离散型随机变量及其分布列+讲义 高三数学一轮复习

一轮复习离散型随机变量及其分布列知识梳理1．离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的概率分布列．(2)离散型随机变量的分布列的性质①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝13．常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，则其分布列为X01P1－pp其中p＝P(X＝1)称为成功概率．(2)超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,M)Ceq\o\al(n－k,N－M),Ceq\o\al(n,N))，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布列.X01…mPeq\f(Ceq\o\al(0,M)Ceq\o\al(n－0,N－M),Ceq\o\al(n,N))eq\f(Ceq\o\al(1,M)Ceq\o\al(n－1,N－M),Ceq\o\al(n,N))…eq\f(Ceq\o\al(m,M)Ceq\o\al(n－m,N－M),Ceq\o\al(n,N))典例剖析题型一离散型随机变量分布列的性质解题要点抓住分布列两个性质：①p1＋p2＋…＋pn＝1；②pi≥0(i＝1，2，…，n)是解题的关键．例1设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X－101Peq\f(1,2)1－2qq2则q等于________．变式训练随机变量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则a＋c＝________.题型二利用性质求离散型随机变量的分布列解题要点若X为随机变量，则2X＋1，|X－1|等仍然为随机变量，求它们的分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．例2设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求2X＋1的分布列。变式训练若上例条件不变，求|X－1|的分布列题型三离散型随机变量的分布列求法解题要点1．求分布列的关键是正确求出随机变量的所有可能值及对应的概率，要注意避免分类不全面或计算错误．2.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．例3端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．变式训练若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X)．当堂练习1．已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且E(ξ)＝6.3，则a值为________．ξ4a9p0.50.1b2．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(k,15)(k＝1，2，3，4，5)，则Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<X<\f(5,2)))＝________.3.设随机变量Y的分布列为Y－123Peq\f(1,4)meq\f(1,4)则“eq\f(3,2)≤Y≤eq\f(7,2)”的概率为________．4．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为________．5．若随机变量X的分布列为X1234Peq\f(1,3)meq\f(1,6)eq\f(1,8)则m＝________．课后作业填空题1．抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是________．①第一枚6点，第二枚2点②第一枚5点，第二枚1点③第一枚1点，第二枚6点④第一枚6点，第二枚1点2．设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)的值为________．3．从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1的概率是________．4．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是_____．5．某一离散型随机变量ξ的概率分布列如下表，且Eξ＝1.5，则a－b的值为________．ξ0123P0.1ab0.16．已知ξ的分布列ξ＝－1,0,1，对应P＝eq\f(1,2)，eq\f(1,6)，eq\f(1,3)，且设η＝2ξ＋1，则η的期望是________．7．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是________．8．设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝i)＝a(eq\f(2,3))i，i＝1,2,3，则a的值是________．9．已知某篮球运动员比赛中罚球的命中率为0.8，每次罚球命中得1分，罚不中得0分，则他罚球一次得分ξ的期望为________．10．某射手射击一次所得环数X的分布列为X78910P0.10.40.30.2则P(X>7)＝________.11．10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．二、解答题12．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．13．某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望．

2023届一轮复习离散型随机变量及其分布列解析知识梳理1．离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的概率分布列．(2)离散型随机变量的分布列的性质①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝13．常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，则其分布列为X01P1－pp其中p＝P(X＝1)称为成功概率．(2)超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,M)Ceq\o\al(n－k,N－M),Ceq\o\al(n,N))，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布列.X01…mPeq\f(Ceq\o\al(0,M)Ceq\o\al(n－0,N－M),Ceq\o\al(n,N))eq\f(Ceq\o\al(1,M)Ceq\o\al(n－1,N－M),Ceq\o\al(n,N))…eq\f(Ceq\o\al(m,M)Ceq\o\al(n－m,N－M),Ceq\o\al(n,N))典例剖析题型一离散型随机变量分布列的性质解题要点抓住分布列两个性质：①p1＋p2＋…＋pn＝1；②pi≥0(i＝1，2，…，n)是解题的关键．例1设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X－101Peq\f(1,2)1－2qq2则q等于________．答案1－eq\f(\r(2),2)解析由分布列的性质知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2q≥0，,q2≥0，,\f(1,2)＋1－2q＋q2＝1，))∴q＝1－eq\f(\r(2),2)．变式训练随机变量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则a＋c＝________.答案eq\f(2,3)解析由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,a＋b＋c＝1，))则2b＝1－b，则b＝eq\f(1,3)，a＋c＝eq\f(2,3)题型二利用性质求离散型随机变量的分布列解题要点若X为随机变量，则2X＋1，|X－1|等仍然为随机变量，求它们的分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．例2设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求2X＋1的分布列。解析由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，解得m＝0.3.首先列表为：X012342X＋113579从而由上表得2X＋1的分布列为：2X＋113579P0.20.10.10.30.3变式训练若上例条件不变，求|X－1|的分布列解析由上知，m＝0.3.列表为：X01234|X－1|10123从而由上表得|X－1|的分布列为：|X－1|0123P0.10.30.30.3题型三离散型随机变量的分布列求法解题要点1．求分布列的关键是正确求出随机变量的所有可能值及对应的概率，要注意避免分类不全面或计算错误．2.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．例3端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．解析(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)C\o\al(1,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,4).(2)X的所有可能值为0,1,2，且P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).综上知，X的分布列为X012Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)故E(X)＝0×eq\f(7,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(3,5)(个)．变式训练若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X)．解析(1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345；(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为Ceq\o\al(3,9)＝84，随机变量X的取值为：0，－1,1，因此P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,9))＝eq\f(2,3)，P(X＝－1)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,9))＝eq\f(1,14)，P(X＝1)＝1－eq\f(1,14)－eq\f(2,3)＝eq\f(11,42)，所以X的分布列为X0－11Peq\f(2,3)eq\f(1,14)eq\f(11,42)则E(X)＝0×eq\f(2,3)＋(－1)×eq\f(1,14)＋1×eq\f(11,42)＝eq\f(4,21).当堂练习1．已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且E(ξ)＝6.3，则a值为________．ξ4a9p0.50.1b答案7解析由分布列的性质可得0.5＋0.1＋b＝1，解得b＝0.4.由E(ξ)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3，解得a＝7．2．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(k,15)(k＝1，2，3，4，5)，则Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<X<\f(5,2)))＝________.答案eq\f(1,5)解析Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<X<\f(5,2)))＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq\f(1,15)＋eq\f(2,15)＝eq\f(1,5).3.设随机变量Y的分布列为Y－123Peq\f(1,4)meq\f(1,4)则“eq\f(3,2)≤Y≤eq\f(7,2)”的概率为________．答案eq\f(3,4)解析依题意知，eq\f(1,4)＋m＋eq\f(1,4)＝1，则m＝eq\f(1,2).故Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)≤Y≤\f(7,2)))＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).4．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为________．答案eq\f(27,220)解析由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,9),C\o\al(3,12))＝eq\f(27,220).5．若随机变量X的分布列为X1234Peq\f(1,3)meq\f(1,6)eq\f(1,8)则m＝________．答案eq\f(3,8)解析根据随机变量概率的性质有eq\f(1,3)＋m＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,8)＝1，解得m＝eq\f(3,8).课后作业填空题1．抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是________．①第一枚6点，第二枚2点②第一枚5点，第二枚1点③第一枚1点，第二枚6点④第一枚6点，第二枚1点答案④解析第一枚的点数减去第二枚的点数不小于5，即只能等于5，故选④．2．设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)的值为________．答案eq\f(1,3)解析设X的分布列为：X01Pp2p即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，设失败的概率为p，成功的概率为2p.由p＋2p＝1，则p＝eq\f(1,3)．3．从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1的概率是________．答案eq\f(12,35)解析设随机变量X表示取出次品的个数，则X服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，i＝3，它的可能的取值为0,1,2，相应的概率为P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,13),C\o\al(3,15))＝eq\f(12,35).4．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是_____．答案9解析X的所有可能取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个．5．某一离散型随机变量ξ的概率分布列如下表，且Eξ＝1.5，则a－b的值为________．ξ0123P0.1ab0.1答案0解析eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.1＋a＋b＋0.1＝1,0×0.1＋a＋2b＋3×0.1＝1.5))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0.4，,b＝0.4.))故a－b＝0.6．已知ξ的分布列ξ＝－1,0,1，对应P＝eq\f(1,2)，eq\f(1,6)，eq\f(1,3)，且设η＝2ξ＋1，则η的期望是________．答案eq\f(2,3)解析Eξ＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,3)＝－eq\f(1,6)，∵η＝2ξ＋1，∴Eη＝2Eξ＋1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)))＋1＝eq\f(2,3).7．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是________．答案eq\f(6,5)解析记“同时取出的两个球中含红球的个数”为X，则P(X＝0)＝eq\f(C30C22,C52)＝eq\f(1,10)，P(X＝1)＝eq\f(C31C21,C52)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，P(X＝2)＝eq\f(C32C20,C52)＝eq\f(3,10)，E(X)＝0×eq\f(1,10)＋1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(3,10)＝eq\f(6,5).8．设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝i)＝a(eq\f(2,3))i，i＝1,2,3，则a的值是________．答案eq\f(27,38)解析1＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝a[eq\f(2,3)＋(eq\f(2,3))2＋(eq\f(2,3))3]，解得a＝eq\f(27,38).9．已知某篮球运动员比赛中罚球的命中率为0.8，每次罚球命中得1分，罚不中得0分，则他罚球一次得分ξ的期望为________．答案0.8解析由题意，他得分的分布列为ξ10P0.80.2∴E(ξ)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.10．某射手射击一次所得环数X的分布列为X78910P0.10.40.30.2则P(X>7)＝________.答案0.911．10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．答案eq\f(1,2)解析由超几何分布的概率公式可得P(恰好取到一件次品)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(3,7),Ceq\o\al(4,10))＝eq\f(1,2).二、解答题12．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的