辽宁省锦州市2026届高三上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省锦州市2026届高三上学期期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题可得，又，所以.故选：B.2.已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】已知复数，则根据复数的运算可得，则复数在复平面内对应的点的坐标为，所以位于第一象限.故选：.3.已知，那么命题“事件与事件相互独立”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件 D.充要条件【答案】D【解析】由事件A与事件B相互独立，可得由，可得，则事件与事件相互独立，故命题“事件与事件相互独立”是“”的充要条件.故选：D.4.平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A：由，得，解得，不满足题意，故A不正确；对于B：由，得，解得，不满足题意，故B不正确；对于C：由，得，解得，不满足题意，故C不正确；对于D：由，得，解得，满足题意，故D正确.故选：D.5.若圆心角是的扇形面积为，则该扇形围成的圆锥表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】圆心角是，对应为，设扇形的半径为，也即扇形围成的圆锥母线长为，由，设圆锥的底面半径为，则，所以圆锥的表面积为.故选：B.6.设函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（）A.3 B.2 C.1 D.0【答案】A【解析】因为函数的图象与的图象关于直线对称，所以在函数的图象上取点，则关于直线对称点为；所以，得，因为，所以，得.故选：A.7.在正方体的8个顶点中任取三个构成三角形，则构成的三角形是等腰三角形的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】从正方体的8个顶点中任取3个构成三角形，基本事件有种，其中构成的三角形是等腰三角形的分两类：以正方体的棱长为腰和以正方体的面对角线为腰.以为顶点，正方体的棱长为腰的等腰三角形有共3种，正方体有8个顶点，则共有种；以为顶点，正方体的面对角线为腰的等腰三角形有共3种，正方体有8个顶点，有种，其中每个三角形计算了3次，则共有种；综上，其中构成的三角形是等腰三角形的有种，所以构成的三角形是等腰三角形的概率是.故选：C.8.设，，，，，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由正弦函数、余弦函数的图像可知，当时，余弦函数的图像在正弦函数图像的上方，所以，，故当时，，因为，所以，所以，所以，又因为单调递减，所以，即，因为，所以，又因为单调递减，所以，即，所以.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数的图象如图所示，则有（）A.2个极大值点 B.3个极大值点C.2个极小值点 D.3个极小值点【答案】BC【解析】由函数图像可得极大值有3个，极小值有2个，则函数极值点有个，极小值点个.故选：BC.10.已知集合，，且，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】集合表示圆心为，半径为的圆，集合表示圆心为，半径为的圆，表示两圆相交于，两点.对于A：设圆心距为，因为两圆相交，所以，即，故A错误；对于B：因为，所以，同理可得，两式相减得，故B正确；对于C：设线段的中点为，则，又两圆半径相等，则也是的中点，，即，，故C正确；对于D：因为，所以，故D正确；故选：BCD..11.已知数列满足那么（）A.若，则B.若，则C.当时，数列是公比为的等比数列D.若，则【答案】ACD【解析】对于A，若，则，，，所以，以此类推，可得，故A正确；对于B，由题可得，所以，得，故B错误；对于C，由题可得，又，所以数列是以为公比的等比数列，故C正确；对于D，由，又，，，所以，由可得，所以，即，所以，且，又，，所以数列是首项为，公比为的等比数列；数列是首项为，公比为的等比数列；所以，，两式相减得，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知分别为双曲线的左、右焦点，和是以为圆心（为坐标原点），以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则___________．【答案】【解析】依题意得，根据题意，作图如下：因为为等边三角形．故可得，在直角三角形中，可得,根据双曲线的定义：，解得：.故答案为：.13.如图，在平面凸四边形中，，则___________．【答案】17【解析】建立如下图所示的平面直角坐标系，因为，所以点的坐标分别为，，，过点作，垂足为，因为，所以点也是的中点，因此，所以由勾股定理可得，因此点的坐标为，所以.故答案为：.14.化简求值：___________．【答案】【解析】由，则.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设函数，其中为实常数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）讨论的单调性．解：（1）函数的定义域为当时，函数，，．曲线在处切线方程为：，即．（2）因为，令，可得，即，当，即时，恒成立，此时在区间上单调递增当，即时，的解为，此时在区间上单调递减，在区间上单调递增．综上所述，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.16.为有助于形成节能减排的社会共识，促进资源节约型，环境友好型社会的建设，某市拟建立“多用者多付费”的阶梯电价机制．要求约的居民用电价在第一阶梯内，约的居民用电量在第二阶梯内，约的居民用电量在第三阶梯内．现从该市抽取了200户居民的月用电量（单位：kW·h）进行整理，并由此作出如图所示的频率分布直方图．根据用样本估计总体的思想确定阶梯电价的临界点．并且每户的用电单价与每户用电量的关系如表1所示．分档户用电量（月）（单位：kW·h）用电单价（单位：元/kW·h）第一阶梯（含）0.5第二阶梯（含）0.55第三阶梯0.8表1（1）求的值，并计算月用电量为350kW·h的家庭需缴纳的电费是多少元；（2）对这200户居民用电量和每户人口情况进一步整理，得到如表2的“”列联表．人口不少于5人人口少于5人合计用电量在第一阶梯60用电量高于第一阶梯40合计100100200（i）记人口不少于5人的家庭中用电量高于第一阶梯的概率为，求的估计值；（ii）完成“”列联表，根据数据回答：有的把握认为每户人口是否少于5人与户用电量是否在第一阶梯有关吗？附：，其中．0.0500.0100.0053.8416.6357.879解：（1）由题意知分别为这组数据的分位数、分位数．，解得，，解得；当用电量为350kW·h时，电费为元.（2）（i）事件发生的概率可估计为；（ii）列联表如下，人口不少于5人人口少于5人合计用电量在第一阶梯6090150用电量高于第一阶梯401050合计100100200,因为，所以有的把握认为每户人口是否少于5人与户用电量是否在第一阶梯有关．17.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，分别是棱的中点，侧面底面，．（1）证明：；（2）证明：平面平面；（3）若，求二面角的正弦值．（1）证明：因为、分别是棱、中点，所以且，又且所以且，四边形是平行四边形，所以.（2）证明：因为，是中点，所以又因为侧面底面，是交线，且，所以面，因为面，从而，又，所以面，由（1）知，所以面，又因为面，所以平面平面．（3）解：因为侧面底面，交线为，在面内作的垂线，则该垂线垂直于面以该垂线为轴，为坐标原点建立如图的空间直角坐标系：则，是中点，所以，由（2）知面，是面的一个法向量，设平面的法向量为，，则即，不妨令，可得所以.所以二面角的正弦值是．18.如图，在中，，是的角平分线，且．（1）求实数的取值范围；（2）若的面积为，则为何值时最短，并求出此时的值．解：（1）设，因为是的角平分线，所以，因为，所以，所以，又因为，所以，因为，所以．所以．（2）法一：，可得，，不妨令，因为所以．于是．当时，，，，所以由，舍去，又因为，所以．法二：，可得，，当即时等号成立，于是，此时，又因为，所以．19.设抛物线的焦点是，准线为，是抛物线上互异的两点，直线与轴不垂直，线段的中点为，线段的垂直平分线交轴于点，过向准线作垂线，垂足为．（1）证明：；（2）若到轴的距离为，直线平行于轴，且被以为直径的动圆截得的弦长恒为