单元测评四几何初步与三角形

福建专版2026单元测评四几何初步与三角形一、选择题(每小题4分，共40分)1.在下列各组线段中，能组成三角形的是(

)A.1，6，6 B.2，3，5

C.2，6，9

D.5，3，10A2.下列图中能说明∠1＝∠2一定成立的是(

)A

B

C

DA3.如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝66°，则∠2的度数为(

)A.66° B.34°C.24°

D.14°(第3题)C

B

(第5题)C

D

(第7题)B8.如图，若正五边形ABCDE的边AB，DC的延长线交于点F，则∠F的度数为(

)A.24° B.36°C.54°

D.72°(第8题)B9.如图，小明用两个全等的三角形设计了一个“燕尾”的平面图案，已知△APB≌△APC，连接BC，与AP的延长线交于点D，则下列推断错误的是(

)A.PD平分∠BPC B.AP⊥BCC.D是BC的中点

D.BC＝PC(第9题)D

(第10题)C二、填空题(每小题4分，共24分)11.已知∠A＝55°，则它的余角的大小是__________.35°

13.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中________________________.三个内角都大于60°14.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点.若∠2＝40°，∠3＝60°，则∠1的度数为___________.(第14题)160°15.二国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处(“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短)，奏出来的音调最和谐悦耳.如图，一把二长为80cm，则“千斤”下面一截琴弦长为________________cm.(结果保留根号)(第15题)

16.如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，点E在BD上，过点E作EF⊥BD，交AB于点F.若BE＝4，BF＝5，DE＝EF，则BC＝________.(第16题)

三、解答题(共7小题，共86分)17.(8分)如图，已知△ABC和△DEF，点B，D在线段AE上，AD＝BE，∠A＝∠FDE，AC＝DF.求证：∠C＝∠F.证明：∵AD＝BE，∴AD＋BD＝BE＋BD.∴AB＝DE.

∴△ABC≌△DEF(SAS).∴∠C＝∠F.18.(10分)如图，在△ABC中，D是边AB上一点，∠ACD＝∠B.

(1)求证：△ACD∽△ABC；解：证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC.(2)若AD＝1，BD＝3，求AC的长.解：∵△ACD∽△ABC，

∴AC2＝AB∙AD.∵AD＝1，BD＝3，∴AB＝4.∴AC2＝4.∴AC＝2.19.(10分)如图，AB∥DC，AC平分∠DAB，∠ACB＝∠ABC，点E在线段AC上，AE＝CD.求证：△ABE是等腰三角形.证明：∵AB∥DC，∴∠BAC＝∠ACD.∵∠ACB＝∠ABC，∴AC＝AB.

∴△ABE≌△CAD(SAS).∴∠ABE＝∠CAD.∵AC平分∠DAB，∴∠CAB＝∠CAD.∴∠CAB＝∠ABE.∴△ABE是等腰三角形.

解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ABD中，设AB＝a.

∵AB2＝BD2＋AD2，

∵BD＝2CD，

21.(14分)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E为边BC的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F.求证：AB＝AF＋CF.证明：如图，延长AE交DF的延长线于点M.∵点E为BC的中点，∴BE＝CE.∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠M.

∴△ABE≌△MCE(AAS).∴AB＝MC.∵∠BAE＝∠EAF，∴∠EAF＝∠M.∴MF＝AF.∵MC＝MF＋CF，∴AB＝AF＋CF.22.(16分)综合与实践数学定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”.现有素材：32根等长的火柴棒(每根长度记为1).探究活动：从素材中取出若干根火柴棒，首尾依次相接组成“整数三角形”.(画出示意图即可)示范活动：用12根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”.任务1：分别用24根和30根火柴棒摆出直角“整数三角形”.

解：摆出如图所示的“整数三角形”.任务2：取出若干根火柴棒，摆出三个不同的等腰“整数三角形”.解：摆出如图所示三个不同的等腰“整数三角形”.任务3：取出若干根火柴棒，能摆出下面的“整数三角形”吗？如果能，请画出示意图；如果不能，请说明理由.①等边“整数三角形”；②一个非特殊(既非直角三角形，也非等腰三角形)“整数三角形”.解：①不能摆出等边“整数三角形”.理由如下：

所以不能摆出等边“整数三角形”.②能摆出一个非特殊“整数三角形”，如图所示.23.(16分)如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，另有一块等腰直角三角尺CPQ的直角顶点放在C处，CP＝CQ＝2，将三角尺绕点C旋转(保持点P在△ABC)，连接AP，BP，BQ.证明：∵∠ACB＝∠PCQ＝90°，∴∠ACB－∠PCB＝∠PCQ－∠PCB.∴∠ACP＝∠BCQ.又CA＝CB，CP＝CQ，∴△ACP≌△BCQ(SAS).∴AP＝BQ.（1）求证：AP＝BQ；(2)当PQ⊥BQ时，求AP的长；解：如图，过点C作CH⊥PQ于点H.∵PQ⊥BQ，∴∠PQB＝90°.∵∠CQP＝∠CPQ＝45°，∴∠CQB＝135°，△PCH为等腰直角三角形.∵△ACP≌△BCQ，∴∠APC＝∠BQC＝135°.∴∠APC＋∠CPQ＝180°.∴A，P，Q三点共线.

在Rt△ACH中，

(3)设射线AP与射线BQ相交于点E，连接EC，直接写出旋转过程中EP，EQ与EC之间的数量关系.

解析：如图，当点E在线段BQ上时，过点C作CM⊥BQ，交BQ的延长线于点M，⊥EP于点N，设BC交AE于点O.∵△ACP≌△BCQ，∴∠CAO＝∠OBE.又∠AOC＝∠BOE，∴∠OEB＝∠ACO＝90°.∵∠M＝E＝∠MEN＝90°，∴∠＝90°＝∠PCQ.∴∠＝∠QCM.∵PC＝CQ，P＝∠M＝90°，∴P≌△CMQ(AAS).∵CE＝CE，∴△CEN≌△CEM(HL).∴EN＝EM，∠CEN＝∠CEM＝45°.∴EP＋EQ＝EN＋PN＋EM－QM＝2EN，EC＝2EN.∴E