江苏省盐城市、南京市2026届高三上学期期末调研测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省盐城市、南京市2026届高三上学期期末调研测试数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，所以，故选：B.2.若复数满足，则在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由得，所以复数在复平面内对应的点为，所以在复平面内所对应的点位于第一象限.故选：A.3.已知随机变量服从正态分布，且，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.7【答案】D【解析】已知随机变量服从正态分布，且，由于正态分布关于均值对称，所以对称轴为，，所以.故选：D.4.已知直线与抛物线相切，则抛物线的焦点到准线的距离为（）A. B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】联立方程组，整理得，因为直线与抛物线相切，则，解得或，因为，所以，所以抛物线的焦点到准线的距离为.故选：D.5.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当，，，所以可以推出，当，，即，当，得；当，得，推不出.故选：A.6.已知数列满足，，，记，为数列的前项和，则（）A.63 B.127 C.255 D.256【答案】C【解析】由得，又，易得，两边同时取以为底的对数得，即，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则.故选：C.7.在中，，则（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】在中，设角对边分别为，因为，可得，即，即，又由，又因为，所以，即，因为，所以，所以.故选：B.8.已知函数，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，所以在R上单调递增,由，得，且，所以在上单调递增，因此，对任意，x1和x2由题意：，，即，则，故，故，根据的x1是唯一的，得，即，故，，令，，则，由得，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；故当时，取得最小值：，因此，即：.故选：C.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】因为所以，即，故A正确；因为，所以，即，故B正确；因为，不能确定指数函数是增函数，即不一定成立，故C错误；因为，所以，当且仅当时取等号，即，故D正确；故选：ABD.10.“水韵江苏·家门口享非遗”展示活动中，主办方从全省遴选70余项极具地方特色的非遗代表性项目，并别出心裁地划分为“指尖非遗”“潮玩非遗”“舌尖非遗”“康养非遗”四大主题板块．甲、乙、丙3名游客每人至少从中选择一个主题体验，每个主题都恰有1人体验，记事件“甲体验指尖非遗”，“甲体验潮玩非遗”，“乙体验舌尖非遗”，则（）A.与对立 B.C.与相互独立 D.【答案】BD【解析】3名游客，4个主题，每人至少从中选择一个主题体验且每个主题都恰有1人体验，则必有1名游客选择2个主题，其余2人选择1个主题，则总的样本点总数为：，对于A选项，甲可能同时体验两个主题，所以事件与不对立，故A错误；对于B，事件“甲体验指尖非遗”，分两种情况：当甲只选“指尖非遗”时，则剩余2名游客有名游客选择两个主题，另外1人选择1个主题，所以样本点数为：，当甲选两个主题，其中一个是“指尖非遗”时，则甲从剩下3个选一个主题，则剩余的2主题分配给乙，丙，所以样本点数为：，所以事件包含的样本点数为，故，故B正确；同理，，对于C，事件表示甲选“指尖非遗”且乙选“舌尖非遗”，分三种情况讨论：当甲选2个主题，其中一个是“指尖非遗”，乙只选“舌尖非遗”，此时的样本点数为：，当甲只选“指尖非遗”，乙选2个主题，其中一个是“舌尖非遗”，此时的样本点数为：，当甲只选“指尖非遗”，乙只选“舌尖非遗”，则丙选剩下的两个主题，此时样本点数为：1，所以事件包含的样本点数为：，所以，由于，所以与不独立，故C错误；对于D，，故D正确；故选：BD.11.在直角中，已知为斜边的中点，将沿着所在直线翻折，得到，记三棱锥体积为，则在翻折过程中（）A.的最大值为B.存在某个位置，使得C.当取最大值时，直线与平面所成的角最大D.当取最大值时，三棱锥外接球的半径为【答案】BCD【解析】在直角中，因为为斜边，所以，为正三角形，取的中点，易知，点P绕点E旋转，对于A，易知当面垂直于底面时，此时到底面的距离最远为，则取得最大值，故A错误；对于B，以为空间中的一组基底，，设，有，若，则，此时，显然存在某个位置，使得，故B正确；对于C，设P在底面的投影为G，则直线与平面所成的角为，易知G在上，，所以，由正弦函数的单调性可知当重合时取得最大值，即此时V取得最大值，故C正确；对于D，结合A知，取最大值时底面，建立如图所示的空间直角坐标系，易知，设三棱锥外接球的半径为r，球心，则，解之得，即，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，计15分．请把答案写在答题纸的指定位置上．12.若定义在上的减函数满足，请写出满足条件的一个函数___________．【答案】（可以是，其中）【解析】根据定义在上的减函数，结合题意可令，因为，满足题意，故答案为：（可以是，其中）.13.已知直线：与圆：交于，两点，与轴交于点，为的中点，则的长为___________．【答案】【解析】直线与圆联立，，，解得，所以，，则中点横坐标为，纵坐标为，所以，当时，，所以，所以.故答案为：.14.已知，曲线与相邻的三个交点恰为一个直角三角形的三个顶点，则___________．【答案】【解析】设三个交点分别为.因为，整理得，即，令，解得，令，得到，，，代入中得到，，，，因此三个交点为.由勾股定理可得，代入得，化简，解得.故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，计77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15.设等差数列的前项和为，已知．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．解：（1）设等差数列的首项为，公差为，由得，解得，所以，即数列的通项公式为.（2）由（1）知，所以，因为，所以数列的前项和.16.如图，在四棱锥中，侧面是等边三角形，，且=，．（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成角的正弦值．（1）证明：如图，分别取的中点，连接，因为，且，所以四边形为等腰梯形，所以，且，所以.因为侧面是边长为2的等边三角形，所以，，所以，所以，又平面，，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知平面平面，又，所以两两垂直，以为原点，以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为则，即，取，则，所以.设平面的法向量为则，即，取，则，所以.所以平面与平面所成角的余弦值为，所以平面与平面所成角的正弦值为．17.在中，内角的对边分别为，已知．（1）若，求；（2）若外接圆半径为1，当的面积取最大值时，求．解：（1）因为，得，即，即，故，又，，，所以，故；（2）由（1），，得，又，所以，，故，又根据诱导公式有，可得，所以，故，，因为外接圆半径为1，由正弦定理可得：，所以，故当时，的面积取最大值，此时.18.已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若为椭圆上两点（均在轴上方），且．①已知直线的斜率为，求直线的斜率；②求四边形面积的最大值．解：（1）由题意可知，解得，所以椭圆的标准方程.（2）①延长交椭圆于点，延长交椭圆于点，由对称性可知，所以四边形为平行四边形，因为关于原点对称，所以关于原点对称，设，则，所以，又为椭圆上两点，可得，，所以，化简得，故，又因为，所以，故；②由①可知，在平行四边形中，，从而，因为构成四边形，所以的斜率必不为0，设的方程为，，由得，，，，因为，点O到直线的距离为，所以，令，则，所以当，即时，有最大值为，所以四边形面积的