辽宁省鞍山市部分学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省鞍山市部分学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在三棱锥中，若，，，则（）A. B.1 C. D.0【答案】B【解析】因为，，，所以.故选：B.2.3个男同学和3个女同学排成一列，进行远足拉练．要求排头和排尾必须是男同学，则不同的排法有（）种．A.36 B.108 C.120 D.144【答案】D【解析】总共有3个男同学，排头必须是男同学，所以排头的选择有种，所以排尾只能从剩余2个男同学选取，有种，最后剩余4人安排在中间4个位置，有种，所以一共有种．故选：D．3.已知为实数，椭圆的离心率为，则（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】D【解析】因为该方程为椭圆方程，所以且，解得，，所以，，则，所以，由题意得，解得.故选：D.4.同时投掷两枚质地均匀骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为8，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】同时投掷两枚质地均匀的骰子，设两枚骰子投出的点数构成有序数对，则总共有种可能，设事件为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件为两枚骰子点数之和为8，所以事件包含的样本点个数有个，所以，事件包含的基本事件有：，所以，所以.故选：C.5.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（）A. B.3 C. D.2【答案】A【解析】直线的斜率为，所以双曲线一条渐近线的斜率为-3，即，所以离心率.故选：A.6.若的展开式中的系数比的系数小300，则实数（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】A【解析】由二项式展开式的通项为，令，可得，所以展开式的的系数为，令，可得，所以展开式的的系数为，因为展开式中的系数比的系数小300，可得，即，解得或，又因为，所以.故选：A.7.甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设这三人中仅有两人获得一等奖为事件A，则.故选：B.8.已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（）A. B. C.6 D.4【答案】D【解析】由抛物线定义可知，因为直线AF的倾斜角为，轴，，所以为等边三角形，故，，所以，其中准线l与轴交点为，则，故，所以.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分..在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本，则下列说法正确的是（）A.若甲分得1本，乙分得2本，丙分得3本，则有60种方案B.若每人分得2本，则有90种方案C.若三人分得书本数互不相同，则有360种方案D.共有450种分配方案【答案】ABC【解析】对于A，甲1本､乙2本､丙3本，方案数为，故A正确；对于B，每人2本，方案数为，故B正确；对于C，书本数互不相同（即1，2，3），所以方案数为，故C正确；对于D，分三类：第一类，每人2本，方案数为90种；第二类，一人1本，一人2本，一人3本，方案数为360种；第三类，一人4本，另外两人各1本，方案数为，故总的分配方案数为种，故D错误.故选：ABC.10.如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（）A.长为B.异面直线与所成角的余弦值为C.D.【答案】ACD【解析】由题意有：，所以，所以，故A正确；，所以，所以，所以，故B错误；由，，所以，所以，故C正确；由，所以，故D正确；故选：ACD.11.已知抛物线（）过点，则下列结论正确的是（）A.点P到抛物线焦点的距离为B.过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则的面积为C.过点P与抛物线相切的直线方程为D.过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N两点，则直线MN的斜率为定值【答案】BC【解析】由抛物线过点，所以，所以，所以抛物线的方程为：；可得抛物线的焦点的坐标为：，准线方程为：，对于A，由抛物线的性质可得到焦点的距离为，故A错误；对于B，可得直线斜率，所以直线的方程为：，代入抛物线的方程可得：，解得，所以，故B正确；对于C，过点P与抛物线相切的直线斜率存在，设直线方程为，与联立，得：，所以，解得，所以切线方程为，故C正确；对于D，设直线的方程为：，与抛物线联立可得，所以，所以，代入直线中可得，即，直线的方程为：，代入抛物线的方程，可得，所以，即，代入直线的方程可得，所以，所以为定值，故D错误．故答案为：BC.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在的展开式中，常数项是__________．【答案】15【解析】的展开式的通项公式为，由得，，∴展开式中的常数项是.故答案为：15.13.若直线l：被圆C：截得的弦长为，则______.【答案】10【解析】易知圆的圆心为，半径，设圆心到直线的距离为，由弦长公式可得，解得，所以圆心到直线的距离，解得或.因为，所以，故答案为：10.14.已知双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率__________.【答案】【解析】设，由双曲线定义可得，即，所以，又，，在中，由余弦定理得，即，解得，故离心率.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共T7分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤15.甲、乙两人参加面试，每人需回答2道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是0.7，乙答对每道题目的概率都是0.6，不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响（1）求甲只答对第二题的概率；解：（1）设“甲只答对第二题”，则,（2）记“甲只答对一道题”，“乙只答对一道题”，“甲两道题都答错”，“乙两道题都答错”，故,,,,记“甲乙两人答对题目数之和为1”，由于事件相互独立，事件相互独立，则.16.已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，M是圆C上的动点，，P是线段的中点.（1）求圆C的标准方程；（2）求点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状.解：（1）设圆的标准方程为.由题意可得，解得,则圆的标准方程为.（2）设，而，因为是线段的中点，所以，即得(*).因为点在圆上，所以，将(*)代入上式，可得，整理得，即点的轨迹方程是，它表示以点为圆心，半径为的圆.17.已知椭圆的离心率为，短轴长为.（1）求C的方程；（2）若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值.解：（1）由题意，得，解得，则椭圆C的方程为.（2）设，联立，得，则，解得，且，所以，点到直线的距离为，则，解得或，满足，则或.18.已知双曲线C：的右顶点为，且双曲线C的一条渐近线恰好与直线垂直.（1）求双曲线C的方程（2）若直线：与双曲线C的右支交于A，B两点，点F为双曲线C的右焦点，点D在双曲线C上，且轴.求证：直线过点F.（1）解：由右顶点为，得，由双曲线C：的一条渐近线恰好与直线垂直，得，即，∴，∴双曲线C的方程为.（2）证明：由（）可知，右焦点F的坐标为（2，0），由题意可知直线斜率存在且不为0，∴，设，，则，由（）可知，双曲线的渐近线方程为，又直线与双曲线的右支交于A，B两点，则，即，且直线过定点作出图像如上，联立消去得，则，得，，，则，又，∴，，∴，∴，又，有公共点F，∴B，F，D三点共线，∴直线过点F19.如图所示，直角梯形中，，垂直，，四边形为矩形，，平面平面.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的正弦值；（3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由.（1）证明：取为原点，所在直线为轴，过点且平行于直线的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，可得，，设平面的一个法向量为，则