黑龙江哈尔滨市2025-2026学年上学期期末考试高二数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1黑龙江哈尔滨市2025-2026学年上学期期末考试高二数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线的倾斜角为30°，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直线的倾斜角为30°，直线的斜率.故选：C.2.“曲线表示椭圆”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若曲线表示椭圆，有，可得或，“曲线表示椭圆”可以推出“”，“”不可以推出“曲线表示椭圆”，可得“曲线表示椭圆”是“”的充分不必要条件.故选:A.3.若直线与互相垂直，则（）A. B. C.4 D.1【答案】C【解析】由题意知，所以.故选：C4.直线与双曲线交于不同的两点，则斜率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】将直线代入双曲线中，整理得，因为直线与双曲线交于不同的两点，所以,，解得，所以斜率的取值范围是.故选：C.5.设是等差数列的前n项和，若，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由是等差数列的前n项和，则成等差数列，因为，，所以，，所以，所以，所以.故选：A.6.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在上的投影向量为.故选：C.7.双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的渐近线为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，不妨设在第一象限，则①，又②，由①②得到，又由题知，所以，整理得到，所以，则，即，所以双曲线的渐近线为，故选：D.8.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑中，平面，，，是的中点，是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，分别为，的中点，连接，，，如图：因为，，分别为，，的中点，所以，，.因为平面，平面，所以平面，同理平面，又因为，平面，，所以平面平面.因为平面，所以为线段上的点.由平面，平面，得，又，则，由，，平面，得平面，因为，所以平面，，.因为，所以，，且，，，所以因为，所以.故选：B.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论正确的有（）A.设，，是三个空间向量，则B.方程表示曲线，为实数，曲线不可能表示圆C.直线的斜截式方程可以表示平面内的所有直线D.点关于直线对称点为【答案】AB【解析】对于A，设，，是三个空间向量，则，故A正确；对于B，曲线若表示圆，则，满足条件的不存在，故该曲线不可能表示一个圆，故B正确；对于C，斜截式方程可以表示平面内斜率存在的直线，不能表示斜率不存在的直线，故C不正确；对于D，设点关于直线的对称点为，所以，解得：，故D不正确.故选：AB.10.已知数列不是常数列，其前项和为，则下列选项正确的是（）A.若数列为等差数列，恒成立，则为递减数列B.若数列为等差数列，，，则的最大值在或时取得C.若数列为等比数列，则恒成立D.若数列为等比数列，则也为等比数列【答案】ABC【解析】对于A，若数列为等差数列，恒成立，则公差，故为递减数列，故A正确；对于B，若数列为等差数列，，设公差为，由，得，所以，所以当时，，故的最大值在或时取得，故B正确；对于C，若数列为等比数列，当时，，，当时，恒成立，故C正确；对于D，若数列为等比数列，则，所以，当时不是常数，故此时不是等比数列，故D错误.故选：ABC.11.已知为坐标原点，抛物线上一点到其焦点的距离为3，过焦点的直线交于，两点，则下列选项正确的是（）A.过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条B.当时，C.为钝角三角形D.的最小值为【答案】AC【解析】因为抛物线上一点到其准线的距离为3，所以，解得，所以抛物线的标准方程为.对于A，显然过点与抛物线相切的直线有2条，当过点的直线与轴平行时，与抛物线也仅有一个公共点，所以过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条，故A正确；对于B，由抛物线的方程可知，焦点，当直线的斜率不存在时，，又，所以，不符合题意，所以直线的斜率存在且不为0，设，，，，联立，消去整理得，所以，，，又，所以，解得，则，，则，故B错误；对于C，由选项B可知，，所以，所以是钝角三角形，故C正确；对于D，由选项B可知，所以，当且仅当，即，时，等号成立，故D错误.故选：AC.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等比数列的各项均为正数，若，，则该等比数列的公比为______．【答案】或0.25【解析】设等比数列的公比为，因为各项均为正数，若，，则，故该等比数列的公比为.故答案为：.13.已知两点分别在圆和圆上，则的最小值为__________.【答案】【解析】因为，，所以，所以圆与圆外离，所以.故答案为：.14.如图所示，在边长为的正方形铁皮上剪下一个扇形和一个圆，使之恰好围成一个圆锥，则该圆锥的表面积为____________.【答案】【解析】如图1，过圆心作于，于，则四边形为正方形，设小圆半径为，扇形半径为，则，小圆周长为，扇形弧长为，剪下一个扇形和圆恰好围成一个圆锥，，解得，即，，正方形铁皮边长为，，，；在图2中，圆锥的表面积.故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，．（1）试用向量，，表示向量；（2）若，，求值．解：（1）直线的方程：，整理得：，分析直线过的顶点，，，解得，即直线恒过定点，代入圆C的方程：，所以点在圆内，故直线与圆C相交．（2）因为直线恒过定点，故当直线垂直于CD时被截得的弦长最短由，.所以直线被圆C截得弦长最短时，直线的斜率为2，此时直线的方程为，即，又所以最短弦长为，故直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为，最短弦的长度为17.已知数列的前项和为，且满足，当时，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.解：（1）由当时，，得，所以，得，即，所以数列从第二项开始为常数列，且，即；当时，已知，，所以，经检验不符合上式，所以；（2）由（1）知，；，当为偶数时，，当为奇数时，，综上，.18.已知椭圆长轴长为4，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，，，，求四边形面积的最小值.解：（1）由题意可知，，所以，，所以，所以椭圆的方程为（2）当直线的斜率不存在时，，此时的长即为椭圆长轴长，，从而当直线的斜率为零时，可得，设直线的斜率为，且，直线的方程为：，直线的方程为，设，，，，由，消去得，显然成立所以，，从而，由，消去得，显然成立，所以，，从而，所以，因为，则，，则，所以当且仅当，即时取得最小值，所以四边形面积的最小值为.19.如图，已知平行六面体的侧棱长为3，底面是边长为4的菱形，且，点，分别在和上．（1）若，，求证：，，，四点共面；（2）求；（3）若，点为线段上（包括端点）的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．（1）证明：，，，，所以,,,四点共面.（2）解：平面，上的所有的点到平面的距离都相等，同理上所有的点到的距离也相等，，，点在平面