辽宁省朝阳市建平县多校联考2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省朝阳市建平县多校联考2025-2026学年高二上学期1月期末数学试卷一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】点关于平面对称的点的坐标为.故选：C.2.若复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，则，所以.故选：C.3.已知圆柱和圆锥的体积之比，底面半径之比为，则该圆柱和圆锥的高之比为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设圆柱和圆锥的高分别为，底面半径分别为，因为圆柱和圆锥的体积之比为，则，所以，故选：A.4.已知向量，若在上的投影向量为，则的所有可能结果的和为（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】因为在上的投影向量为，所以，又，所以，可得，解得或，所以.故选：B.5.世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张､小赵､小李､小罗､小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译､安保､礼仪､服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）种.A.120 B.60 C.24 D.36【答案】D【解析】根据题意可分为2种情况讨论：（i）若小张或小赵只有一人入选，则有种不同的选派方案；（ii）若小张，小赵都入选则有种不同的选派方案，综上可得，共有种不同的选派方案.故选：D6.已知，则的最小值为（）A.3 B.2 C. D.1【答案】D【解析】因为，，所以，，当且仅当时取等号，.故选：D.7.函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（）A.函数图象可由的图象向左平移个单位得到B.函数在区间上单调递增C.函数图象关于直线对称D.函数图象的对称中心为【答案】B【解析】由图象可知，，，因为，所以，所以，而，则，由图可知，所以，所以，A，图象向左平移个单位得到图象，不正确；B，由，可得，则单调递增区间为，则在上单调递增，即在上单调递增，正确；C，由于，则直线不是函数图象的对称轴，不正确；D，由，可得，则函数图象关于点对称，不正确．故选：B.8.已知双曲线的左、右焦点分别为，过原点的直线与的左、右两支分别交于两点，点在上且，若以为直径的圆过点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】连接，，，，由以AB为直径的圆恰好过左焦点可得，由双曲线的对称性得四边形为矩形，可设，则，在直角三角形中，可得，即，解得，又在直角三角形中，，即，，因为所以，即.故选：C．二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共计8分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知直线，则下列表述正确的是（

）A.当时，直线的倾斜角为B.当实数变化时，直线恒过点C.当直线与直线平行时，则两条直线的距离为D.原点到直线的距离最大值为2【答案】ABC【解析】对于A，当时，直线，则直线斜率为，故直线的倾斜角为，故A正确；对于B，直线，当时，，故直线恒过点，故B正确；对于C，当直线与直线平行时，有，得，此时直线，则两条直线的距离为，故C正确；对于D，当直线与过原点、的直线垂直时，原点到直线的距离最大，最大值为，故D错误.故选：ABC.10.已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（）A.所有奇数项的二项式系数和为 B.所有项的系数和为C.二项式系数最大的项为第6项或第7项 D.有理项共5项【答案】BD【解析】因为，所以，所有奇数项的二项式系数和为，故A错误，令，得所有项的系数和为，故B正确，由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，故C错误，因为展开式通项为，当为整数时，，3，6，9，12，共有5项，故D正确．故选：BD．11.在棱长为6的正方体中，分别是棱的中点，是棱上的动点，则（）A.B.异面直线与所成角的余弦值是C.的最小值是D.正方体被平面截得的五边形的周长为【答案】ABD【解析】以D为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示，则，所以，选项A：因为，所以，即，故A正确；选项B：，因为异面直线与所成角范围是，所以异面直线与所成角的余弦值是，故B正确；选项C：将平面沿顺时针旋转与平面共面，连接，如图所示，当A、H、E三点共线时，有最小值，且最小值为，故C错误；选项D：延长，与的延长线交于点G，与的延长线交于点H，连接，交于点M，连接AH，交BC于点N，连接MF，NE，则五边形AMFEN的周长即为所求，因为分别是棱的中点，，所以，则，在中，，因为，所以，所以，所以，则，所以在中，，在中，，同理，，所以五边形AMFEN的周长为，故D正确.故选：ABD.三､填空题（本题共3小恩，每题5分，共计15分：）12.5名同学站成一排，甲身高最高，排在中间，其他4名同学身高均不相等，甲的左边和右边均由高到低排列，共有________种排法.【答案】6【解析】将除甲外的4名同学全排列，甲左边2名同学与右边2名同学顺序一定，所以排法共有种.故答案为：6.13.已知抛物线，点P为抛物线上一点，，则的最小值为______.【答案】【解析】设，则由题意得：，因为点P为抛物线上一点，所以，代入可得：，所以当时，的最小值为，故答案为：.14.设是不为0的实数，已知函数.若函数有7个零点，则的取值范围是______.【答案】.【解析】作出函数的大致图象，如图所示.由，得或.当时，有3个零点；要使函数有7个零点，则当，即时，曲线与直线有4个交点，结合图象可得，解得，即的取值范围为.故答案为：.四､解答题（木题共5小题，共计77分.）15.在平面直角坐标系中，已知圆，直线过点.（1）写出圆的标准方程；（2）当直线被圆截得的弦长为时，求直线的方程.解：（1）配方可得圆的标准方程：.（2）圆的圆心，半径为2，因由直线被圆截得的弦长为，故可得圆心到直线的距离为，直线过点，当直线斜率不存在时，直线，此时点到直线距离恰好为1，故符合条件；当直线斜率存在时，设直线，即，此时圆心到直线的距离为，，此时直线为，即.综上所述，直线的方程为或.16.12月5日，四川省人工智能产业应用场景发布对接大会在南充市举办，大会发布了人工智能应用场景需求清单和产品供给清单共项.某小组围绕人工智能产业的发展前景，向名群众开展了问卷调查，将名群众的分数按分为组，画出如图所示的频率分布直方图.（1）求的值；（2）估计这名群众的分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；（3）从分数在内的群众中用分层抽样的方法随机抽取了名群众，再从这名群众中选取名群众，求这名群众的分数均在内的概率.解：（1）由图可得，得.（2）估计这名群众的分数的平均数为分.（3）由题意得抽取的分数在内的群众人数为人，编号为，抽取的分数在内的群众人数为人，编号为，则该试验的样本空间为，共个样本点，事件“这名群众的分数均在内”包含的样本点为，所以这名群众的分数均在内的概率为.17.在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足．（1）求角C大小；（2）若点D在边AB上，且满足，求的值．解：（1）因为，所以，即，化简得，又，所以，又，，故，.（2）如图：过作于，则，，，又，所以.18.如图多面体中，平面平面，，，且棱中点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求三棱锥的外接球半径.（1）证明：因为，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以，又，，所以四边形为平行四边形，则，所以.（2）解：因为，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，以点为坐标原点，以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，因为，，故，所以，设平面的一个法向量为，则，即，取，则，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为（3）解：设三棱锥的外接球球心，因为，即.所以.因为，所以，所以，故球的半径为.19.如图，已知椭圆：过，两点，直线：与轴交于点．（1）求的方程；（2）过的直线交于，两点（在的左侧），直线，分别交直线于，两点，直线，的斜率分别为，．（I）证明：为定值；（II）记和的面积