函数：MAX MIN函数讲义 高三数学一轮复习

函数：MAXMIN函数解题方法：画图，谁大取谁，谁小取谁法思路点睛：求解形如（或）的函数的最小值（或最大值）的步骤：（1）根据，先求解出两个图象交点的横坐标；（2）根据图象的相对位置对图象进行取舍，由此得到（或）的函数图象；（3）直接根据函数图象确定出最大值（或最小值）.例1．已知设，则函数的最大值是（

）A．8 B．7 C．6 D．5【解析】画出函数图像求得解析式，再求最大值即可根据题目的定义得，，化简得，，可根据该分段函数做出图像，显然在左边的交点处取得最大值，此时，，得即为所求；故选：C例2．定义一种运算（为常数），且则使函数最大值为的值是（

）A．-2或6 B．4或6 C．-2或4 D．-4或4解因为在上的最大值为4，所以，解得或，所以要使函数的最大值为4，根据定义可知，当时，即当时，，解得，当时，即当时，，解得，故选：C例3．已知函数，．记，则下列关于函数的说法正确的是（

）A．当时，B．函数的最小值为C．函数在上单调递减D．若关于的方程恰有两个不相等的实数根，则或【详解】由题意得：，其图象如图所示：由图象知：当时，，故A正确；函数的最小值为，故正确；函数在上单调递增，故错误；方程恰有两个不相等的实数根，则或，故正确；故选：ABD例4．对任意两个实数，，定义，若，，下列关于函数，的说法正确的是（

）A．函数是偶函数B．方程有两个解C．函数有4个单调区间D．函数有最大值为0，无最小值【详解】由题意可得，，作出函数图象可得，

所以该函数为偶函数，有两个零点，，四个单调区间，当时，函数取得最大值为0，无最小值．故选：．例5．设函数其中表示中的最小者．下列说法正确的有（

）A．函数为偶函数B．当时，有C．当时，D．当时，解画的图象如图所示：对A选项，所以恒成立，故选项A正确；对B选项，当时,,

可以看做是向右平移两个单位，经过平移知恒成立,故选项B正确；对C选项，由图知,当时,,可令

,由

和

的图象知,当

时,

在的上方,所以当

时,

,即成立,故选项正确；对D选项，根据函数图像向右平移2个单位的图像不完全在原来函数图像上方知选项错误.故选:例6．已知函数，的图象与的图象关于对称，与的图象关于直线对称，设，则（

）A． B． C． D．的最小值为【详解】对于A，由得：，A错误；对于B，与关于对称，，B正确；对于C，与的图象关于直线对称，若，则上的点关于对称的点为，即；由知：，C正确；对于D，与关于对称，，在平面直角坐标系中作出图象如下图所示，由图象可知：的最小值为，D错误.故选：BC.例7、定义，设函数，则的最大值为______【详解】当时，即，解得或，此时，；当时，即，解得，此时，，所以，，作出函数的图象如下：由图可知.故答案为：.例8．记，已知，设函数，若方程有解，则实数m的取值范围是__________________．【详解】由题意有解，即有交点令当当故画出函数的简图，如下图所示：数形结合可知，当时，故若有交点，则实数m的取值范围是故答案为：例9．已知函数，则的最小值为________【详解】在同一坐标系作出的图象如下图：根据取最大值函数的定义可知的图象如下图所示：根据的图象可知，的最小值在的一个交点处取到，令，解得或（舍），所以，故答案为：.例10．记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，x2，…，xn}，则min{x＋1，x2－x＋1，－x＋6}的最大值为________．如图所示，y＝min{x＋1，x2－x＋1，－x＋6}的图象为图中的实线部分，由图像得到所求最大值为图中B点的纵坐标．由得点B，故所求最大值为．故答案为：.【点睛】本题考查对新定义的理解，以及函数的最值，还考查了数形结合的思想的运用，属于中档题.例11．已知函数设，表示中的较大值，表示中的较小值，记得最小值为得最大值为,则_______【详解】令，即解得：，又对称轴为：，对称轴为：可在同一直角坐标系中得到、图象如下图所示：由图象可知，当时，取得最小值，即当时，取得最大值，即本题正确结果：例12．对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较大的数，如，因此______；若，则x=______.解：因为符号表示p，q两数中较大的数，所以；则，当时，，解得或（舍去）；当时，，解得或（舍去），所以或，故答案为：，0或1例13．已知函数，.(1)求方程的解集；(2)定义：.已知定义在上的函数，求函数的解析式；(3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，画出函数的简图，并根据图象写出函数的单调区间和最小值.解（1）由，得且，解得，；所以方程的解集为（2）由已知得.（3）函数的图象如图实线所示：函数的单调递减区间是，单调递增区间是，其最小值为1.例14．已知函数，，．（1）在图中画出函数，的图象；（2）定义：，用表示，中的较小者，记为，请分别用图象法和解析式法表示函数．（注：图象法请在图中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明）解（1），的图象如下图所示：（2）当时，，则；当时，，则；当时，，则；综上所述：.图象如下图所示：例15．对于任意的实数表示中较小的那个数，即已知函数（1）求函数在区间上的最小值；（2）设，求函数的最大值.解：（1）因为在单调递增，在单调递减，所以在上的最小值为.又于是所以函数在上的最小值为2.（2）当时，即时，当时，即或时，作出函数的图象如下图所示，在单调递增，在单调递减.即当时，取到最大值2.所以函数的最大值为2.【点睛】本题考查函数最值的求法，考查数形结合思想的运用，属于基础题．例16．已知对任意两个实数a，b，定义，设函数，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且．(1)求函数的最小值；(2)若不等式对任意实数t恒成立，求非零实数m的取值范围．解：（1），，令，则是奇函数，而是偶函数，所以，即，解得，.所以的图象如下图所示，由图可知的最小值为.（2）由（1）得，是偶函数，开口向上，在区间上递增，上递减，不等式对任意实数t恒成立，，，当时，恒成立，符合题意.当时，，所以，恒成立，所以，解得.当时，，所以，恒成立，所以，解得，综上所述，的取值范围是.例17．已知函数，，．设函数.(1)若，求的最小值；(2)若的最小值小于，求的取值范围．（1）由题意可得，当时，，当时，，所以当时，作出的图象，如图1：由图可知的最小值为．（2）且，图象的对称轴分别为直线，．①如图2，当，即时，在上随的增大而减小，在上随的增大而增大，所以，由，解得，故．②如图3，当，即时，在上随的增大而减小，在上随的增大而增大，所以，则，解得，故．③如图4，当，即时，在上随的增大而减小，在上随的增大而增大，所以，由，解得，故．