空间两条直线的位置关系（第2课时+异面直线）课件2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

第13章

立体几何初步13.2.2空间两条直线的位置关系第2课时异面直线苏教版必修第二册【课标要求】1.借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线的位置关系.2.掌握两异面直线所成的角的求法.要点深化·核心知识提炼知识点一

异面直线的判定定理1.自然语言:过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过该点的直线是异面直线.2.符号语言:若l⊂α,A∉α,B∈α,B∉l,则直线AB与l是异面直线(如图所示).

2.求两异面直线所成角的常用方法求异面直线所成的角常采用“平移线段法”,平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.平移线段法是求异面直线所成角的常用方法,其基本思路是通过平移直线,把异面问题化归为共面问题来解决.名师点睛异面直线所成的角的大小不可以为0°,若两条直线所成的角为0°,则这两条直线重合或平行,不可能异面.自主诊断判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线.(

)(2)若a与b异面,b与c异面,则a与c异面.(

)(3)若a,b不同在平面α内,则a与b异面.(

)(4)若a,b不同在任何一个平面内,则a与b异面.(

)×××√题型分析·能力素养提升【题型一】异面直线的判断例

1

[链接教材例3(1)]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与平面ABCD的对角线AC异面的棱有(

)A.4条

B.6条

C.8条

D.10条B解析

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与平面ABCD的对角线AC异面的棱有BB1,DD1,A1B1,A1D1,D1C1,B1C1,共6条.故选B.规律方法

异面直线的判断方法(1)定义法:利用异面直线的定义,说明两直线既不平行,也不相交,即不可能在同一个平面内.(2)定理法:过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过该点的直线是异面直线.(3)反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设的条件出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面.跟踪训练1右图为正六棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F',在其6个侧面的12条面对角线所在直线中,与直线A'B异面的共有

条.

5解析

如图,连接A'D',因为六边形A'B'C'D'E'F'为正六边形,所以A'D'∥B'C',(故A'D'∥BC)所以A',D',B,C四点共面,A'B,CD'不是异面直线,同理可得,EF'与A'B共面,不是异面直线,而A'B∥DE',又AB',A'F,BC'与A'B相交,故在12条面对角线中,与A'B不是异面直线的面对角线为AB',A'F,BC',DE',EF',CD',其余面对角线均与A'B异面,共5条.故答案为5.【题型二】异面直线所成角角度1求异面直线所成角例

2

[链接教材例3(3)]在长方体ABCD-A1B1C1D1中,∠BAB1=∠B1A1C1=30°,求(1)AB与A1C1所成角的度数;(2)A1A与CB1所成角的度数.

题后反思

求异面直线所成角的步骤(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法,若题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且直接对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线.(2)求——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角.(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°,则θ为所求;若90°<θ<180°,则180°-θ为所求.注意:求异面直线所成的角,通常把异面直线平移到同一个三角形中去,通过解三角形求得,但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°<θ≤90°.

C

跟踪训练3如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:AC⊥DB1.证明

如图,连接BD,交AC于点O,设BB1的中点为点E,连接OE,则OE∥DB1,∴OE与AC所成的角即为DB1与AC所成的角.连接AE,CE,易证AE=CE,又点O是AC的中点,且OE=OE,∴△AOE≌△COE,且∠AOE=∠COE=90°.∴AC⊥OE,∴AC⊥B1D.角度2已知异面直线所成角求线段长例

4

如图所示,在四面体A-BCD中,点E,F分别