江西省多校联考2025-2026学年高二上学期1月质量检测数学试题（北师大版）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西省多校联考2025-2026学年高二上学期1月质量检测数学试题（北师大版）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.3名同学计划去四个景点游玩，每人只去1个景点，则不同的选法种数是（）A.81 B.64 C.24 D.12【答案】B【解析】由题意，每位同学均有4个选择，所以不同选法种数是.故选：B.2.抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】抛物线的标准方程为，所以，的焦点坐标为.故选：D.3.在平行六面体中，是的中点，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题知，又，所以.故选：A.4.有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，，，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件个数分别占总数的，，，若从中任取一个零件，则这个零件是次品的概率为（）A.0.036 B.0.040 C.0.042 D.0.048【答案】C【解析】依题意，定义事件“零件为第台车床加工”，事件“零件为次品”；所以即任取一个零件是次品的概率为，故选：C.5.已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】由题可得，又直线的方向向量为，故，所以点到的距离为.故选：A.6.7个人站成一排，其中甲、乙必须相邻，丙不能站两端，则不同的站法种数为（）A.960 B.980 C.1060 D.1260【答案】A【解析】甲、乙相邻，有种不同排法，其中丙站两端的站法有种，故甲、乙必须相邻，丙不能站两端站法有种.故选：A.7.已知点是抛物线：上位于第一象限内一点，为上位于第四象限内一点，为坐标原点，，且直线的斜率是直线的斜率的2倍，则直线的斜率为（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】设点，的坐标分别为，，则，，.因为，所以，整理得①.又直线的斜率是直线的斜率的2倍，所以，整理得②.由①②解得，所以直线的斜率为1.故选：B.8.某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（）A.110种 B.100种 C.90种 D.80种【答案】B【解析】若丙校派遣1人，则甲校可以派遣1或2或3人，派遣方案有种；若丙校派遣2人，则甲校必须派遣2人，派遣方案有种；所以满足条件的不同的派遣方案有种．故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.（多选题）已知直线，，若，则与间的距离可能为（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】由，得，解得或.当时，的方程为，即，，则与间的距离为；当时，，，则与间的距离为.故选：BD.10.已知在空间直角坐标系中，，，，，则下列说法正确的是（）A. B.的面积为C.是平面的一个法向量 D.三棱锥的体积为【答案】ACD【解析】因为，，，，所以，，，，所以，，，A正确；因为，，，所以为等边三角形，所以，B错误；因为所以，，所以是平面的一个法向量，C正确；由，，即，，又，，平面，所以平面，所以为三棱锥的高，且，所以三棱锥的体积，D正确.故选：ACD.11.已知椭圆的右焦点为，分别为的左、右顶点，，动点在直线上，直线与交于另一点，过点作轴的垂线与直线交于点，则下列说法正确的是（）A.的离心率 B.若，则C. D.直线与相切【答案】BCD【解析】设，其中，由，得，解得，所以，故的方程为，离心率，A错误；由A的分析可知，当时，将代入，得，可得点的坐标为.设直线与轴交于点，则，，而，即得，解得，B正确；设，则，又，所以直线的方程为，令，得点的坐标为；直线的方程为，即，所以点到直线的距离.又点到轴的距离也为，所以，C正确；直线的方程为，令，得点的坐标为，直线的方程为，整理得，联立方程，消去后整理，结合，即，即得，，即得，所以直线与相切，D正确；故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知点在圆内，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】由题知，解得.故答案为：13.袋中有大小、材质相同的2个黄球，3个黑球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不放回，在第1次摸到黑球的条件下，第2次摸到黑球的概率是________.【答案】或【解析】设事件为第一次摸出黑球，事件为第二次摸出黑球，从5个球中不放回地随机摸出2个球，试验的样本空间，又两次均摸出黑球为，所以，又易知，由条件概率公式，知在第1次摸出黑球的条件下，第二次摸出黑球的概率，故答案为：.14.如图，在正方体中，，分别是，的中点，是线段上的动点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为______.【答案】【解析】以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，则，.设，则.设平面的一个法向量，则，取，得，，故平面的一个法向量为.设直线与平面所成角为，则.又，所以，故，即直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的展开式的二项式系数和为64.（1）求的值；（2）求展开式中的常数项.解：（1）由二项式系数和为，知，解得；（2）展开式的第项为.令，得，故常数项第5项，且，即展开式中的常数项为240.16.已知椭圆的焦距为2，点在上.（1）求的方程；（2）若直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，求.解：（1）由题知，解得所以的方程为.（2）设的坐标分别为，联立方程消去后整理得，则，，所以，，所以.17.如图，在几何体中，四边形为矩形，平面，，，，．（1）证明：；（2）求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：由题知，，两两垂直，以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，所以，所以．（2）解：设平面的一个法向量，由（1）知，，则，取，得，，所以平面的一个法向量，设平面的一个法向量，由（1）知，，则，取，得，，所以平面的一个法向量，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为．18.已知圆经过点，且圆心在直线上.（1）求圆的标准方程；（2）设，若圆上存在点，使得，求实数的取值范围；（3）若为圆上的动点，求的取值范围.解：（1）设圆心的坐标为，由，得，解得，所以圆心，半径为5，故圆的标准方程为.（2）如图：由，知点在以线段为直径的圆上，由，知圆心，圆的半径为1，且圆与圆有交点，故，解得或，所以实数的取值范围为.（3）设点的坐标为，则，整理得，所以，令，则直线与圆有公共点，即，解得，则，所以的取值范围为.19.已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上.（1）求方程；（2）设为的右顶点，直线与交于两点，且.①证明：直线过定点；②若都在的左支上，求面积的最小值.（1）解：由题知，解得，所以的方程为.（2）如图：①证明：由（1）知，设的坐标分别为.当直线的斜率为0时，，则，，