（1）证明：是等比数列；（2）求.18.已知双曲线的左、右焦点分别是，其实轴长为，，点在双曲线的右支上，且的最小值是5.（1）求双曲线的标准方程.（2）过点的直线与双曲线的右支交于两点，与双曲线的两条渐近线交于，两点，均在第一象限.①若，求直线的方程；②求面

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