黑龙江省安达市三校联考2025-2026学年高二上学期期末教学质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1黑龙江省安达市三校联考2025-2026学年高二上学期期末教学质量监测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.椭圆的标准方程为，其焦点的坐标为（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】由可知椭圆的焦点在轴上，且，，则，故椭圆焦点的坐标为，．故选：D.2.已知直线经过点，，且与直线垂直，则（）A.2 B.2 C.1 D.1【答案】C【解析】直线的斜率，由于，则直线的斜率，得.故选：C.3.已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】圆经过原点和点，线段的中点，直线的斜率，则线段的中垂线方程为，即，由，解得，因此圆的圆心，半径，所以圆的方程为.故选：A.4.已知等差数列的前项和为，若与是方程的两根，则（）A.41 B.42 C.43 D.44【答案】D【解析】由于与是方程的两根，故，即，得，因此，故选：D.5.已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由的单调性可知，，而，又的图象在处切线的倾斜角大于在处切线的倾斜角，因此，所以，故选：D．6.如图是济新高速黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地针式回转缆悬索桥.大桥主跨长约500米，主塔高约100米，缆悬索是以为顶点且开口向上的抛物线的一部分，若为抛物线的焦点，则主塔端点到焦点的距离约为（）A.1350米 B.758米 C.725米 D.558米【答案】C【解析】以为原点，直线为轴，过且与主塔平行的直线为轴，建立平面直角坐标系，连接，，则，设抛物线的方程为，则，解得，因此抛物线的焦点为，准线方程为，利用抛物线的定义得：.故选：C.7.已知函数有极值，则a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题可得有变号零点有两个不同的实数根，所以或.所以满足题意的a的取值范围是.故选：C.8.已知双曲线的左右两个焦点分别为，过右焦点作直线，交右支于A、B两点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，则，且，由，解得，在△中，由余弦定理得，因此，即，解得.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知圆关于直线对称的圆的方程为，则下列说法正确的是（）A.圆与圆相交B.圆关于直线对称C.若点是圆上一点，则的最大值是D.若点是圆上一点，则的最小值是【答案】BCD【解析】因为圆关于直线对称的圆方程为，故圆的圆心为，半径为2，即圆的方程为对于A，圆化为标准形式为，圆心为，半径两圆圆心距为，故两圆相离，A错误；对于B，将圆心代入直线，得，直线过圆心，故圆关于直线对称，B正确；对于C，表示圆上点与原点连线的斜率，设为，即，代入圆方程得：，整理得，所以，解得，故的最大值为，C正确；对于D，表示圆上点到直线距离的倍，因为圆心到直线的距离，圆上点到直线的最小距离为，故的最小值为，D正确．故选：BCD.10.随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用.双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知分别为双曲线的左､右焦点，，点的坐标为，则下列结论正确的是（）A.双曲线的离心率为2B.若从射出一道光线，经双曲线反射，其反射光线所在直线的斜率的取值范围为C.D.过双曲线左支上点作双曲线的切线交轴于，则【答案】BC【解析】对于A，双曲线，焦点在轴，则，所以双曲线的离心率，故A错误；对于B，如图：反射光所在直线为直线，根据双曲线的性质可知斜率介于两条渐近线斜率之间，又渐近线斜率，所以反射光线所在直线的斜率的取值范围为，故B正确；对于C，由题意得，又，，则，，直线的斜率不存在，所以，，又,所以，故C正确；对于D，由题意知，切线斜率不为零，可设方程为，联立得：，，解得，即切点的纵坐标，，解得，又点在左支上，所以，，故D错误；故选：BC．11.已知函数的定义域为，导函数为，满足（为自然对数的底数），且0，则（）A.B.在处取得极小值C.存在唯一的实数使得D.【答案】BCD【解析】设，则，可得在区间上单调递减，在上单调递增，故，即，得，故选项A不正确；可设，可得，所以，所以，所以，由可得，由可得，所以在区间上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，故选项B正确；又因为，可得函数大致图象如下：结合图象知，存在唯一的实数使得，故C正确；由于，而，所以，故选项D正确故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知点及抛物线上一动点，则的最小值是________．【答案】1【解析】抛物线的焦点为，准线方程为，由抛物线的定义，可知点到焦点的距离等于点到准线的距离，即，所以，当且仅当，，三点共线时，取等号，所以，则的最小值是．故答案为：.13.设等比数列的前项和为，若公比，则___________.【答案】64【解析】由等比数列的性质得.故答案为：64.14.定义：对于数列，若存在常数，使得对一切正整数，恒有成立，则称为有界数列.设数列的前项和为，满足，若为有界数列，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】因为，则，所以.故答案：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知直线和.（1）求证：直线过定点，且此定点在内；（2）若直线与相交于A，B两点，且，求直线的方程.（1）证明：直线的方程可变形为，令，则，所以直线过定点，因为，所以点在内部；（2）的方程可化为，所以的圆心为，半径.因为，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以直线的方程为.16.已知函数.（1）求函数单调区间以及极值；（2）求函数在上的最值.解：（1）函数的定义域是.又，令，得，令，得，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，所以函数的极大值为，无极小值.（2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，所以所以在上的最小值为.又因为，所以，所以函数在上的最小值为，即.17.已知数列的前项和为，且.数列是公比为2的等比数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和；解：（1）在数列中，，当时，，当时，，满足上式，所以数列的通项公式.（2）由（1）得，由数列是公比为2的等比数列，得，，则，，两式相减得，所以.18.已知椭圆：的焦距为2，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）若，是椭圆上的两个点，且，证明：为定值；（3）将椭圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到曲线.若点，点，在曲线上，且，求的最大值.（1）解：由题意得解得所以椭圆的方程为.（2）证明：当直线或其中一条斜率不存在时，.当直线，斜率存在且均不为0时，设直线：，，由得，所以.同理可得，所以.综上，.（3）解：解法一：设曲线上任意一点坐标为，对应椭圆上点坐标为，则代入中得：.设的中点为，因为，所以所以，即.所以.解法二：设曲线上任意一点坐标为，对应椭圆上点坐标为，则代入中得：.设原点到直线，的距离分别为，，则.所以，当且仅当时取得等号.即的最大值为.19.已知函数，其中.（1）若，求函数的图像在处的切线方程;（2）若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围；（3）设函数（为自然常数）.若对任意，当时，均有成立，求实数的取值范围.解：（1）时，，求导得.所以，而，所以函数的图像在处的切线方程为，即.（2）根据题意知，求导得.因为在处有极值，所以，解得.所以.当时，；当或时，.所以在上单调递减，在上单调递增，所以是函数的极值点，故符合要求.因为有3个不同的实根，，根据函数的单调性和极值画出图像为：所以当时，满足题意，解得.（3）单调递减，