湖南省常德市沅澧共同体2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省常德市沅澧共同体2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试题一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的一个方向向量为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得，，所以直线的一个方向向量为，而，所以也是直线的一个方向向量.故选：B.2.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知可得，，，所以，向量在向量上的投影向量是.故选：B3.直线恒过定点（）A. B. C. D.【答案】B【解析】变形为，故恒过点.故选：B.4.已知正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，取中点，连接，因为是的重心，，所以，所以.故选：B.5.圆与圆的位置关系为A.内切 B.相交 C.外切 D.相离【答案】B【解析】因为是分别以点为端点的三条相等线段，且两两垂直，以为原点，分别为轴建立如图所示坐标系，设，则，，，，所以，，，设平面的法向量，则，令得平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的余弦值为，故选：D.7.直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当时，直线的方程为，此时倾斜角，当时，由直线方程可得斜率，因为且，所以，即，又，所以，综上，故选：D.8.如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则以下不正确的是（）A.当在平面上运动时，四棱锥的体积不变B.当在线段上运动时，与所成角的取值范围是C.使直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为D.若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是【答案】D【解析】对于A中：底面正方形的面积不变，点到平面的距离为正方体棱长，所以四棱锥的体积不变，所以A选项正确；对于B中：以为原点，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，可得，设，则，设直线与所成角为，则，因，当时，可得，所以；当时，，所以，所以异面直线与所成角的取值范围是，所以B正确；对于C中：因为直线与平面所成的角为，若点在平面和平面内，因为最大，不成立；在平面内，点的轨迹是；在平面内，点的轨迹是；在平面时，作平面，如图所示，因为，所以，又因为，所以，所以，所以点的轨迹是以点为圆心，以2为半径的四分之一圆，所以点的轨迹的长度为，综上，点的轨迹的总长度为，所以C正确；对于D中，由，设，则设平面的一个法向量为，则，取，可得，所以，因为平面，所以，可得，所以，当时，等号成立，所以D错误.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列四个命题中错误的有（）A.直线的倾斜角越大，其斜率越大B.直线倾斜角的取值范围是C.若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为D.若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为【答案】ACD【解析】对于A，当倾斜角为锐角时，斜率大于0，当倾斜角为钝角时，斜率小于0，故A错误；直线倾斜角的取值范围是，故B正确；若一条直线的斜率为，此时可以为负角，而直线倾斜角的取值范围是，故C错误；当直线的倾斜角时，直线的斜率不存在，故D错误.故选：ACD.10.在中角，，所对的边分别为，，，以下叙述或变形中正确的有（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】A选项，由正弦定理得，A选项正确.B选项，由正弦定理得，而当时，则或，则或，所以B选项错误.C选项，由正弦定理得，所以，所以C选项正确.D选项，，由正弦定理得，所以D选项正确.故选：ACD.11.（多选）若对任意恒成立，其中是整数，则的可能取值为（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】当时，由可得对任意恒成立，此时不存在；当时，由对任意恒成立，可设，，作出的图象如下，由图可知，因为是整数，所以解得或或或，所以的可能取值为或或，故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.点到直线的距离是__________.【答案】或【解析】点到直线的距离.故答案为：.13.棱长为2的正四面体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值是__________.【答案】【解析】连接，取中点，连接，因为是正四面体，且棱长为2，分别为的中点，所以，因为分别为中点，所以，且，所以直线和夹角即为，在中，所以在中由余弦定理可得，所以直线和夹角的余弦值是.故答案为：.14.由曲线围成的图形的面积为______.【答案】【解析】将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于轴，轴对称，因此只需求出第一象限的面积即可，当，时，曲线可化为：，表示的图形为以为圆心，半径为的一个半圆，则第一象限围成的面积为，故曲线围成的图形的面积为.故答案为：.四､解答题：本题共5个小题，共77分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知三角形的三个顶点，，.（1）求边的中垂线所在直线的方程；（2）求△ABC的面积．解：（1）∵，∴，中点坐标.∴边的中垂线所在直线的方程：，即.所以边的中垂线所在直线的方程为：.（2）∵，.∴边所在直线方程为：，即.∴点到直线的距离为：.∵，∴∴.所以求△ABC的面积为.16.解答下列各题．（1）若，求的最小值．（2）若正数，满足，求的最小值．解：（1）由可得，所以，当且仅当时，即时，等号成立；此时的最小值为7.（2）由可得，因此，当且仅当时，即时，等号成立；此时最小值为.17.已知锐角内角及对边，满足.（1）求的大小；（2）若，求周长的取值范围.解：（1）因为，由正弦定理可得，又因为，所以，，可得，由，可得.（2）因为，由正弦定理，可得，可得，因锐角三角形中，所以，解得，所以，所以，可得.周长的取值范围为.18.在直三棱柱中，，点是的中点，点是的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离；（3）求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：如图所示，取中点，连结，因为直三棱柱中点是的中点，点是的中点，所以，且，即且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）解：解法一：因三棱柱为直三棱柱，所以，又，即，因为，平面，所以平面，在平面中，过作，因为平面，所以，因为，平面，所以平面，故为点到平面的距离，在等腰三角形中，，所以.解法二：因为直三棱柱中，所以两两垂直，以点为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，，，设平面的法向量，则，解得平面的一个法向量，所以点到平面的距离.（3）解：易知是平面的法向量，设是平面的法向量，因为，，则，解得平面的一个法向量，设角是平面与平面的夹角，则，由题知二面角的平面角是钝角，所以平面与平面夹角的余弦值为.19.已知直线与圆相交于两点，且.（1）若直线过点，求直线的方程；（2）①若线段的中点为点，求点的轨迹方程；②过点作直线与曲线交于两点，若点的坐标为，直线的斜率分别为，求证：为定值.（1）解：由题意可知：圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离，若直线的斜率不存在，即直线，满足