黑龙江省龙江教育联盟2026届高三上学期1月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1黑龙江省龙江教育联盟2026届高三上学期1月期末数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则中元素的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】由，，得，所以中元素的个数为3.故选：B.2.已知为纯虚数，则实数的值为（）A. B.C.1 D.2【答案】C【解析】，又为纯虚数，所以，得，故选：C.3.记等差数列的前项和为，，，则（）A.18 B.28 C.30 D.42【答案】A【解析】由，得，所以，又，所以公差，故，则.故选：A.4.已知实数，满足，则的最大值为（）A.2 B.C.3 D.4【答案】A【解析】由题意得，所以，所以，当且仅当时等号成立，即当或时取等号，当时，所以的最大值为2.故选：A.5.已知圆台的上、下底面半径之比为，母线长为5，侧面积为，则该圆台的体积为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】设圆台的上、下底面半径分别为，，高为，则，解得，则，所以该圆台的体积为.故选：C.6.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为①，②，由①+②得，，所以，因为，所以，因为，所以，又函数在上单调递增，所以，即，所以，所以.故选：B.7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线，与的右支交于点，与轴交于点，若，则的离心率为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意得点在第一象限，，由双曲线的定义得，所以，因为，所以，连接，则，所以，即，所以为等边三角形，即，在中（为坐标原点），，所以的离心率.故选：B.8.已知函数若函数有个零点，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，当时，，令，则，令，则；令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又，所以当时，方程无实数根；当时，方程有1个根；当时，方程有2个根；当时，方程有1个根.当时，，令且，则，由，知在和上单调递减，当时，，当时，，所以当时，方程无实数根，当或时，方程有1个根，综上可知，当和时，方程有1个根.当时，方程有3个根，当，及时，方程有2个根，所以当时，函数有3个零点.故选：D.二、选择题：本大题共小题，每小题分，共分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分.9.已知向量，，，，且，则（）A.与的夹角为B.在上的投影向量为C.D.【答案】ABD【解析】，与的夹角为，所以A正确；因为在上的投影向量为，所以B正确；由且，得，解得或，则或，所以C不正确；当时，，当时，，故D正确.故选：ABD.10.已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，且，为上任意一点，为圆上任意一点，则（）A.B.C.可能是等腰三角形D.点到直线的最小距离为【答案】AC【解析】设，，由，得，由，得，又，所以，又，所以，故A正确；因为，，所以，故B不正确；设的准线与圆的切点坐标为，直线与的交点为，根据抛物线的定义，所以可能是等腰三角形，故C正确；直线，即，则点到直线的距离，则点到直线的最小距离为，故D不正确.故选：AC.11.记数列的前项和为，，，当时，，则（）A.数列是等比数列B.C.数列是等差数列D.【答案】BCD【解析】因为，则，所以，则，又满足上式，所以数列是等比数列，数列不是等比数列，A错；所以，，所以，B对；所以，数列是以4为首项，2为公差的等差数列，C对；因为，数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，因为函数为增函数，所以，D对.故选：BCD.三、填空题：本大题共小题，每小题分，共分.12.展开式中含项的系数为_____.【答案】20【解析】展开式的通项公式为，，展开式的一般项为由，得，符合题意；展开式的一般项为由，得(舍去)，所以含项的系数为.故答案为：20.13.已知函数，，，则_____.【答案】2029【解析】因为①，将替换为，得②，由①+②得，再将替换为得，于是，再将替换为，得所以，所以的一个周期为6，令，则,令，则,令，则,令，则,令，则,令，则,则一个周期和：因为，故.故答案为：2029.14.袋中有除颜色外其余完全相同的个红球和个白球，每次取个球，若取出红球，则不放回；若取出白球，则放回.现连续取次球，若袋中还有个红球，则第次取出红球的概率为________.【答案】【解析】记“第次取出白球为事件”，“第次取出红球为事件”，“连续取球3次，袋中还有1个红球为事件”，事件的发生，意味着三次取球中有且仅有一次取到红球，该次可能是第一次、第二次或第三次，这三种情况互斥，则，因为，，，所以，所以.故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.（1）当时，求的内切圆的半径；（2）求的取值范围.解：（1）因为，，得，由及正弦定理得，由余弦定理得，又，故，设内切圆的半径为，则，解得.（2）由题意知，，在中，，由三角形的三边关系可得得，令，由对勾函数的性质可得当时单调递减，当时，单调递增，又，，，所以，所以的取值范围为.16.某科技创新型企业自创建以来，不断加大研发投入，走科技创新之路，年利润得到较快增长，2021～2025连续五年的年利润y(单位：亿元)与年份序号x(，2，3，4，5，其中2021年记为1，2022年记为2，以此类推）满足某一元非线性回归方程，统计数据如下：3742306.31441.64注：，.（1）设和y的相关系数为，x和v的相关系数为，请从相关系数的角度，确定和（其中a，b，m，n均为常数，e为自然对数的底数）哪一个拟合程度更好；（2）根据（1）的结论及表中数据，建立y关于x的回归方程.附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.②参考数据：.解：（1）令，则可化为，，令，则可化为，即，因为，所以，则，因此从相关系数的角度来看，模型的拟合程度更好.（2）由（1）知，用模型比较合适，令，则可化为，即，所以，因为，，所以，则关于的回归直线方程为，所以.17.已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点在上，过的直线与相交于，两点.（1）求的方程；（2）求面积的最大值.解：（1）因为，所以，又，所以，解得，，所以的方程为.（2）由，知，得到，设，，，由，得，由，由韦达定理得，，，所以的面积，令，则，，因为函数在上单调递增，所以，，即面积的最大值为12.18.在如图所示的五面体中，是等腰直角三角形，，，均垂直平面，.（1）求证：平面平面；（2）设四棱锥的外接球球心为，求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：由题意可知，，，，所以四边形，四边形均为直角梯形，因为，所以，所以，所以，在中，可得，在中，可得，在梯形中，可得，所以，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）解：取的中点为，在中，，同理可求得，则的中点即为四棱锥外接球的球心.以为原点，直线，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量，则令，得.设平面的法向量，则令，得.设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.19.已知函数.（1）若曲线在处的切线在轴上的截距为，求的值；（2）若有2个极值点，求的取值范围；（3）当且时，证明：.（1）解：由函数，可得，则且，所以，因为切线在轴上的截距为，令，可得，解得.（2